专题一 三角函数的运算 课件-2026届高三数学二轮复习

专题一　三角函数的运算 命题热度： 本专题是历年高考命题常考的内容，属于中等或偏下题目，主要是选择题或填空题，一般考查一道选择题或填空题，也有渗透在解答题中考查，分值约为5~6分. 考查方向： 一是考查三角函数的概念，主要考查根据给出的点或点所在直线求三角函数值；二是考查同角三角函数关系式、诱导公式，主要考查利用平方和关系进行正弦与余弦之间的转化、利用商数关系求解齐次式的值以及诱导公式的正用与逆用；三是考查三角恒等变换，两角和与差公式的正用、逆用以及倍角公式的灵活运用等. 考点一　同角三角函数基本关系与诱导公式 　(1)(2025·石家庄模拟)已知x∈，cos-cos(3π+x)=，则tan等于 A.1 B.2 C. D.3 例1 √ 因为cos-cos=， 所以sin x+cos x=， 方法一　所以sin=， 所以sin=， 因为x∈， 解析 则x+∈， 所以cos==， 所以tan=3， 所以tan=tan=tan=3. 解析 方法二　与sin2x+cos2x=1联立得 或(舍去)， 所以tan x=， 所以tan=tan==3. 解析 (2)(2025·东北三省部分高中联合调研)已知tan2βsin2β=3，则tan2β-2sin2β-等于 A.1 B.2 C.3 D. √ 因为tan2βsin2β=3， 所以(sin2β)2=3(1-sin2β)， 所以sin4β+3sin2β=3， 则tan2β-2sin2β-=-2sin2β- =-2sin2β- = = 解析 = = ===2. 解析 应用同角三角函数的基本关系式、诱导公式的注意事项： (1)同角并不拘泥于角的形式，只要角“同”就可以. (2)含有sin α，cos α的齐次式，可用同角的商数关系进行转化，即化弦为切，整体代入. (3)涉及诱导公式时，要注意角所在的象限. 规律方法 跟踪演练1　(1)(多选)已知sin α=，α∈，则 A.sin(π-α)= B.tan(π+α)=- C.sin=- D.cos=- √ √ 因为sin α=，α∈，所以cos α=-， 则tan α==-. 则sin(π-α)=sin α=， tan(π+α)=tan α=-， sin=cos α=-， cos=-sin α=-. 解析 (2)(2025·安庆模拟)已知=，则sin4θ+cos4θ等于 A. B. C. D. √ 因为=， 所以=， 所以=， 所以=， 所以sin 2θ=-， 解析 所以2sin θcos θ=-， 所以sin θcos θ=-， 所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×=. 解析 考点二　三角恒等变换 　(1)(2025·郴州模拟)已知cos α+sin=，则cos等于 A. B. C.- D.- 例2 考向1 公式的直接应用 √ 由cos α+sin=， 得cos α+sin α-cos α=sin α+cos α=sin=， 所以cos=1-2sin2=1-2×=. 解析 (2)(2025·昆明质检)若=，则 A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 √ 因为=， 则=， 则=，所以=tan β， 所以1-tan α=tan β+tan αtan β， 即得1-tan αtan β=tan β+tan α， 所以tan(α+β)==1. 解析 　(1)(2025·许平汝名校模拟)已知α，β∈(0，π)，且cos α=，sin(α+β)=，则cos β等于 A. B.- C. D.- 例3 考向2 角的配凑 √ 由α∈(0，π)，0<cos α=<， 可得α∈， 则sin α===， 因为β∈(0，π)，所以α+β∈， 解析 又因为0<sin(α+β)=<， 所以<α+β<π，cos(α+β)=-， cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=-. 解析 (2)(2025·济南模拟)若sin 2α=，sin(β-α)=，且α∈，β∈，则α+β等于 A. B. C. D. √ 因为α∈，所以2α∈，则由sin 2α=>0， 得cos 2α=-=-=-，同时也能确定α∈， 因为sin(β-α)=>0，β∈，α∈，所以β-α∈， cos(β-α)=-=-=-， 解析 所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α] =cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α =×-×=， 因为α∈，β∈，所以α+β∈， 故α+β=. 解析 　(1)(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=sin(x+2θ)+cos(x+4θ)，θ∈是偶函数，则g(x)=sin xsin(x+4θ)的最大值为 A.- B. C.1 D. 例4 考向3　积化和差与和差化积 √ 由f(x)是偶函数，得sin(x+2θ)+cos(x+4θ)=sin(-x+2θ)+cos(-x+4θ)， 展开并整理得cos 2θ=sin 4θ， 根据二倍角公式得cos 2θ=2sin 2θcos 2θ， 又θ∈，则2θ∈， 所以cos 2θ≠0，则sin 2θ=，θ=， 则g(x)=sin xsin， 解析 利用积化和差公式得 sin xsin =， 化简得g(x)=-cos， 当cos=-1时，g(x)取得最大值. 解析 (2)(2025·南昌模拟)已知α，β终边不重合，sin α-3cos β=sin β-3cos α，则tan(α+β)等于 A. B. C. D. √ 因为sin α-3cos β=sin β-3cos α， 所以sin α-sin β=3(cos β-cos α)， 又sin α-sin β=2cossin， cos β-cos α=2sinsin， 所以2cossin=6sinsin， 解析 因为α，β的终边不重合，则α-β≠2kπ(k∈Z)，则≠kπ(k∈Z)， 所以sin≠0，则3sin=cos，所以tan=， 因此tan(α+β)===. 解析 三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，即1=sin2θ+cos2θ=tan 45°. (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α，α=(α-β)+β，α=+，2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)等. (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)化一法：通过二倍角、降幂公式、两角和与差公式化简为辅助角形式，再利用辅助角化为正弦、余弦单一函数形式，最后借助函数性质求解计算. 规律方法 跟踪演练2　(1)(2025·亳州模拟)已知sin α=，α∈，若=4，则tan(α+β)等于 A.- B. - C. D. √ 因为sin α=，α∈， 所以cos α=-=-， tan α==-， 因为= =sin α+cos αtan β=-tan β=4， 解析 所以tan β=-， 所以tan(α+β)= ==. 解析 (2)(2025·长春模拟)已知cos=，cos=，α，β∈，则cos(α+β)等于 A. B. C. D. √ ∵α，β∈， ∴α+∈，β-∈， 又∵cos=>0，cos=>0， ∴α+∈，β-∈， ∴sin>0，sin<0， 解析 ∴sin==， sin=-=-， 则cos(α+β)=cos =coscos-sinsin=×-×=. 解析 (3)(2025·新余模拟)已知α，β∈，cos2α-cos2β=，cos(α+β)=，则tan 等于 A.- B. C.3 D.-3 √ 因为cos2α-cos2β=(cos 2α-cos 2β) =-sin(α+β)sin(α-β)=， 又因为cos(α+β)=，且α，β∈，α+β∈(0，π)， 所以sin(α+β)=，故sin(α-β)=-， 又由于α，β∈， 解析 α-β∈， 所以cos(α-β)=， tan ==-. 解析 $