第6章 相似三角形基础过关单元测试卷A卷-2025-2026学年苏科版数学九年级下册（单元章节测试卷+专项训练卷+期中期末卷）

第6章 相似三角形基础过关单元测试卷A卷 （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．已知ab＝mn，改写成比例式错误的是（　　） A．a：n＝b：m B．m：a＝b：n C．b：m＝n：a D．a：m＝n：b 3．利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图象，如图是一个微距拍摄成像的示意图．若拍摄60mm远的物体AB，其在底片上的图象A'B'的宽是36mm，焦距是90mm，则物体AB的宽是（　　） A．6mm B．12mm C．24mm D．30mm 4．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（　　） A．∠2＝∠B B．∠1＝∠C C． D． 5．如图，正方形网格中每个小正方形边长为1，点A、B、C都在格点上，AC、BC分别与网格线交于点D、E，则DE的长为（　　） A． B． C．1 D． 6．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（　　） A．30 B．45 C．15 D．5 7．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 8．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ为（　　） A．24m B．18m C．12m D．6m 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦AB＝90cm，支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，则BC＝　 　 cm．（结果保留根号） 10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且，则AE的长为 11．如果两个相似三角形对应角平分线之比为1：4，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为 　 　 ． 12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E在边AC上，CE＝2AE，延长BC到点D，使∠D＝∠B，若BC＝3，则DC的长是 　 　 ． 13．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，且，若S△ADE＝1，则S四边形BCDE＝ 　 　 ． 14．如图，点G是△ABC的重心，过点G作GE∥BC，交AB于点E，连接BG，若△GEB的面积为1，则△ABC的面积为 　 　 ． 15．如图，以原点O为位似中心，将△OAD放大为原来的2倍，得到△OBC．点D（2，2）是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是 　 　 ． 16．边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 三．解答题（共72分） 17．（12分）（1）已知，且b+d﹣f＝18，则a+c﹣e＝ 　 　 ． （2）已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26． ①求a、b、c的值； ②若线段x是线段a、b的比例中项，求线段x的长； ③若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 　 　 ． 18．（12分）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，且AB＝2BC，请在图中按如下要求进行操作和证明： （1）用圆规在CA上截取CD＝CB，保留痕迹，标注点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧交AB于点P，保留痕迹，标注点P； （2）证明点P是线段AB的黄金分割点． 19．（12分）如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，AE交BD于点F． （1）求证：△ADF∽△EBF； （2）若BE＝6，EC＝3，BF＝5，求对角线BD的长． 20．（12分）如图，某小区文化墙前面有两根高度不一的圆柱形立柱，立柱与文化墙均垂直于地面，且两立柱与墙的距离均为2.4米．小明观察到高为1.2米的矮立柱的影子完全落在地面上，其影长为1.6米；而高立柱的部分影子落在墙上．假设落在地面上的影子均与墙面互相垂直，在不计立柱粗细与影子宽度的情况下，请回答下列问题： （1）小明的身高为1.65米，此刻他的影子完全落在地面上，则小明的影长为多少米？ （2）此刻测得高立柱落在墙上的影长为1.3米，求高立柱的高度． 21．（12分）如图，点C是以AB为直径的⊙O与直线l的交点，∠ACD＝∠ABC，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC． （1）求证：直线l是⊙O的切线； （2）若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径． 22．（12分）【问题提出】 （1）如图1，AD是△ABC的角平分线，求证：. 聪明的小敏立即想到：作CE∥AB，交AD的延长线于点E． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． 请根据小敏的思路，完成证明． 【理解应用】 （2）填空：如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于点D，则CD长度为 　 　 ． 【迁移应用】 （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在线段EF上作一点P，使（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【深度思考】 （4）如图3，AD是△ABC的角平分线，若BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积最大值是 　 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 相似三角形基础过关单元测试卷A卷 （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似图形的概念即可作出判断．判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 【解答】解：根据相似图形的概念得，选项D中的两个图形不相似； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似图形，正确地识别图形是解题的关键． 2．已知ab＝mn，改写成比例式错误的是（　　） A．a：n＝b：m B．m：a＝b：n C．b：m＝n：a D．a：m＝n：b 【分析】根据等式的性质，可得答案． 【解答】解：A、a：n＝b：m⇒am＝bn，故A错误； B、m：a＝b：n⇒ab＝mn，故B正确； C、b：m＝n：a⇒ab＝mn，故C正确； D、a：m＝n：b⇒ab＝mn，故D正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：分子分母交叉相乘，乘积相等． 3．利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图象，如图是一个微距拍摄成像的示意图．若拍摄60mm远的物体AB，其在底片上的图象A'B'的宽是36mm，焦距是90mm，则物体AB的宽是（　　） A．6mm B．12mm C．24mm D．30mm 【分析】由题意可知△A′B′O∽△ABO，利用相似三角形的性质：对应高之比等于相似比即可求出宽AB的长． 【解答】解：∵AB∥A′B′， ∴△A′B′O∽△ABO， ∴， ∴， ∴AB＝24． 答：物体AB的宽是24m． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形在实际问题中的应用，用到的知识点是：相似三角形对应高之比等于相似比． 4．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（　　） A．∠2＝∠B B．∠1＝∠C C． D． 【分析】相似三角形的判定： （1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 由此结合各选项进行判断即可． 【解答】解：∠A＝∠A， A、若添加∠2＝∠B，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误； B、若添加∠1＝∠C，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误； C、若添加，可利用两边及其夹角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误； D、若添加，不能判定△AED∽△ABC，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，难度一般． 5．如图，正方形网格中每个小正方形边长为1，点A、B、C都在格点上，AC、BC分别与网格线交于点D、E，则DE的长为（　　） A． B． C．1 D． 【分析】先根据平行线分线段成比例定理推导出，再由DE∥AB，证明△DEC∽△ABC，则，求得DEAB，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，取格点H、F，连接CH、BH、EF， ∵正方形网格中每个小正方形边长为1， ∴AB＝1，CF＝2，CH＝3， ∵EF∥BH， ∴， ∵DE∥AB， ∴△DEC∽△ABC， ∴， ∴DEAB， 故选：B． 【点睛】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△DEC∽△ABC是解题的关键． 6．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（　　） A．30 B．45 C．15 D．5 【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为1：3，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3， ∵△ABC的周长为15， ∴△DEF的周长为45． 故选：B． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，正确记忆相似三角形周长的比等于相似比是解题关键． 7．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵DE∥BC，DF∥BE， ∴，△ADE∽△ABC，，，， ∴， ∴选项A、B、C正确，D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 8．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ为（　　） A．24m B．18m C．12m D．6m 【分析】根据题意可知：△ABC∽△AQP，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到PQ的长． 【解答】解：由题意可得， BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m， ∴△ABD∽△AQP， ∴， 即， 解得QP＝6， ∴树高PQ＝6m， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦AB＝90cm，支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，则BC＝　（4545）　 cm．（结果保留根号） 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，AB＝90cm， ∴BCAB90＝（4545）cm， 故答案为：（4545）． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且，则AE的长为 【分析】由∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，得∠C＝60°，AC＝4，而D为AB的中点，所以，求得DE＝1，当∠ADE＝90°时，则△ADE∽△ABC，所以，求得AE＝2；当∠ADE≠90°时，取AC的中点F，连接DF，则DF∥BC，且DFBC＝1，所以∠EFD＝∠C＝60°，DF＝DE，则△DEF是等边三角形，所以EF＝DF＝1，则AE＝1，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2， ∴∠C＝60°，AC＝2BC＝4， ∵D为AB的中点， ∴ADAB， ∴， ∴DEBC＝1， 当∠ADE＝90°时，如图1， ∵∠ADE＝∠B＝90°，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴AEBC＝2； 当∠ADE≠90°时，如图2，取AC的中点F，连接DF，则AF＝CFAC＝2， ∵D为AB的中点， ∴DF∥BC，且DFBC＝1， ∴∠EFD＝∠C＝60°，DF＝DE， ∴△DEF是等边三角形， ∴EF＝DF＝1， ∴AE＝AF﹣EF＝2﹣1＝1， 综上所述，AE的长为1或2， 【点睛】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识，按∠ADE是否等于90°进行分类讨论是解题的关键． 11．如果两个相似三角形对应角平分线之比为1：4，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为 　32　 ． 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【解答】解：∵两个相似三角形对应角平分线之比为1：4， ∴两个三角形的相似比为1：4， ∴两个三角形的面积比为1：16， ∵较小的三角形面积为2， ∴大三角形的面积，32． 故答案为：32． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E在边AC上，CE＝2AE，延长BC到点D，使∠D＝∠B，若BC＝3，则DC的长是 　2　 ． 【分析】由CE＝2AE，得，由∠ECD＝∠ACB＝90°，∠D＝∠B，证明△EDC∽△ABC，则，而BC＝3，则DCBC＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵CE＝2AE， ∴CA＝2AE+AE＝3AE， ∴， ∵∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上， ∴∠ECD＝∠ACB＝90°， ∵∠D＝∠B， ∴△EDC∽△ABC， ∴， ∵BC＝3， ∴DCBC3＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△EDC∽△ABC是解题的关键． 13．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，且，若S△ADE＝1，则S四边形BCDE＝ 　3　 ． 【分析】根据相似三角形性质可得到，结合已知即可得出结果． 【解答】解：∵△ADE∽△ABC，且， ∴△ADE与△ABC相似比为， ∴， ∵S△ADE＝1， ∴S△ABC＝4S△ADE＝4， ∴S四边形BCDE＝ 3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形相似的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 14．如图，点G是△ABC的重心，过点G作GE∥BC，交AB于点E，连接BG，若△GEB的面积为1，则△ABC的面积为 　9　 ． 【分析】延长AG交BC于D点，如图，先根据三角形重心的定义和性质得到AG＝2GD，BD＝CD，再利用平行线分线段成比例定理得到2，则根据三角形面积公式可得2，接着计算出S△ABG＝3，然后利用AG＝2DG得到S△BDG，则S△ABD，最后利用BD＝CD得到S△ABC＝2S△ABD． 【解答】解：延长AG交BC于D点，如图， ∵点G是△ABC的重心， ∴AG＝2GD，BD＝CD， ∵EG∥BC， ∴2， ∴2， 即S△AEG＝2S△GBE＝2×1＝2， ∴S△ABG＝2+1＝3， ∵AG＝2DG， ∴S△BDGS△ABG， ∴S△ABD＝3， ∵BD＝CD， ∴S△ABC＝2S△ABD＝29． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形的面积、平行线分线段成比例定理． 15．如图，以原点O为位似中心，将△OAD放大为原来的2倍，得到△OBC．点D（2，2）是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是 y2　 ． 【分析】利用位似图形的性质求得点C（4，4），再利用待定系数法求解即可． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， ∵将△OAD放大为原来的2倍，得到△OBC，点D（2，2）， ∴点C（2×2，2×2），即点C（4，4）， ∵点D（2，2）是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点， ∴y＝a（x﹣2）2+2， 将C（4，4）代入得，4＝a（4﹣2）2+2， 解得：， ∴抛物线的解析式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是求出点C的坐标． 16．边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 　15　 ． 【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可． 【解答】解：如图， ∵BF∥DE， ∴△ABF∽△ADE， ∴， ∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10， ∴， ∴BF＝2， ∴GF＝6﹣2＝4， ∵CK∥DE， ∴△ACK∽△ADE， ∴， ∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10， ∴， ∴CK＝5， ∴HK＝6﹣5＝1， ∴阴影梯形的面积（HK+GF）•GH （1+4）×6 ＝15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 四．解答题（共6小题，共72分） 17．（12分）（1）已知，且b+d﹣f＝18，则a+c﹣e＝ 　8　 ． （2）已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26． ①求a、b、c的值； ②若线段x是线段a、b的比例中项，求线段x的长； ③若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 　8　 ． 【分析】（1）根据题意得出b，在结合b+d﹣f＝18即可解决问题． （2）①根据，设a＝3k，b＝2k，c＝6k，再结合a+2b+c＝26求出k的值即可解决问题． ②根据比例中项的定义进行计算即可． ③根据成比例线段的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为， 所以b． 又因为b+d﹣f＝18， 所以， 则a+c﹣e＝8． 故答案为：8． （2）①设， 则 a＝3k，b＝2k，c＝6k． 由a+2b+c＝26得， 3k+4k+6k＝26， 解得k＝2， 所以a＝6，b＝4，c＝12． ②因为线段x是线段a、b的比例中项， 所以x2＝6×4， 所以x（舍负）， 则线段x的长为． ③因为四条线段a，b，c，d为成比例线段， 所以， 即ad＝bc， 所以6d＝4×12． 解得d＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了比例线段，熟知成比例线段及比例中项的定义是解题的关键． 18．（12分）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，且AB＝2BC，请在图中按如下要求进行操作和证明： （1）用圆规在CA上截取CD＝CB，保留痕迹，标注点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧交AB于点P，保留痕迹，标注点P； （2）证明点P是线段AB的黄金分割点． 【分析】（1）根据题意进行尺规作图即可； （2）设BC＝x，根据勾股定理、结合图形求出即可． 【解答】解：（1）如图所示： （2）设BC＝x，则AB＝2x，ACx， 由题意得，CD＝x， 则AP＝AD＝（1）x， ， 则点P是线段AB的黄金分割点． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即ABAC＝ACBC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 19．（12分）如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，AE交BD于点F． （1）求证：△ADF∽△EBF； （2）若BE＝6，EC＝3，BF＝5，求对角线BD的长． 【分析】（1）利用平行四边形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用（1）的结论和相似三角形的性质定理求得DF，则BD＝DF+BF． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠BEF，∠ADF＝∠EBF， ∴△ADF∽△EBF； （2）解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC， ∵BE＝6，EC＝3， ∴AD＝BE+EC＝9． ∵△ADF∽△EBF， ∴， ∴， ∴DF＝7.5， ∴BD＝DF+BF＝12.5． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 20．（12分）如图，某小区文化墙前面有两根高度不一的圆柱形立柱，立柱与文化墙均垂直于地面，且两立柱与墙的距离均为2.4米．小明观察到高为1.2米的矮立柱的影子完全落在地面上，其影长为1.6米；而高立柱的部分影子落在墙上．假设落在地面上的影子均与墙面互相垂直，在不计立柱粗细与影子宽度的情况下，请回答下列问题： （1）小明的身高为1.65米，此刻他的影子完全落在地面上，则小明的影长为多少米？ （2）此刻测得高立柱落在墙上的影长为1.3米，求高立柱的高度． 【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题． （2）如图，连接AE，作FB∥EA．分别求出AB，BC的长即可解决问题． 【解答】解：（1）设小明的影长为x米． 由题意得，解得x＝2.2， 经检验：x＝2.2是分式方程的解． ∴小明的影长为2.2米； （2）如图，连接AE，作FB∥EA． ∵AB∥EF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴AB＝EF＝1.3米， 设BC＝y米， 由题意BC落在地面上的影长为2.4米． ∴， ∴y＝1.8， ∴AC＝AB+BC＝1.3+1.8＝3.1（米）， 答：高圆柱的高度为3.1米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21．（12分）如图，点C是以AB为直径的⊙O与直线l的交点，∠ACD＝∠ABC，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC． （1）求证：直线l是⊙O的切线； （2）若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OC，利用等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠ACD，再利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，进而得到∠OCD＝90°，然后利用切线到判定可得结论； （2）先利用勾股定理求得AD＝3，再证明△ABC∽△ACD，利用相似三角形到性质求解即可． 【解答】（1）证明：点C是以AB为直径的⊙O与直线l的交点，如图，连接OC， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠ACD＝∠OBC， ∴∠OCB＝∠ACD， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠OCB＝90°， ∴∠ACO+∠ACD＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∴OC⊥DC， ∵OC是⊙O的半径， ∴直线l是⊙O的切线； （2）解：∵AD⊥DC， ∴∠ADC＝90°， 在直角三角形ACD中，AC＝5，CD＝4， 由勾股定理得：， ∵∠ACD＝∠OBC，∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ABC∽△ACD， ∴，即， ∴， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 22．【问题提出】 （1）如图1，AD是△ABC的角平分线，求证：. 聪明的小敏立即想到：作CE∥AB，交AD的延长线于点E． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． 请根据小敏的思路，完成证明． 【理解应用】 （2）填空：如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于点D，则CD长度为 　3　 ． 【迁移应用】 （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在线段EF上作一点P，使（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【深度思考】 （4）如图3，AD是△ABC的角平分线，若BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积最大值是 　3　 ． 【分析】（1）作CE∥AB，交AD的延长线于点E．根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠BAD＝∠E，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到AB10，由AD平分∠CAB交BC于点D，得到，得到CD＝3； （3）①作30°角：先作等边三角形EFG，再作∠GEF的角平分线，交GF于点Q；②构造相似：再作QO＝QE，交EF的延长线于点O，易证△OQF∽△OEQ，于是得到结论； （4）由AD是△ABC的角平分线，得到，设AB＝3x，AC＝x，过A作AH⊥BC于H，根据勾股定理得到CH＝x2﹣2，AH，根据三角形的面积公式得到△ABC的面积BC•AH22，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：作CE∥AB，交AD的延长线于点E． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵CE∥AB， ∴∠BAD＝∠E， ∴∠CAD＝∠E， ∴AC＝CE， ∵AB∥CE， ∴△ABD∽△ECD， ∴， ∴； （2）解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∵AD平分∠CAB交BC于点D， ∴， ∴， ∴CD＝3， 故答案为：3； （3）如图所示， 作法提示：①作30°角：先作等边三角形EFG，再作∠GEF的角平分线，交GF于点Q； ②构造相似：再作QO＝QE，交EF的延长线于点O，易证△OQF∽△OEQ，且相似比为； ③作圆：以O为圆心，OQ为半径作圆，则P为圆与线段EF的交点； （4）∵BD＝3，CD＝1， ∴BC＝4， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴， 设AB＝3x，AC＝x， 过A作AH⊥BC于H， ∴∠AHB＝90°， ∴AC2﹣CH2＝AB2﹣BH2， ∴x2﹣CH2＝9x2﹣（4+CH）2， ∴CH＝x2﹣2， ∴AH， ∴△ABC的面积BC•AH22， ∴当x2时，△ABC的面积有最大值，△ABC的面积的最大值为23， 故答案为：3． 【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了三角形的面积、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $