微专题2　三角函数的图象与性质课件-2026届高三数学二轮复习

微专题2　三角函数的图象与性质 板块一　三角函数与平面向量 高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:1.三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式,常以选择题、填空题的形式考查; 2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以客观题或作为解答题的其中一问考查. 高考定位 【 真题体验 】 1.(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心,则a的最小值为 A. B. C. D. √ 由题意知a-=,k∈Z, 得a=+,k∈Z, 因为a>0,所以取k=0,得a的最小值为. 4 2.(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 √ 因为函数y=2sin的最小正周期T=, 所以函数y=2sin在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象, 所以作出函数y=2sin与y=sin x在[0,2π] 上的图象如图所示, 由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C. 5 3.(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有 A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 √ √ 对于A,令f(x)=0,则x=,k∈Z, 又g≠0,故A错误; 6 对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1,故B正确; 对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π,故C正确; 对于D,f(x)图象的对称轴方程满足2x=+kπ,k∈Z,即x=+,k∈Z, g(x)图象的对称轴方程满足2x-=+kπ,k∈Z, 即x=+,k∈Z, 故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故D错误.故选BC. 4.(2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是　　　　.  2 由题意知f(x)=sin x-cos x=2sin, 当x∈[0,π]时,x-∈, ∴sin∈, 于是f(x)∈[-,2], 故f(x)在[0,π]上的最大值为2. 8 5.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)= 　　　　.  - 对比正弦函数y=sin x的图象易知,点为“五点法”画图中的第五点, 所以ω+φ=2π.① 由题知|AB|=xB-xA=, 9 两式相减,得ω(xB-xA)=,即ω=, 解得ω=4. 代入①,得φ=-, 所以f(π)=sin=-sin=-. 精准强化练 热点一　三角函数图象的变换 热点二　三角函数的图象与解析式 热点三　三角函数的性质 热点突破 热点一　三角函数图象的变换 1.沿x轴平移:由y=f(x)变为y=f(x+φ)时,“左加右减”,即φ>0,左移;φ<0,右移. 沿y轴平移:由y=f(x)变为y=f(x)+k时,“上加下减”,即k>0,上移;k<0,下移. 2.沿x轴伸缩:若ω>0,A>0,由y=f(x)变为y=f(ωx)时,所有点纵坐标不变,横坐标变为原来的倍. 沿y轴伸缩:由y=f(x)变为y=Af(x)时,所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍. 12 √ (多选)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是 A.把曲线C1向左平移个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线C2 B.把曲线C1向左平移个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线C2 C.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 D.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 例1 √ 对于A,曲线C1:y=cos x向左平移个单位长度, 得到曲线y=cos,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变, 得到曲线y=cos=cos=sin,故A正确; 对于B,把曲线C1:y=cos x向左平移个单位长度,得到曲线y=cos, 再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线y=cos=sin=sin的图象,不是曲线C2,故B错误; 对于C,把曲线C1:y=cos x上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线y=cos 2x,再把得到的曲线向左平移个单位长度, 得到曲线y=cos=cos=sin=sin的图象,不是曲线C2,故C错误; 对于D,把曲线C1:y=cos x上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线y=cos 2x,再把得到的曲线向左平移个单位长度, 得到曲线y=cos=cos=cos=sin,故D正确. 在图象变换中务必分清是先平移,还是先伸缩,左右平移只是对其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. 易错提醒 √ (1)(2025·福建十一校联考)已知函数f(x)=2coscos,要得到函数g(x)=sin 2x-2cos2x+1的图象,只需将f(x)的图象 A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 f(x)=2cos· cos=2cossin =sin=cos 2x, 训练1 17 g(x)=sin 2x-2cos2x+1=sin 2x-cos 2x =sin=cos, 故将f(x)的图象向右平移个单位长度可得g(x)的图象. (2)(2025·安康调研)将函数f(x)=2sin(2x-)的图象向左平移m(m>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则m的值可以是 A. B.π C. D. 将函数f(x)=2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度, 得y=2sin的图象, 因为y=2sin的图象关于原点对称, 所以2m-=kπ,k∈Z, √ 即m=+,k∈Z,当k=3时,得m=, 使m=+=,m=+=π, m=+=的整数k不存在. 热点二　三角函数的图象与解析式 已知部分图象求函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式时,常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A,B;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置. 21 (1)函数f(x)=2sin(ωx-)+m(0<ω<4)的部分图象如图所示,则f=　　　　.  例2 -2 由题图可知m==-1, 且f(x)的图象过点(1,0), 则ω-=+2kπ(k∈Z), 即ω=π+2kπ(k∈Z). 因为0<ω<4,所以ω=π, 所以f(x)=2sin-1, 所以f=2sin-1 =2sin-1=-2sin-1=-2. (2)已知f(x)=2tan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),f(0)=,最小正周期T∈,f(x)图象的一个对称中心为,则f的值为　　　　.  - 由f(0)=, 可得2tan φ=,tan φ=, 又|φ|<,所以φ=. 因为f(x)图象的一个对称中心为, 故ω+ =,k∈Z,得ω=3k-1,k∈Z. 因为T∈,所以<<π, 解得<ω<4,所以ω=2. 故f(x)的解析式为f(x)=2tan, 所以f=2tan=-. 在本例(2)中,根据正切函数图象的对称中心的有关结论,写出参数ω满足的关系式,注意不要只认为ω+=kπ,k∈Z,而是ω+=,k∈Z. 易错提醒 (1)(2025·武汉模拟)函数f(x)=2sin(2x+φ)+1(|φ|<π)的部分图象如图所示,则φ=　　　　.  训练2 令f(x)=2sin(2x+φ)+1=0, 则sin(2x+φ)=-, 根据题图知x=-为函数零点, 且零点在上升区间, 27 则2×+φ=2kπ-,k∈Z, 则φ=2kπ+,k∈Z, 因为|φ|<π,则k=0,φ=. (2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的最大值为2,其图象的相邻两条对称轴之间的距离为,将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象,若g(x)为偶函数,则φ=　　　　.  由f(x)的最大值为2,得A=2, 由f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为, 得=×2,解得ω=2, ∴f(x)=2sin(2x+φ), ∴g(x)=f=2sin =2sin. ∵g(x)为偶函数,∴+φ=+kπ(k∈Z), 解得φ=+kπ(k∈Z), 又|φ|<,∴φ=. 热点三　三角函数的性质 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 (1)单调性:由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递增区间;由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递减区间. (2)对称性:由ωx+φ=kπ(k∈Z)可得对称中心; 由ωx+φ=kπ+(k∈Z)可得对称轴. (3)奇偶性:φ=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数;φ=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数. 31 √ (1)(多选)(2025·扬州调研)已知函数f(x)=|sin x|+cos,则 A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的图象为中心对称图形 C.函数f(x)在上单调递增 D.关于x的方程f(x)=a在[-π,π]上至多有3个解 例3 √ 当-π≤x≤0时,f(x)=-sin x+cos=cos x-sin x=cos, 函数f(x)在上单调递增, 函数值从-增大到1; 在上单调递减,函数值从1减小到. 当0<x≤π时,f(x)=sin x+cos =cos x+sin x=cos, 函数f(x)在上单调递增, 函数值从; 在上单调递减, 函数值从减小到-,函数f(x)在[-π,π]上的图象,如图. 对于A,f(x+2π)=|sin(x+2π)|+cos =|sin x|+cos=f(x), 结合函数f(x)在[-π,π]上的图象,得2π是f(x)的最小正周期,A正确; 对于B,观察函数f(x)在[-π,π]上的图象,知函数f(x)在[-π,π]上的图象不是中心对称图形,B错误; 对于C,由函数f(x)在上单调递增,f(x)的最小正周期是2π,得函数f(x)在上单调递增,C正确; 对于D,观察函数f(x)在[-π,π]上的图象,得当<a<1时,f(x)=a有4个解,D错误. 故选AC. (2)(2025·厦门质检)将函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后,得到g(x)的图象,若函数g(x)在上单调递减,则ω的取值范围为　　　　.  将f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后, 得g(x)=sin =sin的图象, 当x∈时,ωx+∈, 因为g(x)在上单调递减, 则<+≤, 解得0<ω≤. 研究三角函数的性质,首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+h的形式,然后结合正弦函数y=sin x的性质求f(x)的性质,此时有两种思路:一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质,然后判断各选项;另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围,然后由y=sin t 的性质判断各选项. 规律方法 √ (1)(多选)(2025·河北名校联考)已知函数f(x)=sin(ω>0)的图象在[0,π]上有且仅有两个对称中心,则下列结论正确的是 A.ω的取值范围是 B.函数f(x)在上单调递增 C.x=不可能是函数y=f(x)的图象的一条对称轴 D.f(x)的最小正周期可能为 训练3 √ 39 A中,x∈[0,π]时,ωx+∈, 由函数f(x)=sin(ω>0)的图象在[0,π]上有且仅有两个对称中心得, ωπ+∈[2π,3π), 解得ω∈,A正确; B中,x∈时,ωx+∈, 由A可知ω∈, 故+∈, 而>,故函数f(x)在上不一定单调,B错误; C中,假设x=为函数f(x)图象的一条对称轴, 令ω+=+kπ,k∈Z, 解得ω=+4k,k∈Z, 又+4k∈,故k∈, 又k∈Z,故无解, 故x=不可能是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,C正确; D中,ω∈,故f(x)的最小正周期T=∈, 故f(x)的最小正周期不可能为,D错误.故选AC. (2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|≤,-为f(x)的零点,且f(x)≤恒成立,f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω的最大值为　　　　.  15 由题意知f(x)在x=处取得最值, 又f=0, 所以-=·T(n∈N*), 即=·,解得ω=2n-1,n∈N*, 又f(x)在区间上有最小值,无最大值, 所以T≥-=,即≥, 解得ω≤16,故ω的最大值为15. 【精准强化练】 √ 1.已知函数f(x)=cos x-cos 2x,则该函数为 A.奇函数,最大值为2 B.偶函数,最大值为2 C.奇函数,最大值为 D.偶函数,最大值为 函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数. f(x)=cos x-cos 2x=cos x-(2cos2x-1) =-2cos2x+cos x+1 =-2+, 又cos x∈[-1,1],故f(x)的最大值为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、单选题 √ 2.(2025·长沙模拟)将函数g(x)=2sin的图象向左平移个单位长度后,再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到函数h(x)的图象,若f(x)与h(x)的图象关于x轴对称,则f(x)的一个单调递增区间为 A. B. C. D. 由题意可得h(x)=2sin=2sin, 因为f(x)与h(x)的图象关于x轴对称, 所以f(x)=-h(x)=-2sin, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 令+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z, 解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z, 取k=0,则≤x≤,故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 3.(2025·广州质检)设函数f(x)=cos(x+φ),其中|φ|<.若∀x∈R,都有f=f,则y=f(x)的图象与直线y=x-1的交点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ∀x∈R,都有f=f, 所以x=是y=f(x)图象的一条对称轴, 所以+φ=kπ(k∈Z), 因为|φ|<,所以φ=-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 所以f(x)=cos. 在平面直角坐标系中画出f(x)=cos与y=x-1的图象,如图所示, 可知y=f(x)的图象与直线y=x-1的交点个数为3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 4.(2025·山东新高考联测)已知f(x)=cos(2x+φ),|φ|<,f(x)的一个极值点是,则 A.f(x)在上单调递增 B.f(x)在上单调递减 C.f(x)在上单调递增 D.f(x)在上单调递减 由题意知cos=±1,解得+φ=kπ,k∈Z, 即φ=-+kπ,k∈Z. 因为|φ|<,所以φ=-, f(x)=cos. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z, 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 当k=0时,得到f(x)在上单调递增,故C正确,D错误. 令2kπ≤2x-≤π+2kπ,k∈Z, 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 当k=0时,得到f(x)在上单调递减,故A错误,B错误. 故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 5.(2025·杭州调研)已知函数f(x)=cos2-sin2+sincos,将函数f(x)的图象各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象.若方程2g(x)-m=1在x∈上有两个不同的解x1,x2,则x1+x2的值为 A. B. C. D.π 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 根据题意可得f(x)=cos x+sin x=sin, 所以g(x)=sin=sin, 因为0≤x≤,所以≤2x+≤, 所以g(x)在上单调递增,在上单调递减, g(0)=g=,g=1,g=-1, 方程2g(x)-m=1,即g(x)=有两个不同的解x1,x2,且x1,x2关于直线x=对称, 所以x1+x2=2×=.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 6.(2025·天津调研)已知f(x)=sin+cos,x=φ(0<φ<π)是函数f(x)图象的一条对称轴,g(x)=cos,则下列说法中正确的是 A.x=是g(x)图象的一条对称轴 B.为g(x)图象的一个对称中心 C.g(x)图象与y轴的交点为(0,) D.g(x)在上单调递增 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 f(x)==sin, 令+=+kπ,k∈Z, 解得x=+2kπ,k∈Z, 由x=φ(0<φ<π)是f(x)图象的一条对称轴, 可得φ=, ∴g(x)=cos, ∴g=cos=cos=0, 故A错误,B正确; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 又g(0)=cos=1, 所以g(x)图象与y轴的交点为(0,1),故C错误; 当-≤x≤时,0≤2x+≤π, 由余弦函数性质,知g(x)在上单调递减,故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 7.(2025·荆州模拟)已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,图象的一个最高点为M,图象与x轴的一个交点为N,且点M,N之间的距离为5,则f= 由题知函数f(x)的最大值为4. 设f(x)的最小正周期为T, 依题意,得42+=MN2=25,解得T=12, A. B.2 C. D.2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 所以=12,解得ω=, 所以f(x)=4cos, 又点N在函数f(x)的图象上, 所以f=4cos=0, 结合图象,知×+φ=+2kπ(k∈Z), 解得φ=+2kπ(k∈Z), 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 又0<φ<,则φ=, 所以f(x)=4cos, 所以f=4cos=4cos=2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 8.(2025·南京质检)已知x1,x2是函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π)的两个零点,且|x1-x2|的最小值为,若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称,则φ的可能值为 A. B. C.- D. √ √ 由题意得函数f(x)的最小正周期T=,则=,解得ω=3, 所以f(x)=tan(3x+φ). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 二、多选题 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到y=tan= tan的图象,要使该图象关于原点对称, 则+φ=,k∈Z, 所以φ=-+,k∈Z, 又-π<φ<π,所以当k=0时,φ为-; 当k=1时,φ为;当k=2时,φ为. 故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 9.(2025·合肥模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,下列说法正确的是 A.f(x)=3sin B.f(x)在上单调递增 C.f(x)<的解集为(k∈Z) D.将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 由题图知A=3,函数f(x)的最小正周期T==4=π,解得ω=2, 由f=-3,得2·+φ=-+2nπ,n∈Z, 而|φ|<,则n=0,φ=-, 因此f(x)=3sin,A正确; 对于B,当x∈时,2x-∈,而正弦函数y=sin x在上单调递增, 因此f(x)在上单调递增,B正确; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 对于C,由f(x)<,得sin<, 则-+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z, 解得-+kπ<x<+kπ,k∈Z, 所以f(x)<的解集为(-+kπ,+kπ)(k∈Z),C正确; 对于D,将f(x)的图象向左平移个单位长度, 得y=3sin=3sin=3cos 2x的图象, y=3cos 2x为偶函数,其图象关于y轴对称,D错误.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10.(2025·银川质检)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象上的每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,所得的图象关于y轴对称,写出一个符合条件的φ的值:　　　　　　　　.  -(答案不唯一) 由题意可知,所得的图象对应的函数解析式为g(x)=sin =sin , 又g(x)的图象关于y轴对称, 所以+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z, 令k=0,得φ=-. 三、填空题 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 11.(2025·北京卷改编)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在上存在零点,则ω的最小值为　　　　.  4 函数f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ω>0), 设函数f(x)的最小正周期为T, 由f(x+π)=f(x)可得kT=π(k∈N*), 所以T==(k∈N*),即ω=2k(k∈N*); 又函数f(x)在上存在零点, 且当x∈时,ωx+∈, 所以+≥π,即ω≥3,故ω=4即为所求. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12.(2025·郑州模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图,f(x1)=f(x2)=-,则cos=　　　　.  由题意可知f(0)=2sin φ=1, 即sin φ=. 因为0<φ<,所以φ=, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 即f(x)=2sin, 又f=2sin=0, 即+=2kπ+π(k∈Z), 可得ω=+(k∈Z), 设该函数的最小正周期为T, 由题图可知>, 即>5,解得0<ω<, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 所以令k=0,得ω=, 即f(x)=2sin, 令x+=mπ+(m∈Z), 得x=1+3m(m∈Z), 由题图知x1+x2=-4,得x2=-4-x1, 且f(x1)=2sin=-, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 则cos=cos =cos =cos=-sin =-×=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13.(2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=. (1)求φ; 因为f(0)=cos φ=,且0≤φ<π, 所以φ=. 四、解答题 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)设函数g(x)=f(x)+f,求g(x)的值域和单调区间. g(x)=f(x)+f =cos+cos 2x =cos 2xcos -sin 2xsin +cos 2x =cos 2x-sin 2x = =cos. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 因为x∈R,所以当cos=1时,g(x)max=, 当cos=-1时,g(x)min=-, 所以g(x)的值域为[-,]. 令2kπ-π≤2x+≤2kπ(k∈Z), 得kπ-≤x≤kπ-(k∈Z). 令2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z), 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z), 单调递减区间为(k∈Z). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1(ω>0,0<φ<π)为偶函数,且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求f(x)的解析式; ∵函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2sin为偶函数, ∴φ-=kπ+,k∈Z, 又0<φ<π,可得φ=, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 ∴f(x)=2sin=2cos ωx. ∵f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为 ×=, ∴ω=2,∴f(x)=2cos 2x. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若g(x)-m=0在上有两个不同的根,求m的取值范围. 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2cos的图象,再将横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)=2cos的图象. 若g(x)-m=0在上有两个不同的根,则方程cos=上有两个不同的根,即函数y=cos的图象与直线y=上有两个不同的交点. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 ∵4x-∈, cos=cos=,cos 0=1, ∴≤<1,∴1≤m<2. 故m的取值范围为[1,2). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 $