精品解析：山西省太原市古交市第二中学校2025-2026学年上学期九年级数学1月月考试卷

2025-2026-1九上数学 一、选择题 1. 在比例尺为的地图上，两处景点的距离为，则这两处景点的实际距离为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 三角形的内心是三角形的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 4. 已知二次函数的图象经过点，，且存在最高点．请在下列选项中选出一个的值，使其所对应的函数图象最高点的纵坐标最小．（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知线段，则平面内与点的距离为5，且与点的距离为6的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 二、填空题 6. 若，则的值为______． 7. 如图，，若，则______． 8. 如图，以为直径的半圆经过的顶点，，点在上，，若，则______°． 9. 已知关于的方程的两根为和，则______． 10. 甲、乙、丙三人各自通过买到了某演唱会门票，三张票的座位是连续的，记甲乙座位相邻的概率为，甲乙座位不相邻的概率为，则______．（填“”“”或“”号） 11. 一个圆锥的主视图是边长为6的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是______． 12. 若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 13. 对一个二次函数有如下描述：①当自变量时，函数有最大值；②函数图象与x轴一个交点的横坐标为；③函数图象与x轴另一个交点的横坐标为9；④函数图象与y轴的交点坐标为．从中选取3个，还无法求出该二次函数表达式的是______． 三、解答题 14. 解下列方程： （1）； （2）． 15. （1）不透明的袋子中装有个编号分别为，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，求它们编号之和是偶数的概率． （2）不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，它们编号之和是偶数的概率为______． 16. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）求证； （2）若，求的长． 17. 矩形种植区域如图所示，米，米．现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，其余区域种植胡萝卜，已知，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设米． （1）______米（用含的代数式表示），______米； （2）求的长． 18. 已知二次函数（为常数）． （1）该函数的图象的顶点坐标是______．（用含的代数式表示） （2）已知，是该函数图象上的点．若，求的取值范围． 19. 如图，是上一点，在直径上取点，使，延长交于点，分别作，垂直于，垂足分别为，．已知的半径是2． （1）求证：是的平分线； （2）若，则的长是______． 20. 已知二次函数，与的部分对应值如下表： … 0 1 … 6 … … 0 5 8 … … （1）求该二次函数的表达式，并在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图像． （2）结合图像，直接写出当时，的取值范围是______． （3）在该平面直角坐标系中描出函数的图像． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-1九上数学 一、选择题 1. 在比例尺为的地图上，两处景点的距离为，则这两处景点的实际距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例尺，要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离． 【详解】解：设这两处景点的实际距离为x厘米， 则：， 解得， 3200000厘米千米． 故选：B． 2. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数叫二次函数，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意； B、是二次函数，故本选项符合题意； C、不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 三角形的内心是三角形的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内心的概念进行判断即可． 【详解】根据定义得：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角是解题的关键． 4. 已知二次函数的图象经过点，，且存在最高点．请在下列选项中选出一个的值，使其所对应的函数图象最高点的纵坐标最小．（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意得出与的关系式是解题的关键．由题意可知二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，，故可设，代入得出，即可得到顶点的纵坐标为，根据与的关系式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，且存在最高点， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，，故、不符合题意， 设 把代入得，， ∴， ∴ ∴顶点的纵坐标为， ∵， ∴纵坐标随的增大而减小， ∵， ∴时，纵坐标的值最小， 故选：． 5. 已知线段，则平面内与点的距离为5，且与点的距离为6的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的概念、两圆的位置关系及圆的切线，掌握圆的相关性质是关键．分别以点、为圆心，以、为半径画圆，由可知，两圆相外切，由此得出答案． 【详解】解：如图所示，作一个以点为圆心，以为半径的圆，以点为圆心，以为半径的圆． ∵， ∴两圆有一个交点，故和相切，其切线有条． 故选：C． 二、填空题 6. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，则有即可求解．此题考查比例的性质，解题关键在于掌握，间的比例关系． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 7. 如图，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例，得到，先求出的长度，再求的长度． 【详解】解： ， ， 又， ， ． 故答案为：． 8. 如图，以为直径的半圆经过的顶点，，点在上，，若，则______°． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出的度数，根据圆周角定理得到的度数，进而求出的度数，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ∴， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， 故答案为：110． 9. 已知关于的方程的两根为和，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的性质，熟练掌握根与系数的关系是关键．根据根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根为和， ∴， ∴， 故答案为：1． 10. 甲、乙、丙三人各自通过买到了某演唱会门票，三张票的座位是连续的，记甲乙座位相邻的概率为，甲乙座位不相邻的概率为，则______．（填“”“”或“”号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，先列树状图，得出共种等可能结果，则甲乙座位相邻的结果有4种，甲乙座位不相邻的结果有2种，即可作答． 【详解】解：依题意，把三张票的连续的座位是记为，列树状图如下： 共种等可能结果，则甲乙座位相邻的结果有4种，甲乙座位不相邻的结果有2种， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 一个圆锥的主视图是边长为6的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据视图的意义得到圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：根据题意得圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3， 所以这个圆锥的侧面积． 故答案为：． 12. 若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 13. 对一个二次函数有如下描述：①当自变量时，函数有最大值；②函数图象与x轴一个交点的横坐标为；③函数图象与x轴另一个交点的横坐标为9；④函数图象与y轴的交点坐标为．从中选取3个，还无法求出该二次函数表达式的是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】选取①②③时，已知对称轴和两个交点，但无具体点纵坐标，无法确定二次项系数a． 本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：选取①②③时，由条件②和③可知函数图象与x轴的交点为和，可得二次函数的对称轴为直线， 故条件①为冗余条件，因此，这三个条件只相当于给出了两个独立条件，可设函数解析式为，但无法确定a的值， 故无法确定函数表达式,符合题意． 选取①②④时，设二次函数解析式为， 根据题意，得， 解得， 故抛物线解析式为，不符合题意； 选取①③④ 时，设二次函数解析式为， 根据题意，得， 解得， 故抛物线解析式为，不符合题意； 选取②③④ 时，设二次函数解析式为， 根据题意，得， 解得， 故抛物线解析式为，不符合题意； 故答案为：①②③． 三、解答题 14. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用求根公式解方程即可； （2）将方程右边移项至等号左边，用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或， ． 15. （1）不透明的袋子中装有个编号分别为，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，求它们编号之和是偶数的概率． （2）不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，它们编号之和是偶数的概率为______． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查用列表法进行求解概率． （1）根据列表法可进行求解概率； （2）分别列举出不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，共有等可能性情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：（1）由题意可列表如下： 1 2 3 1 3 4 2 3 5 3 4 5 ∴从袋子中随机摸出个球共有种，其中它们编号之和是偶数有种情况， ∴它们编号之和是偶数的概率为； （2）不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，共有种等可能性情况，分别为，，，，，，，，其中它们编号之和是偶数的有5种，分别为，，，，， ∴它们编号之和是偶数的概率为． 16. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）求证； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，由角平分线的定义可推出，再结合即可证明结论； （2）可证明，则，设，则，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 解得（已检验是原方程的解）或（舍去）， ∴． 17. 矩形种植区域如图所示，米，米．现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，其余区域种植胡萝卜，已知，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设米． （1）______米（用含的代数式表示），______米； （2）求的长． 【答案】（1），25 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，解题的关键是： （1）根据线段的和差即可得出米，根据计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，，可得米； （2）根据胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，列方程即可求得DF的长． 【小问1详解】 解：∵计划从矩形种植区域开垦出两个正方形区域用于种植青菜，，米． ∴米，米，， ∴米，（米）， 故答案为：，25； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴米． 18. 已知二次函数（为常数）． （1）该函数的图象的顶点坐标是______．（用含的代数式表示） （2）已知，是该函数图象上的点．若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用二次函数的对称性求得对称轴，进一步求得顶点坐标； （2）分三种情况：当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的右半部分；当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的左半部分；当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的两侧，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：令，解得，， 二次函数与x轴的交点为和， 对称轴为直线， ， 顶点为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：二次函数的开口向上，对称轴为直线， 当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的右半部分，此时y随x的增大而增大，则，符合题意； 当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的左半部分，此时y随x的增大而减小，则，不符合题意； 当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的两侧，由得出点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， ， 解得：， ， 综上所述，m的取值范围为． 19. 如图，是上一点，在直径上取点，使，延长交于点，分别作，垂直于，垂足分别为，．已知的半径是2． （1）求证：是的平分线； （2）若，则的长是______． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）2 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定和性质． （1）连接，推出，由余角的性质推出，由圆周角定理推出，因此，由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质推出，得到，即可证明结论； （2）由圆心角、弧、弦的关系定理推出，得到，由圆周角定理推出，判定，推出，得到E与O重合，因此，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵是圆的直径， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E与O重合， ∴， ∴． 故答案为：2． 20. 已知二次函数，与的部分对应值如下表： … 0 1 … 6 … … 0 5 8 … … （1）求该二次函数的表达式，并在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图像． （2）结合图像，直接写出当时，的取值范围是______． （3）在该平面直角坐标系中描出函数的图像． 【答案】（1）， 函数的图像如下： （2） （3）作图如下： 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式（组）、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据待定系数法求解函数表达式，然后作图即可； （2）根据题意，令，解得，，则可求出抛物线与x轴的交点，进而判断即可； （3）根据题意，结合（2）可得，，再列出的部分对应值表，最后作图解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得， ∴二次函数的表达式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：根据题意，令，解得，， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∴结合图像，当时，x的取值范围为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题意，结合（2）可得，当时，的部分对应值如表： x 0 1 … 5 0 5 8 … 0 0 … 0 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $