期中综合测试卷-2025-2026学年苏科版数学九年级上册（章节测试卷+专项训练卷+期中期末卷）

第一学期期中综合测试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） （考试内容：第1章一元二次方程；第2章对称图形——圆） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2024秋•宜兴市期中）已知（m﹣3）2024x﹣2024＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．﹣3 D．±3 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【解析】解：由题意，得 m2﹣7＝2，m﹣3≠0． 解得m＝﹣3， 故选：C． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2．（2024•东营）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 【分析】根据配方法对所给一元二次方程进行转化即可解决问题． 【解析】解：由题知， x2﹣2x﹣2023＝0， x2﹣2x＝2023， x2﹣2x+1＝2023+1， （x﹣1）2＝2024， 所以a＝﹣1，b＝2024， 所以ab＝（﹣1）2024＝1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键． 3．（2023•黔东南州）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（　　） A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm 【分析】r即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值． 【解析】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm； 由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25， ∴AB＝5cm； 又∵AB是⊙C的切线， ∴CD⊥AB， ∴CD＝r； ∵S△ABCAC•BCAB•r； ∴r＝2.4cm， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点有：切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法；斜边上的高即为圆的半径是本题的突破点 4．（2020秋•舞阳县期中）为迎接“双十一”促销活动，某服装店从10月份开始对秋装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价500元的秋装，优惠后实际仅需320元．设该店秋装原本打x折，则有（　　） A．500（1﹣2x）＝320 B．500（1﹣x）2＝320 C．500（）2＝320 D．500（1）2＝320 【分析】设该店秋装原本打x折，根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：设该店春装原本打x折， 依题意，得：500•（）2＝320． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2024•陆丰市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】连接AD，根据圆周角定理及其推论，可分别求出∠ADB＝90°，∠ADE＝∠ACE＝20°，即可求∠BDE的度数． 【解析】解：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ACE＝20°， ∴∠ADE＝∠ACE＝20°， ∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝110°， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 6．（2024秋•常州期中）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“快乐”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“快乐”方程，且a＝c，则下列结论正确的是（　　） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定方程根的情况 【分析】根据a+b+c＝0，得b＝﹣a﹣c，由a＝c，所以b＝﹣2a，可得Δ＝b2﹣4ac＝0，即可得出答案． 【解析】解：∵ax2+bx+c＝0（a≠0）是“快乐”方程， ∴a+b+c＝0， ∴b＝﹣a﹣c， ∵a＝c， ∴b＝﹣2a， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝（﹣2a）2﹣4a•a ＝0， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解． 7．（2024秋•江都区期末）机械学家莱洛研究发明的“莱洛三角形”是：分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图）．已知一个“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为2，则此“莱洛三角形”的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意得出等边三角形的边长为2，过点A作BC的垂线，求出△ABC的面积，再结合扇形的面积公式即可解决问题． 【解析】解：由题知， 因为“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为2， 所以AB＝AC＝BC＝2． 过点A作BC的垂线，垂足为M， 由△ABC是等边三角形得， ∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， 所以∠BAM∠BAC＝30°， 所以BM， 则AM， 所以． 又因为， 所以“莱洛三角形”的面积为：3S扇形ABC﹣2S△ABC． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算及等边三角形的性质，熟知扇形的面积公式及等边三角形的性质是解题的关键． 8．（2023秋•泗阳县期中）如图，⊙O的半径为5，弦BD的长为6，延长BD至点A，使得点D为AB的中点，在⊙O上任取一点C，连接AC、BC，则AC2+BC2的最大值为（　　） A．290 B．272 C．252 D．244 【分析】过C作CH⊥AB于H，由勾股定理推出AC2+BC2＝2CD2+2BD2，因为BD＝6，∴当CD是圆直径时，AC2+BC2的值最大，由圆的半径是5，即可解决问题． 【解析】解：过C作CH⊥AB于H，连接CD， 由勾股定理得：AC2＝CH2+AH2＝CH2+（AD+DH）2，BC2＝CH2+BH2＝CH2+（BD﹣DH）2， ∵AD＝BD， ∴AC2＝CH2+（BD+DH）2＝CH2+DB2+2BD•DH+DH2， ∵BC2＝CH2+DB2﹣2BD•DH+DH2， ∴AC2+BC2＝2CH2+2DB2+2DH2＝2（CH2+DH2）+2BD2＝2CD2+2BD2， ∵BD＝6， ∴当CD最大时，AC2+BC2的值最大， 当CD是圆直径时，CD最大， ∴AC2+BC2的最大值是2×102+2×62＝272． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，关键是由勾股定理推出AC2+BC2＝2CD2+2BD2． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2022•平南县期中）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 【分析】先根据该方程有两个实数根，可知b2﹣4ac≥0，且k+1≠0，求出解集即可． 【解析】解：因为一元二次方程（k+1）x2+x+1＝0有两个实数根， 所以b2﹣4ac＝12﹣4×（k+1）×1≥0，且k+1≠0， 解得，且k≠﹣1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题的关键． 10．（2024•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2+3x1x2的值是 　14　 ． 【分析】先利用根与系数的关系求出两根的和、积，再变形含两根的整式代入得结论． 【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5． ∴（x1﹣x2）2+3x1x2 x1x2 ＝（x1+x2）2﹣x1x2 ＝32﹣（﹣5） ＝9+5 ＝14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握跟与系数的关系及完全平方公式的变形是解决本题的关键． 11．（2024秋•新吴区期中）已知m，n，3分别是等腰三角形三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2﹣8x+21﹣k＝0的两个实数根，则k的值为 　5或6　 ． 【分析】分为两种情况：①m、n是腰，②m、n其中一个是腰，另一个是底边，分别求出答案即可． 【解析】解：①当m、n为腰时，m＝n， ∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣8x+21﹣k＝0的两个根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4×1×（21﹣k）＝0， 解得：k＝5； ②当m和3（或n和3）是腰时，m＝3， 把m＝3代入方程得9﹣24+21﹣k＝0， 解得：k＝6； 所以k＝5或6． 故答案为：5或6． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为3或方程有两个相等的实数根是解题的关键． 12．（2024秋•玄武区期中）如图，正五边形ABCDE的边AB，AE与⊙O分别相切于点M，N，点P在上，连接PM，PN，则∠MPN的度数为 　144　 °． 【分析】根据正五边形的性质求出∠A的度数，再根据切线的性质得到∠OMA＝∠ONA＝90°，由四边形的内角和求出∠MON的度数后，由圆周角定理以及圆内接四边形的性质进行计算即可． 【解析】解：如图，连接OM，ON，在优弧AB上取一点Q，连接QM，QN， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠A108° ∵正五边形ABCDE的边AB，AE与⊙O分别相切于点M，N， ∴∠OMA＝∠ONA＝90°， ∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣108°＝72°， ∴∠MQN∠MON＝36°， ∴四边形PMQN是圆内接四边形， ∴∠MPN+∠MQN＝180°， ∴∠MPN＝180°﹣36°＝144°． 故答案为：144． 【点睛】本题考查正多边形与圆，圆内接四边形的性质，圆周角定理以及切线的性质，掌握正五边形的性质，圆内接四边形的对角互补，圆周角定理以及切线的性质是正确解答的关键． 13．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK1，弧K1K2，弧K2K3，弧K3K4，弧K5K6…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．当AB＝1时，l2019等于 【分析】利用弧长公式，分别计算出l1，l2，l3，…的长；找其中的规律，可得到ln，将n＝2019代入计算即可确定l2019的长． 【解析】解：根据弧长公式可得：l1， l2， l3， l4， …… 依此规律得：ln， ∴l2019673π． 【点睛】本题考查探究规律，解题的关键是掌握弧长公式． 14．（2025春•张店区期中）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，构造如图中大正方形的面积是（x+x+5）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积．即4×14+52，解得x＝2．小明用此方法解关于x的方程x2+6x﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知矩形的面积为16，则大正方形的面积S＝ 　100　 ，n＝ 　16　 ． 【分析】由矩形的面积为16，可得出n＝16，构造大正方形的面积是（x+x+6）2，结合大正方形的面积＝4×16+62＝100，解之可得出x的值，此题得解． 【解析】解：∵x2+6x﹣n＝0， ∴x（x+6）＝n， ∵矩形的面积为16， ∴n＝16． 构造如图中大正方形的面积是（x+x+6）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积， 即4×16+62＝100， 解得：x＝2， ∴大正方形的面积S＝100，n＝16． 故答案为：100，16． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，构造图形，根据大正方形的面积不变求出x的值是解题的关键． 15．（2024秋•杭州期中）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，以AB为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的AC，且交AC于点D，如图2所示，若弧BC为37°，则的度数＝ 　106°　 ． 【分析】由折叠的性质和圆周角定理得，再由AC是圆的直径，即可解决问题． 【解析】解：由圆周角定理和折叠的性质得：， ∵的度数为37°，AC是圆的直径， ∴的度数＝180°﹣37°﹣37°＝106°， 故答案为：106°． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质以及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理和折叠的性质是解题的关键． 16．（2024秋•无锡期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC上的一动点（不与点B、C重合）．连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为F，则线段BF长的最小值为　24　 ． 【分析】首先证明点F的运动轨迹是以AD为直径的⊙O，连接OB，OF．利用三角形的三边关系即可得出结论； 【解析】解：如图， ∵AE⊥DF， ∴∠AFD＝90°， ∴点F的运动轨迹是以AD为直径的⊙O，连接OB，OF． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAO＝90°， ∵AB＝6，AO＝4， ∴OB2，FOAD＝4， ∵BF≥OB﹣OF， ∴BF的最小值为24， 故答案为24． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找点F的运动轨迹，学会利用三角形的三边关系解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共102分） 17．（8分）（2024秋•沙市区期中）解一元二次方程： （1）用直接开平方法：（x﹣2）2﹣4＝0； （2）用配方法：x2﹣4x﹣3＝0． 【分析】（1）先移项，然后利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【解析】解：（1）（x﹣2）2﹣4＝0， （x﹣2）2＝4， x﹣2＝±2， 解得：x1＝0，x2＝4； （2）原方程移项得x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝3+4， （x﹣2）2＝7， ． 解得：，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 18．（8分）（2021秋•长沙县期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作： （1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 　（﹣2，0）　 ； （2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为 　2　 （结果保留根号），∠ADC的度数为 　90°　 ； （3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为 　π　 ．（结果保留根号） 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出D点位置，结合图形得到点D的坐标； （2）利用点的坐标结合勾股定理得出⊙D的半径长，根据勾股定理的逆定理∠ADC的度数； （3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案． 【解析】解：（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D， 则点D即为该圆弧所在圆的圆心， 由图形可知，点D的坐标为（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0）； （2）圆D的半径长2， AC2， ∴AD2+CD2＝20+20＝40＝AC2， ∴∠ADC＝90°， 故答案为：2；90°； （3）由题意可得，该圆锥的底面圆的周长为π． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握弧长公式、正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 19．（10分）（2023秋•鼓楼区校级月考）（1）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB上一点．求作⊙O，使得⊙O过点A，且与BC相切． 要求：①用直尺和圆规作图； ②保留作图痕迹，写出必要的文字说明； （2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是边AB上一点（点D与点A不重合）．若在Rt△ABC的直角边上存在不同的点分别和点A、D构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的AD的长的取值范围． 【分析】（1）按题意找到圆心O，以O为圆心，OA为半径作圆，则⊙O为所求作圆； （2）当以AD为直径的圆与BC相切时，由直角三角形的性质求出半径r，分四种情况讨论可得出答案． 【解析】解：（1）作△BAC的角平分线AM； 过点M作MO⊥BC，MO与AB交于点O； 以O为圆心，OA为半径作圆，则⊙O为所求作圆． （2）当以AD为直径的圆与BC相切时， 设圆的半径为r，即OA＝OM＝OD＝r， ∵OM⊥BC，∠B＝30°， ∴BO＝2OM＝2r， ∴r+2r＝2， 解得r； ∴AD＝2r； 当存在2个点时，以AD为直径的⊙O与CB相离，则； 当存在3个点时，以AD为直径的⊙O与CB相切，则； 当存在4个点时，以AD为直径的⊙O与CB相交，则； 当存在1个点时，点B与点D重合，AD＝2． 综上所述，当存在2个点时，； 当存在3个点时，； 当存在4个点时，； 当存在1个点时，AD＝2． 【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形，直角三角形的存在性，直线与圆的位置关系，数形结合思想，分类讨论思想等内容；找到临界状态即以AD为直径的圆与BC相切，是本题解题关键． 20．（10分）（2025春•浙江月考）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 【分析】（1）求出方程的解，根据C方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【解析】解：（1）是“C方程”，理由如下： ∵x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1， ∵c＝3， ∴一元二次方程x2﹣4x+3＝0是“C方程”； （2）∵关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”， ∴4c2+bc+c＝0， ∵c≠0， ∴b＝﹣4c﹣1， ∴b2﹣4c﹣1＝b2+b＝（b）2， ∵（b）2≥0， ∴b2﹣4c﹣1的最小值为． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解C方程解的定义． 21．（10分）（2024秋•建邺区期中）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC． （1）若∠ACB＝25°，求∠BDC的度数； （2）若点E是弦BD上一点，且AE平分∠CAB，求证：DA＝DE． 【分析】（1）根据圆周角定理求出∠ABC＝90°，从而求出∠BAC的度数，再由圆周角定理的推论求出∠BDC的度数即可； （2）利用角平分线的定义和圆周角定理的推论证明∠BAE＝∠CAE，∠ABD＝∠DAC，从而证明∠DAE＝∠AED，进而证明DA＝DE． 【解析】解：（1）∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵∠ACB＝25°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝65°， ∴∠BDC＝∠BAC＝65°． （2）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠DAC＝∠CBD， ∵AE平分∠CAB， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE，∠AED＝∠BAE+∠ABD＝∠CAE+∠DAC， ∴∠DAE＝∠AED， ∴DA＝DE． 【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理及其推论、角平分线的定义是解题的关键． 22．（10分）（2025春•招远市期中）已知，▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根． （1）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长． 【分析】（1）把AB＝2代入方程求解m，然后再解方程，求出平行四边形的边长，进而问题得解； （2）根据菱形的性质可得AB＝AD，则有关于x的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【解析】解：（1）由题意可得：把x＝2代入方程得：， 解之得， 当时，方程为， 解得：， 即AB的长为2，AD的长为， ∴平行四边形ABCD的周长为：． 答：平行四边形ABCD的周长是为5； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴由题意可得此方程有两个相等的实数根，即Δ＝0， ∴， 即m2﹣2m+1＝0， 解得：m1＝m2＝1， 当m＝1时，方程为， 解得：， ∴当m＝1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长为， 答：当m＝1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长为． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，一元二次方程的应用，平行四边形的性质，根的判别式，熟练掌握菱形的性质及一元二次方程根的判别式是解题的关键． 23．（10分）（2024秋•普宁市期末）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，该市市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1800元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低60元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款22.5万元，求购买的这种健身器材的套数． 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款22.5万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解析】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意得：32（1+x）2＝50， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套， 由题意得：m（180060）＝225000， 整理得：m2﹣400m+37500＝0， 解得：m1＝250，m2＝150， ∵最低售价不得少于1200元， ∴180060≥1200， 解得：m≤200， ∴m＝150， 答：购买的这种健身器材的套数为150套． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（10分）（2024•黄州区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BC＝9，求OD的长． 【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，根据切线的性质由AM切⊙O于点A得OA⊥AD，再根据角平分线定理得到OE＝OA，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）过D作DF⊥BC于F，根据切线的性质得到AB⊥AD，AB⊥BC，则得到四边形ABFD为矩形，得到BF＝AD＝4，所以CF＝BC﹣BF＝5，再利用切线长定理得DA＝DE＝4，CE＝CB＝9，所以DC＝AD+BC＝13，在Rt△DCF中，利用勾股定理计算出DF＝12，则AB＝12，所以OA＝6，然后在Rt△OAD中，利用勾股定理可计算出OD． 【解析】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，如图， ∵AM切⊙O于点A， ∴OA⊥AD， ∵DO平分∠ADC， ∴OE＝OA， ∵OA为⊙O的半径， ∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：过D作DF⊥BC于F，如图， ∵AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B， ∴AB⊥AD，AB⊥BC， ∴四边形ABFD为矩形， ∴BF＝AD＝4， ∴CF＝BC﹣BF＝5， ∵DC、AM、BC为圆的切线， ∴DA＝DE＝4，CE＝CB＝9， ∴DC＝AD+BC＝13， 在Rt△DCF中，DF12， ∴AB＝12， ∴OA＝6， 在Rt△OAD中，OD2． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理． 25．（12分）（2023秋•赣榆区校级月考）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，AP为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，用x的代数式表示出BP和BQ的长可列方程求解； （2）设经过y秒后，存在这样的时刻，使以P为圆心，AP为半径的圆正好经过点Q，则y，整理得，4y2﹣10y+25＝0，根据根的判别式判断此方程无解，据此即可得解． 【解析】解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5）， ∵点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s， ∴AP＝x cm，BQ＝2x cm， ∴BP＝（5﹣x）cm， ∵△PBQ的面积BP•BQ＝4， ∴（5﹣x）×2x＝4， 整理得：x2﹣5x+4＝0， 解得：x1＝1，x2＝4（舍去）， 答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2； （2）不存在这样的时刻，使以P为圆心，AP为半径的圆正好经过点Q，理由如下： 设经过y秒后，存在这样的时刻，使以P为圆心，AP为半径的圆正好经过点Q， ∵点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s， ∴AP＝y cm，BQ＝2y cm， ∴BP＝（5﹣t）cm， ∵∠B＝90°， ∴PQ， ∵以P为圆心，AP为半径的圆正好经过点Q， ∴AP＝PQ， ∴y， ∴y2＝5y2﹣10y+25， ∴4y2﹣10y+25＝0， ∴Δ＝（﹣10）2﹣4×4×25＝﹣300， ∵﹣300＜0， ∴方程4y2﹣10y+25＝0无解， ∴不存在这样的时刻，使以P为圆心，AP为半径的圆正好经过点Q． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于4cm2”“PQ的长度等于2cm”“以P为圆心，AP为半径的圆正好经过点Q”，得出等量关系是解决问题的关键． 26．（14分）（2022秋•秦淮区校级月考）[学习心得] （1）宁宁在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易， 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝　45　 °； [初步运用] （2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝26°，求∠BAC的度数； [方法迁移] （3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，点M为边CD上的一点． 若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 　2≤m1　 ． ②如图4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长， 【分析】（1）由圆周角定理可得出答案； （2）取BD的中点O，连接AO、CO．由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出∠BDC＝∠BAC，则可得出答案； （3）作出等边三角形OAB，由圆周角定理作出图形即可； （4）①在BC上截取BF＝BA＝2，连接AF，以AF为直径⊙O，由图形可知BF≤m＜BQ，由勾股定理求出BF和BQ的长，则可得出答案； ②作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【解析】解：（1）∵∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，∠BAC＝90°， ∴∠BDC∠BAC＝45°； 故答案为：45； （2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴OABD，OCBD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴点A、B、C、D共圆， ∴∠BDC＝∠BAC， ∵∠BDC＝26°， ∴∠BAC＝26°； （3）作图如下： 由图知，∠AP1B∠AOB＝30°；同理∠AP2B＝30°， （4）①在BC上截取BF＝BA＝2，连接AF，以AF为直径⊙O，⊙O交AD于E，交BC于F，连接EF，过圆心O作OG⊥EF于H且交圆O．于G，过G作⊙O的切线KQ交AD于K交BC于Q，如图所示： ∵BA＝BF＝2， ∴AF＝2， ∴⊙O的半径为，即OF＝OG， ∵OG⊥EF， ∴FH＝1， ∴OH＝1， ∴GH1， ∴BF≤m＜BQ， ∴2≤m＜21，即2≤m1， 故答案为：2≤m1； ②如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝90°． 在Rt△BOC中，BC＝6+2＝8， ∴BO＝CO＝4， ∵OE⊥BC，O为圆心， ∴BEBC＝4， ∴DE＝OF＝2． 在Rt△BOE中，BO＝4，BE＝4， ∴OE＝DF＝4． 在Rt△AOF中，AO＝4，OF＝2， ∴AF2， ∴AD＝24． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一学期期中综合测试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） （考试内容：第1章一元二次方程；第2章对称图形——圆） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2024秋•宜兴市期中）已知（m﹣3）2024x﹣2024＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．﹣3 D．±3 2．（2024•东营）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 3．（2023•黔东南州）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（　　） A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm 4．（2020秋•舞阳县期中）为迎接“双十一”促销活动，某服装店从10月份开始对秋装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价500元的秋装，优惠后实际仅需320元．设该店秋装原本打x折，则有（　　） A．500（1﹣2x）＝320 B．500（1﹣x）2＝320 C．500（）2＝320 D．500（1）2＝320 5．（2024•陆丰市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 6．（2024秋•常州期中）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“快乐”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“快乐”方程，且a＝c，则下列结论正确的是（　　） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定方程根的情况 7．（2024秋•江都区期末）机械学家莱洛研究发明的“莱洛三角形”是：分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图）．已知一个“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为2，则此“莱洛三角形”的面积为（　　） A． B． C． D． 8．（2023秋•泗阳县期中）如图，⊙O的半径为5，弦BD的长为6，延长BD至点A，使得点D为AB的中点，在⊙O上任取一点C，连接AC、BC，则AC2+BC2的最大值为（　　） A．290 B．272 C．252 D．244 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2022•平南县期中）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 10．（2024•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2+3x1x2的值是 　 　 ． 11．（2024秋•新吴区期中）已知m，n，3分别是等腰三角形三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2﹣8x+21﹣k＝0的两个实数根，则k的值为 　 ． 12．（2024秋•玄武区期中）如图，正五边形ABCDE的边AB，AE与⊙O分别相切于点M，N，点P在上，连接PM，PN，则∠MPN的度数为 °． 13．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK1，弧K1K2，弧K2K3，弧K3K4，弧K5K6…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．当AB＝1时，l2019等于 14．（2025春•张店区期中）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，构造如图中大正方形的面积是（x+x+5）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积．即4×14+52，解得x＝2．小明用此方法解关于x的方程x2+6x﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知矩形的面积为16，则大正方形的面积S＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ． 15．（2024秋•杭州期中）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，以AB为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的AC，且交AC于点D，如图2所示，若弧BC为37°，则的度数＝ 　 　 ． 16．（2024秋•无锡期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC上的一动点（不与点B、C重合）．连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为F，则线段BF长的最小值为　 ． 三．解答题（共102分） 17．（8分）（2024秋•沙市区期中）解一元二次方程： （1）用直接开平方法：（x﹣2）2﹣4＝0； （2）用配方法：x2﹣4x﹣3＝0． 18．（8分）（2021秋•长沙县期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作： （1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 　 　 ； （2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为 　 （结果保留根号），∠ADC的度数为 　 　 ； （3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为 　 ．（结果保留根号） 19．（10分）（2023秋•鼓楼区校级月考）（1）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB上一点．求作⊙O，使得⊙O过点A，且与BC相切． 要求：①用直尺和圆规作图； ②保留作图痕迹，写出必要的文字说明； （2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是边AB上一点（点D与点A不重合）．若在Rt△ABC的直角边上存在不同的点分别和点A、D构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的AD的长的取值范围． 20．（10分）（2025春•浙江月考）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 21．（10分）（2024秋•建邺区期中）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC． （1）若∠ACB＝25°，求∠BDC的度数； （2）若点E是弦BD上一点，且AE平分∠CAB，求证：DA＝DE． 22．（10分）（2025春•招远市期中）已知，▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根． （1）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长． 23．（10分）（2024秋•普宁市期末）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，该市市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1800元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低60元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款22.5万元，求购买的这种健身器材的套数． 24．（10分）（2024•黄州区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BC＝9，求OD的长． 25．（12分）（2023秋•赣榆区校级月考）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，AP为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 26．（14分）（2022秋•秦淮区校级月考）[学习心得] （1）宁宁在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易， 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝　45　 °； [初步运用] （2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝26°，求∠BAC的度数； [方法迁移] （3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，点M为边CD上的一点． 若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 　2≤m1　 ． ②如图4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$