第7章 锐角三角函数基础过关测试卷（A卷）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册（单元章节测试卷+专项训练卷+期中期末卷）

第7章锐角三角函数基础过关测试卷 （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝4，BC＝3，则tan∠BCD的值为（　　） A． B． C． D． 2．下列条件中，不能解直角三角形的是（　　） A．已知两条直角边 B．已知斜边和一条直角边 C．已知两锐角 D．已知一边与一锐角 3．已知，则锐角A的取值范围是（　　） A．60°＜A＜70° B．30°＜A＜70° C．20°＜A＜60° D．20°＜A＜30° 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，若，AB＝BD，则sinC＝（　　） A． B． C． D． 5．如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC＝α，AC＝5米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（　　）米． A． B．5tanα+5 C． D． 6．如图，已知A（﹣2，1）、B（0，0）、C（1，2）则tan∠BAC的值为（　　） A． B．1 C． D． 7．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（　　） A． B． C．S1＝S2 D． 8．某车库入口安装的栏杆如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点，当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置（栏杆宽度忽略不计）．已知AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝120°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，则下列4个车辆限高标志牌最适合该车库的是（参考数据：）（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．阅读下面材料，，则，则sin245°+cos245°＝1，已知∠A为锐角（cosA＞0）且，则cosA＝ 　 　 ． 10．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，BD＝4cm，则AC长为　 　 cm． 11．如图，房屋的屋顶截面结构为等腰三角形，若斜脊AB的坡度i为1：2，房子侧宽BC为12米，则斜脊AB的长为　 　 米． 12．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则tan∠APC的值为 　 　 ． 13．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为 　 　 km． 14．如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB＝2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC＝DE＝11cm，∠ABE＝120°，∠CBE＝80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 　 　 cm（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713，1.732） 15．对于同一锐角α有：sin2α+cos2α＝1，现锐角A满足sinA+cosA． 则 sinA﹣cosA的值为 ． 16．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，点M是AD边上一点，连接CM，以CM为边向右作等边△CMN，连接BN，则BN的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共6小题，共72分） 17．计算：（1）sin230°+2sin60°+tan45°+cos230°； （2）2sin45°+2cos60°+|1|+（）﹣1． 18．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D，AD＝6，． （1）求AB的长； （2）求sinC的值． 19．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC＝60°，∠BCA＝45°，AC＝1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：，1.73） 20．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．海南省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目，某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°． （1）填空：∠APB＝　 　 °； （2）求点D到地面AC的距离； （3）求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）． （参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325） 21．单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 22．小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．如图1是俯视图，OA、OB分别表示门框和门所在位置，点M、N分别是OA、OB上的定点，OM＝27cm，ON＝36cm，MF、NF是定长，∠MFN大小可变． （1）图2是门完全打开时的俯视图，此时，OA⊥OB，∠MFN＝180°，求∠MNB的度数； （2）图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置OB（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （3）在门开合的过程中，sin∠ONM的最大值＝　 　 ． 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 锐角三角函数基础过关测试卷（A卷） （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C B B B C A 1．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝4，BC＝3，则tan∠BCD的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同角的余角相等，得出∠A＝∠BCD，再结合正切的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD． 在Rt△ABC中， tanA， ∴tan∠BCD＝tanA． 故选：A． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义及等角的余角相等是解题的关键． 2．下列条件中，不能解直角三角形的是（　　） A．已知两条直角边 B．已知斜边和一条直角边 C．已知两锐角 D．已知一边与一锐角 【分析】根据四个选项中所给条件，结合解直角三角形的步骤依次进行判断即可． 【解答】解：当已知两条直角边时， 可利用勾股定理求出斜边长，再分别求出两个锐角的正弦值，进而得出两个锐角度数， 所以这个直角三角形可解． 故A选项不符合题意． 当已知斜边和一条直角边时， 可利用勾股定理求出斜边长，再分别求出两个锐角的正弦值， 可利用勾股定理求出另一条直角边长，再分别求出两个锐角的正弦值，进而得出两个锐角度数， 所以这个直角三角形可解． 故B选项不符合题意． 当已知两锐角时， 此直角三角形的大小无法确定， 所以这个直角三角形不可解． 故C选项符合题意． 当已知一边与一锐角时， 可先求出另一个锐角，再借助正弦或余弦求出剩余的边即可， 所以这个直角三角形可解． 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知解直角三角形所需的条件是解题的关键． 3．已知，则锐角A的取值范围是（　　） A．60°＜A＜70° B．30°＜A＜70° C．20°＜A＜60° D．20°＜A＜30° 【分析】首先把所有的三角函数都化成余弦函数，然后利用余弦函数的增减性即可求解． 【解答】解：∵∠A是锐角， ∴0°＜∠A＜90°， ∵cos60°，sin70°＝cos20°， ∴cos60°＜cosA＜cos20°， ∴20°＜A＜60°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了余弦函数的增减性及互余三角函数之间的关系，余弦函数的增减性的判断是关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，若，AB＝BD，则sinC＝（　　） A． B． C． D． 【分析】设AB＝BD＝x，可得ADx，根据ADCD，得CD＝x，根据勾股定理得ACx，再根据正弦的定义计算即可． 【解答】解：设AB＝BD＝x， ∵∠B＝90°， ∴ADx， ∵ADCD， ∴CD＝x， ∴BC＝2x， ∴ACx， ∴sinC． 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是关键． 5．如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC＝α，AC＝5米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（　　）米． A． B．5tanα+5 C． D． 【分析】理解题意，得到地毯的长度为AC+BC的长，利用正切定义求得BC＝AC•tanα即可求解． 【解答】解：∵BC⊥AC， ∴△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，∠BAC＝α，AC＝5米， ∴BC＝AC•tanα＝5tanα（米）， ∴地毯的长度为BC+AC＝（5tanα+5）米． 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 6．如图，已知A（﹣2，1）、B（0，0）、C（1，2）则tan∠BAC的值为（　　） A． B．1 C． D． 【分析】根据题意，分别求出AB，BC，AC的长，再结合正切的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为A（﹣2，1）、B（0，0）、C（1，2）， 所以AB， BC， AC， 则AB2+BC2＝AC2， 所以∠ABC＝90°． 在Rt△ABC中， tan∠BAC． 故选：B． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键． 7．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（　　） A． B． C．S1＝S2 D． 【分析】作AM⊥BC于M，FN⊥DE于N，利用三角函数分别表示两个三角形的高AM、FN，再利用三角形面积公式即可表示两个三角形的面积． 【解答】解：作AM⊥BC于M，FN⊥DE于N，如图， 在Rt△ABM中，， ∴AM＝5sin40°， ∴， 在Rt△EFN中，∠FEN＝40°， FN＝5sin40°， ∴， ∴S1＝S2． 故选：C． 【点评】本题考查了三角函数的应用和三角形的面积公式，熟练掌握三角函数知识点是解题关键． 8．某车库入口安装的栏杆如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点，当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置（栏杆宽度忽略不计）．已知AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝120°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，则下列4个车辆限高标志牌最适合该车库的是（参考数据：）（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG＝90°，∠EHA＝90°．先求出∠AEH＝30°，则∠EAH＝60°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH＝AE•sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可． 【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H， 则∠EHG＝∠HEF＝90°， ∵∠AEF＝12°， ∴∠AEH＝∠AEF﹣∠HEF＝30°，∠EAH＝60°， 在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝60°，AE＝1.2米， ∴EH＝AE•sin∠EAH＝1.21.038（米）， ∵AB＝1.18米， ∴AB+EH≈1.18+1.038≈2.2米． 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算． 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．阅读下面材料，，则，则sin245°+cos245°＝1，已知∠A为锐角（cosA＞0）且，则cosA＝ 　　 ． 【分析】利用关系式sin2A+cos2A＝1，结合已知条件cosA＞0且，进行求解即可． 【解答】解：∵sin245°+cos245°＝1， ∴sin2A+cos2A＝1． 证明过程如下： 如图，在△ABC中，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB＝90°， ∵，， ∴， ∵∠ADB＝90°， ∴BD2+AD2＝AB2， ∴sin2A+cos2A＝1， 又∵，∠A为锐角，cosA＞0， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，正确利用相关知识点进行计算分析是解题关键． 10．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，BD＝4cm，则AC长为　8　 cm． 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AD，根据直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：在Rt△ABD中，∠B＝45°， ∴AD＝BD＝4， 在Rt△ADC中，∠C＝30°， ∴AC＝2AD＝8（cm）， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 11．中国古代建筑中的斜脊结构，既有利于排水，又有利于保温，是古代工匠智慧的体现．如图，房屋的屋顶截面结构为等腰三角形，若斜脊AB的坡度i为1：2，房子侧宽BC为12米，则斜脊AB的长为　3　 米． 【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD（米），斜脊AB的坡度i为1：2，得到，求得AD＝3米，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，BC＝12米， ∴BD（米）， ∵斜脊AB的坡度i为1：2， ∴， ∴AD＝3米， ∴AB3（米）， ∴斜脊AB的长为3米． 故答案为：3． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则tan∠APC的值为 　　 ． 【分析】先作AE∥CD交DE于点E，连接BE，然后根据平行线的性质可以得到∠APC＝∠BAE，再根据勾股定理可以得到AE、BE和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△AEB的形状，即可求得tan∠BAE的值，从而可以得到tan∠APC的值． 【解答】解：作AE∥CD交DE于点E，连接BE，如图所示， ∵CD∥AE， ∴∠APC＝∠BAE， 设每个小正方形的边长为a， 由图可知：BEa， AE2a， AB5a， ∴BE2+AE2＝AB2， ∴△AEB是直角三角形， ∴tan∠BAE， ∴tan∠APC， 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 13．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为 　　 km． 【分析】设过A点正北方向直线为AD，过B点正北方向直线为BG，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，由题意得：∠DAB＝65°，∠ADC＝20°，∠CBG＝40°，，则∠CAB＝45°，△ABE为等腰直角三角形，，由平行线的性质可得∠BCE＝60°，再由，求出CE的长，即可得到答案． 【解答】解：如图，设过A点正北方向直线为AD，过B点正北方向直线为BG，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD， 由题意得：∠DAB＝65°，∠ADC＝20°，∠CBG＝40°，， ∴∠CAB＝∠DAB﹣∠DAC＝65°﹣20°＝45°， ∵BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠CEB＝90°， ∴△AEB是等腰直角三角形， ∴， ∵CF∥AD∥BG， ∴∠ACF＝∠DAC＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°， ∴∠BCE＝∠BCF+∠ACF＝40°+20°＝60°， ∴在Rt△BCE中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方位角问题、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 14．如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB＝2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC＝DE＝11cm，∠ABE＝120°，∠CBE＝80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 　34.1　 cm（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713，1.732） 【分析】过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点A作AG⊥EB，交EB的延长线于点G，先利用平角定义可得∠ABG＝60°，然后分别在Rt△ABG和Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出AG和CF的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点A作AG⊥EB，交EB的延长线于点G， ∵∠ABE＝120°， ∴∠ABG＝180°﹣∠ABE＝60°， 在Rt△ABG中，AB＝2cm， ∴AG＝AB•sin60°＝2（cm）， 在Rt△BCF中，∠EBC＝80°，BC＝11cm， ∴CF＝BC•sin80°≈11×0.9848＝10.8328（cm）， ∵器身底部CD距地面的高度为21.5cm， ∴该陶盉管状短流口A距地面的高度＝AG+CF+21.510.8328+21.5≈34.1（cm）， ∴该陶盉管状短流口A距地面的高度约为34.1cm， 故答案为：34.1． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．对于同一锐角α有：sin2α+cos2α＝1，现锐角A满足sinA+cosA． 则sinA﹣cosA的值为 ． 【分析】利用同角的三角函数的关系sin2α+cos2α＝1进行适当的变形转换来求解． 【解答】解：∵（sinA﹣cosA）2＝sin2A+cos2A﹣2sinAcosA， ＝1， ， ∴sinA﹣cosA＝±． 【点评】本题考查了对sin2α+cos2α＝1变形应用能力． 16．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，点M是AD边上一点，连接CM，以CM为边向右作等边△CMN，连接BN，则BN的最小值为 　1　 ． 【分析】以CD为边向右作等边△CDE，连接EN，利用SAS可证得△MCD≌△NCE，于是可得∠NEC＝∠MDC＝90°，则点N在射线EN上运动，过B作BN′⊥EN于N′，由垂线段最短可知，此时BN最小，最小值为BN′的长，延长BC交NE延长线于F，可得∠ECF＝∠FBN′＝30°，然后通过解直角三角形即可求出BN′的长． 【解答】解：由等边三角形可知∠MCN＝60°，CM＝CN， ∴CD＝AB＝1，BC＝AD＝2，∠ADC＝90°， 如图，以CD为边向右作等边△CDE，连接EN， 则∠MCN＝∠DCE＝60°，CE＝CD＝1， ∴∠MCD＝∠NCE＝60°﹣∠DCN， 又∵CM＝CN， ∴△MCD≌△NCE（SAS）， ∴∠NEC＝∠MDC＝90°， ∴点N在射线EN上运动， 如图，过B作BN′⊥EN于N′，由垂线段最短可知，此时BN最小，最小值为BN′的长， 延长BC交NE延长线于F， ∴CE∥BN′， ∴∠FBN′＝∠ECF＝90°﹣∠DCE＝30°， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，同位角相等两直线平行，解直角三角形的相关计算等知识点，得出点N的运动路线是解题的关键． 三．解答题（共6小题，共72分） 17．（12分）计算： （1）sin230°+2sin60°+tan45°+cos230°； （2）2sin45°+2cos60°+|1|+（）﹣1． 【分析】（1）将sin230°+cos230°＝1和特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）将（）﹣1化简为（2﹣1）﹣1，并将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【解答】解：（1）原式＝sin230°+cos230°+2sin60°+tan45° ＝1+21 ＝2． （2）原式221 ＝211+2 ＝22． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系等，牢记特殊角的三角函数值和同角三角函数之间的关系是本题的关键． 18．（12分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D，AD＝6，． （1）求AB的长； （2）求sinC的值． 【分析】（1）先根据∠A的正切及AD的长，求出BD的长，再利用勾股定理即可解决问题． （2）在Rt△BCD中，求出BC的长，再结合正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：（1）∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°． 在Rt△ABD中， tanA， ∵AD＝6， ∴BD＝8， ∴AB10． （2）∵AB＝AC，AB＝10， ∴AC＝10， ∴CD＝AC﹣AD＝10﹣6＝4． 在Rt△BCD中， BC， ∴sinC． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及正弦和正切的定义是解题的关键． 19．（12分）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC＝60°，∠BCA＝45°，AC＝1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：，1.73） 【分析】过B作BH⊥AC于H，设AH＝xm，由含30度角的直角三角形的性质得到AB＝2AH＝2x，由锐角的正切定义得到BHxm，判定△BHC是等腰直角三角形，因此CH＝BHxm，得到x+x＝1640，求出x的值，即可得到AB的长． 【解答】解：过B作BH⊥AC于H， 设AH＝xm， ∵∠BAC＝60°， ∴∠ABH＝90°﹣60°＝30°， ∴AB＝2AH＝2xm， ∴tanA＝tan60°， ∴BHxm， ∵∠BCA＝45°，∠BHC＝90°， ∴△BHC是等腰直角三角形， ∴CH＝BHxm， ∵AH+CHx+x＝AC＝1640， ∴x820（1）， ∴AB＝2x＝1640（1）≈1197（m）． 答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1197m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是过B作BH⊥AC于H，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题． 20．（12分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．海南省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目，某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°． （1）填空：∠APB＝　63　 °； （2）求点D到地面AC的距离； （3）求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）． （参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325） 【分析】（1）过点P作PE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：∠PAC＝45°，BG∥PE∥AC，从而可得∠GBP＝∠BPE＝18°，∠PAC＝∠APE＝45°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）延长PD交AC于点F，根据题意可得：PF⊥AF，然后在Rt△CDF中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DF的长，即可解答； （3）根据题意可得：AB＝53米，AE＝PF，然后设PE＝x米，分别在Rt△AEP和Rt△BEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点P作PE⊥AB，垂足为E， 由题意得：∠PAC＝45°，BG∥PE∥AC， ∴∠GBP＝∠BPE＝18°，∠PAC＝∠APE＝45°， ∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝45°+18°＝63°， 故答案为：63； （2）延长PD交AC于点F， 由题意得：PF⊥AF， 在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝16米， ∴DFCD＝8（米）， ∴点D到地面AC的距离为8米； （3）由题意得：AB＝53米，AE＝PF， 设PE＝x米， 在Rt△AEP中，∠APE＝45°， ∴AE＝PE•tan45°＝x（米）， 在Rt△BEP中，∠BPE＝18°， ∴BE＝PE•tan18°≈0.325x（米）， ∵AE+BE＝AB， ∴x+0.325x＝53， 解得：x＝40， ∴AE＝PF＝40米， ∵DF＝8米， ∴PD＝PF﹣DF＝40﹣8＝32（米）， ∴该风力发电机塔杆PD的高度约为32米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（12分）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 【分析】在Rt△BOD中，根据，得到OD＝10（cm），OB≈22.8（cm），在Rt△COE中，由，得到OE≈18.2（cm），根据DE＝OE﹣OD＝18.2﹣10＝8.2（cm），即可求解． 【解答】解：∵摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA ∴OB＝OC＝OA， 在Rt△BOD中，， ∴，， 在Rt△COE中，OC＝OB＝22.8（cm），∠COE＝37°，， ∴OE＝OC•cos37°≈22.8×0.80＝18.24≈18.2（cm）， ∴DE＝OE﹣OD＝18.2﹣10＝8.2（cm）， ∴ED的长为8.2cm． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的计算方法是解答本题的关键． 22．（12分）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．如图1是俯视图，OA、OB分别表示门框和门所在位置，点M、N分别是OA、OB上的定点，OM＝27cm，ON＝36cm，MF、NF是定长，∠MFN大小可变． （1）图2是门完全打开时的俯视图，此时，OA⊥OB，∠MFN＝180°，求∠MNB的度数； （2）图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置OB（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （3）在门开合的过程中，sin∠ONM的最大值＝　0.75　 ． 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75． 【分析】（1）由OA⊥OB，点M、N分别是OA、OB上的定点，得∠MON＝90°，则tan∠ONM0.75，所以∠ONM＝37°，则∠MNB＝180°﹣37°＝143°； （2）以点O为圆心，以ON为半径作弧，再以点F为圆心，以FN为半径作弧，交前弧于点N、点N′，作射线OB、射线OB′，即得到门所在的位置； （3）作OD⊥MN于点D，则∠ODN＝90°，所以sin∠ONM，由OM≥OD，得OD≤27cm，当OD取得最大值27cm时，sin∠ONM0.75，于是得到sin∠ONM的最大值． 【解答】解：（1）如图2，∵OA⊥OB，点M、N分别是OA、OB上的定点， ∴∠MON＝90°， ∵∠MFN＝180°， ∴M、F、N三点在同一条直线上， ∵OM＝27cm，ON＝36cm， ∴tan∠ONM0.75， ∴∠ONM＝37°， ∴∠MNB＝180°﹣37°＝143°， ∴∠MNB的度数为143°． （2）如图3，作法：1．以点O为圆心，以ON为半径作弧， 2．以点F为圆心，以FN为半径作弧，交前弧于点N、点N′， 3．作射线OB、射线OB′， 射线OB或射线OB′就是此时门的位置． （3）如图4，作OD⊥MN于点D，则∠ODN＝90°， ∴sin∠ONM， ∴当OD最大时，sin∠ONM的值最大， ∵OM≥OD， ∴OD≤27cm， ∴OD的最大值为27cm， 当OD取得最大值27cm时，sin∠ONM0.75， ∴在门开合的过程中，sin∠ONM的最大值是0.75， 故答案为：0.75． 【点评】此题重点考查尺规作图、锐角三角函数与解直角三角形的应用、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $