第6章 相似三角形素养提优单元测试卷B卷-2025-2026学年苏科版数学九年级下册（单元章节测试卷+专项训练卷+期中期末卷）

第6章 相似三角形素养提优单元测试卷B卷 （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．在下列图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中不一定是相似图形的是（　　） A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．两个正方形 3．如图，在△ABC中，AD＝DE＝EB，EF∥DG∥AC，AF与DG相交于点H．若AC＝12，则DH＝（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 4．宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H．则图中下列矩形，除黄金矩形DCGH外，还有黄金矩形（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形ABGH D．矩形EFGH 5．如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平桌面高度的平面示意图，则图3中AB＝（　　） A．3cm B．4cm C． D． 6．如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，连接DE，⊙O是△ADE的外接圆．若∠BAC＝45°，BC＝4，则⊙O的半径为（　　） A．1 B． C．2 D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．当△ABC和△PQA相似时，t的值为（　　） A．3或1 B．或 C． D．或 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，∠ABC的平分线BD交AC于点E，点F在BA的延长线上，AF＝BC．有如下五个结论：①AD＝CD；②△ABE∽△DBC；③AE×CE＝BE×DE；④；⑤四边形ABCD的面积为，则上列说法中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图是”小孔成像”的原理示意图，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是（　　） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 10．如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，△BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，△CDE看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共有5小题，每小题3分，共15分） 11．已知（x，y，z均不为0），求 　 　 ． 12．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则的值为 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，点G是△ABC重心，过点G作DE∥BC分别交边AB、AC于点D、E，联结DC，那么S△DCE：S△DBC＝ 　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣5，2），N（﹣1，2），已知点M在反比例函数的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′（n＞1），若在线段M′N′上总有在反比例函数图象上的点，则n的最大值为 　 　 ． 15．如图，一个由8个正方形组成“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均是1，则边AB的长为 　 　 ． 三．解答题（共7小题，共75分） 16．（6分）若且3a﹣2b+c＝9，求2a+4b﹣3c的值（a，b，c均不为0）． 17．（7分）已知（a，b，c，d均不为0），求证：． 18．（12分）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C． （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作⊙O，使得圆心O在射线AQ上，且⊙O经过A、C两点，交射线AQ于点B； ②在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等； （2）在（1）的条件下，若AC＝4，AB＝5，直接写出OM的长＝ 　 　 ． 19．（12分）小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆AB的影子正好落在坡面CD和地面BC上，已知CD和地面成30°角，CD＝6m，BC＝16m，且此时测得1m高的标杆在地面的影长为2m，求AB的长度． 20．（12分）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 21．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）连接EO并延长，分别交⊙O于M、N两点，交AD于点G，若⊙O的半径为2，∠F＝30°，求GM•GN的值． 22．（14分）问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接CP，在CB上取一点D，使CD＝1，连接PD，则．又因为∠PCD＝∠BCP，所以△PCD∽△BCP，所以．所以．所以． 请你完成余下的思考，并求出的最小值； （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； （3）拓展延伸：如图2，已知在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，P是上一点，求2PA+PB的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 相似三角形素养提优单元测试卷B卷 （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．在下列图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据位似图形的性质判断即可． 【解答】解：据位似图形的概念可知，A、B、C三组图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，准确分析判断是解题的关键． 2．下列图形中不一定是相似图形的是（　　） A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．两个正方形 【分析】根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意； B、两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故此选项不合题意； C、两个菱形，四个边都相等，但对应角不一定相等，不一定相似，故此选项符合题意； D、两个正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑． 3．如图，在△ABC中，AD＝DE＝EB，EF∥DG∥AC，AF与DG相交于点H．若AC＝12，则DH＝（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【分析】首先根据点D、E为边AB的三等分点得AB＝3BE，AE＝2AD，再根据EF∥AC得△BEF和△BAC相似，从而可求出EF＝4，然后根据DG∥EF得△ADH和△AEF相似，进而可求出DH的长． 【解答】解：∵AD＝DE＝EB， ∴AB＝3BE，AE＝2AD， ∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴EF：AC＝BE：AB， ∵AC＝12，AB＝3BE， ∴EF：12＝BE：3BE， ∴EF＝4， ∵DG∥EF， ∴△ADH∽△AEF， ∴DH：EF＝AD：AE， ∵EF＝4，AE＝2AD， ∴DH：4＝AD：2AD， ∴DH＝2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例． 4．宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H．则图中下列矩形，除黄金矩形DCGH外，还有黄金矩形（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形ABGH D．矩形EFGH 【分析】设正方形ABCD的边长为2a，把AB、BG、CG分别用含a的代数式表示出来，再根据黄金矩形的意义可得答案． 【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a， ∵点E，F分别是AD，BC的中点， ∴BF＝CF＝a＝AE＝DE，AB＝DC＝2a，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD∥BC， ∴， 四边形ABFE和四边形EFCD都是矩形， ∴，， ∵∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴∠DCG＝90°＝∠CDH， ∵GH⊥AD， ∴∠H＝90°＝∠DCG＝∠CDH＝∠A＝∠B， ∴四边形DCGH和四边形ABGH都是矩形， ∴GH＝AB＝2a， 在矩形ABGH中，， 在矩形DCGH中，， 在矩形ABFE中，， 在矩形EFCD中，， ∴矩形ABGH和矩形DCGH是黄金矩形． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质及矩形的判定与性质，新定义—黄金矩形，解题的关键是掌握黄金矩形的概念：宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形． 5．如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平桌面高度的平面示意图，则图3中AB＝（　　） A．3cm B．4cm C． D． 【分析】如图，过D作DC⊥AB交GH于G，交EF于E，分别求出CD，ED，EF的长度，证明△BCD∽△FED，利用相似三角形的性质求出BC，然后可得AB的长． 【解答】解：如图，过D作DC⊥AB交GH于G，交EF于E， 根据题意可知GE＝12cm，GD＝6cm，GC＝10cm，EF4＝2（cm）， ∴ED＝12﹣6＝6（cm），CE＝12﹣10＝2（cm）， ∴DC＝4cm， ∵AB∥EF， ∴△BCD∽△FED， ∴，即， ∴cm， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，认识立体图形，关键是相似三角形判定定理的应用． 6．如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，连接DE，⊙O是△ADE的外接圆．若∠BAC＝45°，BC＝4，则⊙O的半径为（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】连接OD、OE，根据等腰直角三角形的性质得到，证明△DAE∽△EAC，根据相似三角形的性质求出DE，根据圆周角定理得到∠DOE＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：如图，连接OD、OE， ∵BD⊥AC，∠BAC＝45°， ∴， 同理可得：， ∴， ∵∠DAE＝∠EAC， ∴△DAE∽△EAC， ∴， ∵BC＝4， ∴DE＝2， 由圆周角定理得：∠DOE＝2∠BAC＝90°， ∴OD＝OEDE＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．当△ABC和△PQA相似时，t的值为（　　） A．3或1 B．或 C． D．或 【分析】先利用勾股定理计算出AB＝5cm，由于∠A为公共角，根据相似三角形的判定方法，当时，△APQ∽△ABC，即；当时，△APQ∽△ACB，即，然后分别解方程得到t的值． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm， ∴AB5（cm）， 根据题意得BP＝tcm，AQ＝tcm，则AP＝（5﹣t）cm， ∵∠PAQ＝∠BAC， ∴当时，△APQ∽△ABC， 即， 解得t； 当时，△APQ∽△ACB， 即， 解得t， 综上所述，t的值为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，∠ABC的平分线BD交AC于点E，点F在BA的延长线上，AF＝BC．有如下五个结论：①AD＝CD；②△ABE∽△DBC；③AE×CE＝BE×DE；④；⑤四边形ABCD的面积为，则上列说法中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】由直径所对的圆周角等于90°可得出∠ABC＝∠ADC＝90°，由已知条件可得出，由同弧所对的圆周角相等即可得出∠ABD＝∠ACD，进而∠ACD＝∠DAC，即可判断①；证明△ABE∽△DBC可判断②；证明△AEB∽△DEC可判断③；△DAF≌△DCB（SAS）可得出FDA＝∠BDC，DF＝DB，证明△FDB为等腰直角三角形，即可判断④；根据S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC即可判断⑤． 【解答】解：∵AC为直径， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∵BD为∠ABC的角平分线， ∴， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ACD＝45°， ∴∠DAC＝45°， ∴AD＝CD， 故①正确； ∵∠BAE＝∠BDC， 又∵ ∴△ABE∽△DBC， 故②正确； ∵∠BAE＝∠CDE， 又∵∠AEB＝∠DEC ∴△AEB∽△DEC， ∴， 即AE•CE＝DE•BE， 故③正确； 由①知DA＝DC， ∵∠FAD＝∠BCD，且AF＝CB， ∴△DAF≌△DCB（SAS）， ∴∠FDA＝∠BDC，DF＝DB ∴∠ADB+∠BDC＝90°， ∴∠FDA+∠ADB＝90°， ∴△FDB为等腰直角三角形， ∴， 即， 故④正确； ∵S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC 故⑤错误，综上①②③④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等角对等边，相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，圆周角定理以及圆内接四边形的性质等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键， 9．如图是”小孔成像”的原理示意图，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是（　　） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 【分析】根据题意知：△AOC∽△BOD，进而利用“相似三角形对应边上的高线之比等于相似比”求得相似比，由“相似三角形对应边成比例”求得答案． 【解答】解：根据题意知，△AOC∽△BOD． ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2． ∴相似比为1：2． ∴AC：BD＝1：2． ∴BD＝2AC＝8cm． 即实像DB的高是8cm． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 10．如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，△BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，△CDE看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（　　） A． B． C． D． 【分析】由黄金三角形的定义得，同理求出，，可得第1个黄金三角形的腰长为AB＝AC＝1，第2个黄金三角形的腰长是，第3个黄金三角形的腰长是，第4个黄金三角形的腰长是，得出规律第n个黄金三角形的腰长是，即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为AB＝AC＝1， ∴， ∴， ∵△BCD是第2个黄金三角形， ∴，第2个黄金三角形的腰长是， ∴， ∵△CDE是第3个黄金三角形， ∴，第3个黄金三角形的腰长是， ∴， ∴第4个黄金三角形的腰长是， …， ∴第n个黄金三角形的腰长是， ∴第2024个黄金三角形的腰长是， 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键． 二．填空题（共有5小题，每小题3分，共15分） 11．已知（x，y，z均不为0），求 　　 ． 【分析】根据题意，设，则得x＝3k，y＝4k，z＝5k，然后分别代入求解即可． 【解答】解：设， 则x＝3k，y＝4k，z＝5k， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 12．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则的值为 　　 ． 【分析】根据黄金分割的定义，即可解答． 【解答】解：一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足， ∴点B是线段AC的黄金分割点， ∴， 即的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，点G是△ABC重心，过点G作DE∥BC分别交边AB、AC于点D、E，联结DC，那么S△DCE：S△DBC＝ 　2：3　 ． 【分析】联结AG并延长交BC于H，根据重心的概念得到AG＝2GH，根据平行线的性质、相似三角形的性质计算即可． 【解答】解：先证明：重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍， 由点G为△ABC的重心，联结AG，BG，CG并延长交BC，AC，AB于H，Q，P， 则由三角形中线性质可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6， S1+S5+S6＝S2+S3+S4，S1+S2+S3＝S4+S5+S6，则2S5＝2S4，2S1＝2S6， ∴S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6， 则， ∴AG＝2GH， 即：重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 联结AG并延长交BC于H， ∵G为△ABC的重心， ∴AG＝2GH，则， ∵DE∥BC， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵DE∥BC， ∴△DCE与△DBC的高相等， 则， 故答案为：2：3． 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念、相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣5，2），N（﹣1，2），已知点M在反比例函数的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′（n＞1），若在线段M′N′上总有在反比例函数图象上的点，则n的最大值为 　　 ． 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值；利用关于原点为位似中心的点的坐标变换规律得到N′（﹣n，2n），由于点N′落在反比例函数y上时，n的值最大，所以把N′点的坐标代入反比例函数解析式可得到n的最大值． 【解答】解：把M（﹣5，2）代入y得k＝﹣5×2＝﹣10； ∵以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M'N'（n＞1）， ∴N′（﹣n，2n）， 当点N′落在反比例函数y上时，n的值最大， ∴﹣n•2n＝﹣10， 解得n1，n2（舍去）， ∴n的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，位似变换，解答本题的关键要明确：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 15．如图，一个由8个正方形组成“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均是1，则边AB的长为 　　 ． 【分析】如解答图所示，连接EG，则∠OEP＝90°，由题意得，小正方形的边长为1，根据勾股定理得出OP，根据矩形的性质可判定△OEP∽△QBM，得到 ，进而得出BM，QB，最后利用AAS证明△QBM≌△MAN，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解． 【解答】解：如图所示，连接EG，则∠OEP＝90°， 由题意得，小正方形的边长为1， ∴OP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，∠MQP＝90°， ∴∠BMQ＝∠CQP＝90°﹣∠MQP， 同理∠EPO＝∠CQP＝90°﹣∠QPC， ∴∠BMQ＝∠EPO， 又∠OEP＝∠B＝90°， ∴△OEP∽△QBM， ∴， ∴BM，QB， ∵∠B＝∠A＝90°，∠NMQ＝90°， ∴∠BMQ＝∠ANM＝90°﹣∠AMN， 在△QBM和△MAN中， ， ∴△QBM≌△MAN（AAS）， ∴AM＝QB， ∴AB＝BM+AM． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形及正方形的性质，根据矩形及正方形的性质作出合理的辅助线构建相似三角形是解题的关键． 三．解答题（共7小题，共75分） 16．若且3a﹣2b+c＝9，求2a+4b﹣3c的值（a，b，c均不为0）． 【分析】设k，利用内项之积等于外项之积得到a＝5k，b＝7k，c＝8k，再根据3a﹣2b+c＝9得到15k﹣14k+8k＝9，则可求出a的值，从而得到a、b、c的值，然后计算代数式的值． 【解答】解：设k，则a＝5k，b＝7k，c＝8k， ∵3a﹣2b+c＝9， ∴15k﹣14k+8k＝9， 解得k＝1， ∴a＝5，b＝7，c＝8， ∴2a+4b﹣3c＝2×5+4×7﹣3×8＝14． 【点睛】本题考查了比例的性质，灵活运用比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题关键． 17．已知（a，b，c，d均不为0），求证：． 【分析】利用等式的性质证明即可． 【解答】证明：∵， ∴22， ∴． 【点睛】本题考查比例线段，等式的性质等知识，解题的关键是掌握等式的性质，属于中考常考题型． 18．如图，已知∠PAQ及AP边上一点C． （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作⊙O，使得圆心O在射线AQ上，且⊙O经过A、C两点，交射线AQ于点B； ②在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等； （2）在（1）的条件下，若AC＝4，AB＝5，直接写出OM的长＝ 　　 ． 【分析】（1）作AC的垂直平分线交AQ于点O． （2）作AC的垂直平分线交AQ于点O，以点O为圆心，OC为半径画圆交AQ于点B，作∠CBQ的角平分线交AP于点M，点M即为所求； （3）根据三角形相似是性质和勾股定理求解． 【解答】解：（1）①⊙O即为所求； ②点M即为所求； （2）过点M作MH⊥AQ于点H， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC3， ∵∠BAC＝∠MAH，∴△BAC∽△MAN， ∴，即：， 解得：MH＝6，AH＝8， ∴OH＝AH﹣AO＝5.5， 在Rt△OHM中，OM， 故答案为：． 【点睛】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的性质是解题的关键． 19．小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆AB的影子正好落在坡面CD和地面BC上，已知CD和地面成30°角，CD＝6m，BC＝16m，且此时测得1m高的标杆在地面的影长为2m，求AB的长度． 【分析】利用直角三角形的性质可得DF，CF的长，也就求得了BE，BF的长；由已知可得AE与影长DE构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例可得AB的长． 【解答】解：作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． 则四边形BFDE是矩形， ∴BE＝DF， ∵DC＝6m，∠DCF＝30°， ∴DF＝3m， ∴BE＝DF＝3m， CF3m， ∴ED＝BF＝BC+CF＝（16+3）m． ∵同一时刻的光线是平行的，水平线是平行的， ∴光线与水平线的夹角相等， 又∵标竿与影长构成的角为直角，AE与ED构成的角为直角， ∴AE与影长DE构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似， ∴， 解得AE＝（8）m， ∴AB＝AE+BE＝（11）m． 答：AB的长为（11）m． 【点睛】考查相似三角形的应用．作出两条辅助线构造出2个直角三角形是解决本题的关键． 20．小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 【分析】（1）根据图象信息可知A（﹣3，2），待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）由图象可知，BC的解析式为y，与反比例函数解析式联立方程求出点C坐标即可． 【解答】解：（1）由图可知点A的坐标为（﹣3，2）， ∵反比例函数图象上过点A，设反比例函数关系式为y， ∴k＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y； （2）直线OA的解析式为yx， 由图象可知，直线OA向上平移三个单位得到直线BC的解析式为y， 联立方程得，解得，（舍去）， ∴C（，4）． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，熟练掌握联立方程求出交点坐标是关键． 21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）连接EO并延长，分别交⊙O于M、N两点，交AD于点G，若⊙O的半径为2，∠F＝30°，求GM•GN的值． 【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠DAE＝∠ODA，进而证得OD⊥DE，根据切线的判定即可证得结论； （2）连接MD，AN，求出OF＝4，DF＝2，则AF＝6，AE＝3，证明AD＝DF＝2，由△DGO∽△AGE，得到，进而得到DGAD，AGAD，证明△MGD∽△AGN，根据相似三角形的性质得到，得到GM•GN＝GD•GAAD•ADAD2． 【解答】.（1）证明：连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝∠OAD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠DAE＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：连接MD，AN， 在Rt△ODF中，OB＝OD＝2，∠F＝30°， ∴ODOF，∠BOD＝60°， ∴OF＝4， ∴DF2， ∴AF＝2+4＝6， 在Rt△AEF中，∠F＝30°， ∴AEAF＝3， ∵∠F＝30°，OD⊥EF， ∴∠DOF＝60°＝∠2+∠3， ∵OA＝OD， ∵∠2＝∠3， ∴∠2＝30°， ∴∠2＝∠F， ∴AD＝DF＝2， ∵OD∥AE， ∴△DGO∽△AGE， ∴， ∴DGAD，AGAD， ∵∠ANM＝∠MDG，∠MGD＝∠AGN， ∴△MGD∽△AGN， ∴， ∴GM•GN＝GD•GAAD•ADAD2（2）2． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解决问题的关键． 22．问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接CP，在CB上取一点D，使CD＝1，连接PD，则．又因为∠PCD＝∠BCP，所以△PCD∽△BCP，所以．所以．所以． 请你完成余下的思考，并求出的最小值； （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； （3）拓展延伸：如图2，已知在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，P是上一点，求2PA+PB的最小值． 【分析】（1）连接CP，在CB上取一点D，使CD＝1，连接PD，利用相似三角形的判定与性质得到，则，要使P最小，则AP+PD最小，故当点A、P、D在同一条直线上时，AP+PD最小，再利用勾股定理解答即可得出结论； （2）连接CP，在CA上取一点D，使CD，连接PD，类比（1）的方法解答即可； （3）延长OC至点E使CE＝OC＝6，连接OP，PE，类比（1）的方法解答即可． 【解答】解：（1）连接CP，在CB上取一点D，使CD＝1，连接PD，如图， 则， ∵∠PCD＝∠BCP， ∴△PCD∽△BCP， ∴， ∴． ∴． ∵要使P最小，则AP+PD最小． ∴当点A、P、D在同一条直线上时，AP+PD最小， 即的最小值为AD的长． 在Rt△ACD中， ∵CD＝1，AC＝6， ∴． ∴BP的最小值为； （2）连接CP，在CA上取一点D，使CD，连接PD，如图， 则， ∵∠PCD＝∠ACP， ∴△PCD∽△ACP， ∴， ∴PDAP， ∴PD+BP， ∵要使的值最小，则BP+PD最小即可， ∴当点B、P、D在同一条直线上时，AP+PD最小， 即的最小值为BD的长． 在Rt△BCD中， ∵CD，BC＝4， ∴BD． ∴的最小值为； （3）延长OC至点E使CE＝OC＝6，连接OP，PE，如图， 则OE＝OC+CE＝6+6＝12， ∵OA＝3，OP＝OC＝6， ∴， ∵∠AOP＝∠POE， ∴△OAP∽△OPE， ∴， ∴EP＝2PA， ∴2PA+PB＝EP+PB． ∴当 E，P，B三点共线时，2PA+PB取得最小值， 即2PA+PB的最小值为BE的长． 在Rt△OBE中，OB＝5，OE＝12， ∴BE13， ∴2PA+PB的最小值为13． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，同圆的半径相等，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $