第5章 二次函数素养提优单元测试卷B卷-2025-2026学年苏科版数学九年级下册（单元章节测试卷+专项训练卷+期中期末卷）

第5章 二次函数素养提优测试卷 （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．若y＝（m2+m）是二次函数，则m的值是（　　） A．m＝1±2 B．m＝2 C．m＝﹣1或m＝3 D．m＝3 2．二次函数y＝（a2+1）x2﹣3x+1的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．一次函数y＝kx+b与二次函数y＝kx2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数y＝x2﹣4ax+a（a≠0）的图象经过，B（5a，y2）两点，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个实数a，使得y1＞0 B．无论实数a取什么值，都有y1＞0 C．可以找到一个实数a，使得y2＜a D．无论实数a取什么值，都有y2＜a 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＜0；②a+c＞﹣b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝kx+c图象如图所示，则函数y＝﹣ax2﹣bx+kx+1图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，2），抛物线与y轴的交点位于x轴上方．以下结论：①a＞0；②c＜0；③a﹣b+c＝2；④b2﹣4ac＞0；⑤2a﹣b＝0；⑥4a（c﹣2）＝b2，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知二次函数，在b取不同值的情况下，部分函数值y与x的对应关系如下表： b … ﹣6 ﹣4 0 2 4 … x … * 4 0 ﹣2 ﹣4 … y … * 0 ﹣4 0 8 … 则下列结论： ①当x＝﹣b时，y有最小值； ②无论b取何值，二次函数的图象始终经过一个定点； ③所有y的最大值中，有最小值﹣4； ④当﹣3＜b＜2时，y的值始终为负数． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．若点A（﹣1，a），B（2，b）在二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m＞0）的图象上，则a　 　 b．（填“＞”、“＜”或“＝”） 10．已知二次函数y＝﹣2x2，当﹣3＜x＜1时，y的取值范围是 　 　 ． 11．如图，已知二次函数与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于A（﹣1，2）、B（4，1）两点，则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m＞0的解集为 　 　 ． 12．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0）．若﹣4＜b＜1，则m的取值范围是 　 ． 13．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数yx2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 　 　 ． 14．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，请你探究： （1）C2对应的函数表达式为　 　 ； （2）m的取值范围是　 　 ． 15．如图，已知抛物线，等边△ABC的边长为，顶点A在抛物线上滑动，且BC边始终平行水平方向，当△ABC在滑动过程中，点B落在坐标轴上时，C点坐标是：　 　 ． 16．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为 　 　 ． ①； ②当时，代数式a2+b2﹣5b+8的最小值为3； ③对于任意实数m，不等式am2+bm﹣a+b≥0一定成立； ④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，当x1+x2+2＞0时，一定有y1＜y2． 三．解答题（共72分） 17．（12分）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（2，3）． （1）求b，c的值； （2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差； （3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为9，求k的值． 18．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）； （1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标； （2）求证：无论m为何值，该抛物线顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上； （3）当﹣4≤m≤3时，求该函数图象顶点纵坐标的取值范围． 19．（12分）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝17m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计） （1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式； （2）点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长． 20．（12分）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的成本为每千克12元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为14元时，日销售量为2000千克；销售单价为16元时，日销售量为1600千克． 任务一：建立函数模型 （1）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），分别求出y与x以及W与x的函数表达式； 任务二：设计销售方案 （2）该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8000元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请你说明理由． 21．（12分）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值． （1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值； （2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y上，且x0．求点P到y轴的距离； （3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数． 22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a、b为常数，a＞0）．（1）若抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当b＝1时，过点C（﹣1，a）、分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN； （3）当a＝1，b≤﹣2时，过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 二次函数素养提优测试卷答案和试卷解析 （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B A C D B C 1．若y＝（m2+m）是二次函数，则m的值是（　　） A．m＝1±2 B．m＝2 C．m＝﹣1或m＝3 D．m＝3 【分析】让x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可． 【解答】解：根据题意的得：， 解得：， ∴m＝3， 故选：D． 【点睛】利用二次函数的定义解决问题． 2．二次函数y＝（a2+1）x2﹣3x+1的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据二次函数图象与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵a2+1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵b＝﹣3＜0， ∴对称轴在y轴的右侧， ∵c＝1＞0， ∴抛物线与y轴正半轴相交， ∴抛物线过一、二、四象限， ∴抛物线不经过第三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是关键． 3．一次函数y＝kx+b与二次函数y＝kx2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先由二次函数y＝kx2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝kx+b的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，k＞0，b＜0，由直线可知，k＜0，b＞0，故本选项不合题意； B、由抛物线可知，k＞0，b＞0，由直线可知，k＞0，b＞0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，k＜0，b＞0，由直线可知，k＜0，b＜0，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，k＜0，b＜0，由直线可知，k＞0，b＞0，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质． 4．已知二次函数y＝x2﹣4ax+a（a≠0）的图象经过，B（5a，y2）两点，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个实数a，使得y1＞0 B．无论实数a取什么值，都有y1＞0 C．可以找到一个实数a，使得y2＜a D．无论实数a取什么值，都有y2＜a 【分析】先求出二次函数的对称轴，然后分别计算y1和y2，再根据二次函数的性质对选项进行分析判断． 【解答】解：在二次函数y＝x2﹣4ax+a中，对称轴为x2a， 将x代入二次函数y＝x2﹣4ax+a中： y14aa 6a2+a a ＝a（1） 令y1＞0，即a（1）＞0， 分两种情况讨论： a＞0，1＞0，解得a， ∴0＜a， a＜0，1＜0，解得a， 此时没有交集，无解， ∴存在实数a（0＜a），使得y1＞0，所以选项A正确，选项B错误， 将x＝5a代入二次函数y＝x2﹣4ax+a中， y2＝（5a）2﹣4a×5a+a ＝25a2﹣20a2+a ＝5a2+a， 令y2＜a，即5a2+a＜a，移项可得5a2＜0， 因为任何实数的平方都大于等于0，所以5a2＜0无解，即不存在实数a使得y2＜a，选项C错误，选项D错误， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，通过代入点的坐标计算函数值，在结合不等式求解来判断选项的正确性，熟练掌握二次函数对称轴公式，以及解二次不等式的方法，是解题的关键． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＜0；②a+c＞﹣b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】观察图象可知a＜0，b＞0，c＞0，可判断①； 观察函数图象可知当x＝1时，y＞0，可判断②； 由对称性知该函数图象必过点（5，0），故函数解析式可化为交点式，即y＝a（x+1）（x﹣5），可判断③； 由交点式可知此函数顶点坐标为（2，﹣9a），当m＞﹣9a时，可知y＝m与y＝ax2+bx+c无交点坐标，可判断④． 【解答】解：观察图象可知a＜0，b＞0，c＞0， 故abc＜0，故①正确； 观察函数图象可知当x＝1时，y＞0， 即a+b+c＞0，即a+c＞﹣b，故②正确； ∵该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2． ∴由对称性知该函数图象必过点（5，0）， ∴函数解析式可化为交点式，即y＝a（x+1）（x﹣5）， 即多项式ax2+bx+c可因式分解为a（x+1）（x﹣5），故③错误； 由交点式可知此函数解析式为y＝ax2﹣4ax﹣5a， 从而可得顶点坐标为（2，﹣9a）， ∵当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根 ∴当m＞﹣9a时，可知y＝m与y＝ax2+bx+c无交点坐标， 故关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根，故④正确． 综上，正确的序号为①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，对称性，交点式，顶点坐标，熟练掌握以上内容是解题关键． 6．已知同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝kx+c图象如图所示，则函数y＝﹣ax2﹣bx+kx+1图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据所给二次函数解析式可知，二次函数的图象过定点（0，1），据此可解决问题． 【解答】解：因为二次函数解析式为y＝﹣ax2﹣bx+kx+1， 所以当x＝0时，y＝1， 则此二次函数的图象过定点（0，1）， 显然只有D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及一次函数的性质，能根据题意得出函数图象过定点是解题的关键． 7．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，2），抛物线与y轴的交点位于x轴上方．以下结论：①a＞0；②c＜0；③a﹣b+c＝2；④b2﹣4ac＞0；⑤2a﹣b＝0；⑥4a（c﹣2）＝b2，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，逐一分析判断，即可解题． 【解答】解：∵抛物线的顶点为（﹣1，2）， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1， ∴a，b异号， 不能确定a＞0， 故①错误； ∵抛物线与y轴的交点位于x轴上方． ∴c＞0， 故②错误； ∵抛物线的顶点为（﹣1，2）， ∴a﹣b+c＝2， 故③正确； ∵抛物线的顶点为（﹣1，2），抛物线的开口方向不确定， ∴b2﹣4ac的取值不确定； 故④错误； ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a， ∴2a﹣b＝0； 故⑤正确； ∵抛物线的顶点为（﹣1，2）， ∴， ∴4ac﹣b2＝8a， 整理得4a（c﹣2）＝b2， 故⑥正确． 综上所述，正确的有③⑤⑥共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键． 8．已知二次函数，在b取不同值的情况下，部分函数值y与x的对应关系如下表： b … ﹣6 ﹣4 0 2 4 … x … * 4 0 ﹣2 ﹣4 … y … * 0 ﹣4 0 8 … 则下列结论： ①当x＝﹣b时，y有最小值； ②无论b取何值，二次函数的图象始终经过一个定点； ③所有y的最大值中，有最小值﹣4； ④当﹣3＜b＜2时，y的值始终为负数． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【分析】把b＝0，x＝0，y＝﹣4代入二次函数，可得c＝4，从而知二次函数的解析式为yx2﹣bx+b﹣4，求出对称轴x＝﹣b结合开口方向即可判断①； 因为yx2﹣bx+b﹣4，令x﹣1＝0，即x＝1，此时y，即可判断②； 设M＝ymax，M为b的二次函数，对称轴为b＝﹣1，此时Mmin，即可判断③； 对于二次函数yx2﹣bx+b﹣4，考虑其判别式Δ＝b2+2b﹣8＝（b+4）（b﹣2），故得Δ为b的二次函数，开口向上，当﹣4＜b＜2时，Δ＜0，即可判断④； 【解答】解：根据表中b＝0，x＝0，y＝﹣4代入二次函数， ∴c＝4， ∴二次函数的解析式为yx2﹣bx+b﹣4， ∵a0，对称轴为x＝﹣b， ∴二次函数的图象开口向下，当x＝﹣b时，y有最大值， ∴结论①错误； ∵yx2﹣bx+b﹣4，令x﹣1＝0， 即x＝1，此时y， 故二次函数的图象始终经过一个定点（1，）， 故结论②正确； ∵二次函数yx2﹣bx+b﹣4的对称轴为直线x＝﹣b，当x＝﹣b时， 设M＝ymax， 故M为b的二次函数，对称轴为b＝﹣1， 此时Mmin， ∴所有y的最大值中，有最小值， 故结论③错误； 对于二次函数yx2﹣bx+b﹣4，考虑其判别式， ∵Δb2+2（b﹣4）＝b2+2b﹣8＝（b+4）（b﹣2）， Δ为b的二次函数，开口向上， 故当﹣4＜b＜2时，Δ＜0， 亦即当﹣3＜b＜2时，Δ＜0， 此时，二次函数yx2﹣bx+b﹣4与x轴无交点，故函数值始终为负数， 故结论④正确． 综上，②④正确， 故选：C． 【点睛】本题以表格数据推理形式考查了二次函数的图象与性质、图象过定点问题、最值、根的判别式、图象与x轴的交点问题、函数与方程思想，熟练掌握函数与方程思想以及二次函数的图象性质是解题关键． 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．若点A（﹣1，a），B（2，b）在二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m＞0）的图象上，则a　＞　 b．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴，然后比较两个点离对称轴的远近得到a、b的大小关系． 【解答】解：∵y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m＞0） ∴开口向上，对称轴为直线x1， ∵点A（﹣1，a），B（2，b）在二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m＞0）的图象上，且1﹣（﹣1）＞2﹣1， ∴a＞b， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．已知二次函数y＝﹣2x2，当﹣3＜x＜1时，y的取值范围是 　﹣18＜y≤0　 ． 【分析】根据二次函数的增减性分﹣3＜x≤0和0＜x≤1分别求出y的取值范围，再求解即可． 【解答】解：当x＝﹣3时，y＝﹣2x2＝﹣2×（﹣3）2＝﹣18， 当x＝0时，y＝﹣2x2＝﹣2×02＝0， 当x＝1时，y＝﹣2x2＝﹣2×12＝﹣2， 所以，当﹣3＜x≤0时，﹣18＜y≤0， 当0＜x≤1时，﹣2＜y≤0， 所以，当﹣3＜x≤1时，y的取值范围是﹣18＜y≤0． 故答案为：﹣18＜y≤0． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记性质并根据函数图象判断出二次函数取值范围内的增减性是解题的关键． 11．如图，已知二次函数与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于A（﹣1，2）、B（4，1）两点，则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m＞0的解集为 x＜﹣1或x＞4　 ． 【分析】由ax2+（b﹣k）x+c﹣m＞0，得ax2+bx+c＞kx+m，根据图象找到二次函数在一次函数图象上方的部分对应的x的范围即可． 【解答】解：由ax2+（b﹣k）x+c﹣m＞0得： ax2+bx﹣kx+c﹣m＞0， ∴ax2+bx+c＞kx+m， 由图可知关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集为：x＜﹣1或x＞4， ∴关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m＞0的解集为：x＜﹣1或x＞4， 故答案为：x＜﹣1或x＞4． 【点睛】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，熟练掌握数形结合的数学思想，掌握“图象在下方的部分对应的函数值较小”是解答本题的关键． 12．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0）．若﹣4＜b＜1，则m的取值范围是 　﹣2＜m＜3且m≠1　 ． 【分析】由题意得：y＝（x﹣1）（x﹣m）＝x2﹣（m+1）x+m，即b＝﹣（m+1），即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（x﹣1）（x﹣m）＝x2﹣（m+1）x+m， 即b＝﹣（m+1）， 则﹣4＜﹣（m+1）＜1， 解得：﹣2＜m＜3， 故答案为：﹣2＜m＜3且m≠1． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，利用二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），求函数的表达式是解题的关键． 13．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数yx2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 　（3，0）或（4，0）　 ． 【分析】依据题意，yx2+（k﹣1）x+k﹣3与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标关于y轴对称，再进行分类讨论，即k＝0和k≠0两种情况，求出yx2+（k﹣1）x+k﹣3与x轴的交点坐标，即可解答． 【解答】解：①当k＝0时，函数的解析式为y＝﹣x﹣3， 此时函数的图象与x轴只有一个交点成立， 当y＝0时，可得0＝﹣x﹣3，解得x＝﹣3， ∴y＝﹣x﹣3与x轴的交点坐标为（﹣3，0）， 根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）； ②当k≠0时， ∵函数yx2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点， ∴b2﹣4ac＝0，即（k﹣1）2﹣4（k﹣3）＝0． ∴k＝﹣1． ∴函数的解析式为yx2﹣2x﹣4， 当y＝0时，得0 ∴x＝﹣4， ∴它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（4，0）． 综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为C（3，0）或C（4，0）． 故答案为：（3，0）或（4，0）． 【点睛】本题主要考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点问题，进行分类讨论是解题的关键． 14．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，请你探究： （1）C2对应的函数表达式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5）　 ； （2）m的取值范围是　　 ． 【分析】（1）首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式， （2）分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过点B时m的值，结合图象即可得到答案． 【解答】解：（1）令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，即x2﹣4x+3＝0， 解得x＝1或x＝3， ∴点A（1，0），B（3，0）， ∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，AB＝2， ∴C2解析式为y＝﹣2（x﹣2﹣2）2+2＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5）； 故答案为：y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5）； （2）设当y＝x+m1与C2相切时， ∴，即2x2﹣15x+30+m1＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣15）2﹣4×2（30+m1）＝0， ∴Δ＝﹣8m1﹣15＝0， 解得， 当y＝x+m2过点B时，即0＝3+m2， 解得m2＝﹣3， ∴由图象可得，当有3个不同交点， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题． 15．如图，已知抛物线，等边△ABC的边长为，顶点A在抛物线上滑动，且BC边始终平行水平方向，当△ABC在滑动过程中，点B落在坐标轴上时，C点坐标是：　（2，0），（2，0），（2，﹣6）　 ． 【分析】根据等边三角形的边长解直角三角形求出等边三角形的高为3，然后分①点B在x轴上时，点A的坐标为纵坐标为3，代入抛物线解析式求出点A的横坐标，根据等边三角形的性质，然后利用等边三角形的性质解答即可；②点B在y轴上时，点A的横坐标为等边三角形边长的一半，即，然后代入抛物线解析式求出点A的纵坐标，再向下3个单位长度即为点C的纵坐标，点C的横坐标的长度等于等边三角形的边长，写出即可． 【解答】解：∵等边△ABC的边长为， ∴高线AD＝23，边长的一半为， ①如图1，点B在x轴上时，点A的纵坐标为3， ∵点A在抛物线上滑动， ∴x2﹣2x＝3， 整理得，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x±， 当x时，2， 此时，点C的坐标为（2，0）， 当x时，2， 此时，点C的坐标为（2，0）； ②如图2，点B在y轴上时，点A的横坐标等于等边三角形边长的一半，为， ∵点A在抛物线上滑动， ∴2﹣23﹣6＝﹣3， ﹣3﹣3＝﹣6， 所以点C的坐标为（2，﹣6）， 综上所述，点C的坐标为（2，0），（2，0），（2，﹣6）． 故答案为：（2，0），（2，0），（2，﹣6）． 【点睛】本题综合考查了二次函数问题，等边三角形的性质，难点在于要分点在x轴上与y轴上两种情况讨论求解． 16．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为 　①③④　 ． ①； ②当时，代数式a2+b2﹣5b+8的最小值为3； ③对于任意实数m，不等式am2+bm﹣a+b≥0一定成立； ④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，当x1+x2+2＞0时，一定有y1＜y2． 【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称，从而可得二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝﹣1，故1，即b＝2a，再结合二次函数的性质，逐个进行判断可以得解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝﹣1． ∴1． ∴b＝2a． ∴2，故①正确． 将b＝2a代入a2+b2﹣5b+8， ∴a2+b2﹣5b+8＝a2+4a2﹣5×2a+8 ＝5（a2﹣2a+1）+3 ＝5（a﹣1）2+3． ∵， ∴当a时，a2+b2﹣5b+8取最小值为5×（1）2+3，故②错误． ∵b＝2a， ∴am2+bm﹣a+b＝am2+2am﹣a+2a ＝am2+2am+a ＝a（m2+2m+1） ＝a（m+1）2． ∵a＞0，（m+1）2≥0， ∴am2+bm﹣a+b＝a（m+1）2≥0，即am2+bm﹣a+b≥0，故③正确． ∵x1+x2+2＞0， ∴1． ∴x1，x2的中点在对称轴的右侧． ∵x1＜x2， ∴点P离对称轴的距离比Q离对称轴的距离近． ∵抛物线开口向上， ∴y1＜y2，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 三．解答题（共72分） 17．（12分）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（2，3）． （1）求b，c的值； （2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差； （3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为9，求k的值． 【分析】（1）将已知两点坐标代入函数解析式中，求得b，c的值； （2）先写出二次函数解析式，求出最小值，再在0≤x≤4内求出最大值，从而可求得y的最大值与最小值之差； （3）分k﹣4≤x≤k≤1、k﹣4≤1且k≥1、1≤k﹣4≤x≤k三种情况讨论，分别求出k的值． 【解答】解：（1）∵函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（2，3）．将两点坐标分别代入得： ， 解得：； （2）由（1）得：函数的解析式为y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∵1＞0， ∴抛物线的开口向上，当x＝1时，y有最小值2， 当0≤x≤4时，x＝1在0≤x≤4内， 当x＝0时，得：y＝3， 当x＝4时，得：y＝42﹣2×4+3＝11， ∴二次函数的最小值为2，最大值为11， ∴y的最大值与最小值之差为11﹣2＝9； （3）①当k﹣4≤x≤k≤1时， 仅当x＝k时，y取得最小值，此时y＝k2﹣2k+3； 仅当x＝k﹣4时，y取最大值，此时y＝（k﹣4）2﹣2（k﹣4）+3； ∴（k﹣4）2﹣2（k﹣4）+3﹣（k2﹣2k+3）＝9， 解得：， ∵k≤1， ∴不符合； ②当k﹣4≤1且k≥1时，即1≤k≤5，此时y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2最小值为2， 当x＝k﹣4取得最大值时， 即1﹣（k﹣4）≥k﹣1时，k≤3， ∴1≤k≤3， 此时最大值为y＝（k﹣4）2﹣2（k﹣4）+3， ∴（k﹣4）2﹣2（k﹣4）+3﹣2＝9， 解得：k＝2或k＝8， ∵1≤k≤3， ∴k＝8不符合， ∴此时k＝2； 当x＝k取得最大值时， 即k﹣1≥1﹣（k﹣4）时，k≥3， ∴3≤k≤5， 此时最大值为y＝k2﹣2k+3， ∴k2﹣2k+3﹣2＝9， 解得：k＝﹣2或k＝4， ∵3≤k≤5， ∴k＝﹣2不符合， ∴此时k＝4； ③当1≤k﹣4≤x≤k时，即k≥5， 仅当x＝k﹣4，y取得最小值， 此时y＝（k﹣4）2﹣2（k﹣4）+3， 仅当x＝k，y取得最大值， 此时y＝k2﹣2k+3， ∴k2﹣2k+3﹣[（k﹣4）2﹣2（k﹣4）+3]＝9， 解得：k＝4.125， ∵k≥5， ∴k＝4.125不符合， 综上所述，k的值为k＝4或k＝2． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程的解法，y＝ax2+bx+c的最值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 18．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）； （1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标； （2）求证：无论m为何值，该抛物线顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上； （3）当﹣4≤m≤3时，求该函数图象顶点纵坐标的取值范围． 【分析】（1）化成顶点是即可得到结果； （2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可； （3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可． 【解答】（1）解：当m＝2时，抛物线为y＝﹣x2+x+2， ∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x）2， ∴抛物线的顶点坐标为（，）； （2）证明：y＝﹣x2+（m﹣1）x+m＝﹣（x）2， 把x代入y＝（x+1）2得：y＝（1）2， 则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上； （3）解：设函数z， 当m＝﹣1时，z有最小值为0； 当m＜﹣1时，z随m的增大而减小； 当m＞﹣1时，z随m的增大而增大， 当m＝﹣4时，z；当m＝3时，z＝4， 则当﹣4≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是04． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 19．（12分）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝17m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计） （1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式； （2）点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长． 【分析】（1）依据题意，由AO＝17m，从而A（0，17），又OC＝100m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m，可得抛物线的顶点P为（50，2），故可设抛物线为y＝a（x﹣50）2+2．，又将A代入抛物线可求得a的值，进而可以得解； （2）依据题意，由缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，又缆索L1所在抛物线为y（x﹣50）2+2，从而可得缆索L2所在抛物线为y（x+50）2+2，又令y＝2.6，可得2.6（x+50）2+2，求出x＝﹣40或x＝﹣60，进而计算可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵AO＝17m， ∴A（0，17）． 又OC＝100m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m， ∴抛物线的顶点P为（50，2）． 故可设抛物线为y＝a（x﹣50）2+2． 又将A代入抛物线可得， ∴2500a+2＝17． ∴a． ∴缆索L1所在抛物线为y（x﹣50）2+2． （2）由题意，∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称， 又缆索L1所在抛物线为y（x﹣50）2+2， ∴缆索L2所在抛物线为y（x+50）2+2． 又令y＝2.6， ∴2.6（x+50）2+2． ∴x＝﹣40或x＝﹣60． 又FO＜OD＝50m， ∴x＝﹣40． ∴FO的长为40m． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 20．（12分）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的成本为每千克12元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为14元时，日销售量为2000千克；销售单价为16元时，日销售量为1600千克． 任务一：建立函数模型 （1）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），分别求出y与x以及W与x的函数表达式； 任务二：设计销售方案 （2）该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8000元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请你说明理由． 【分析】任务一：（1）设日销售量y（千克）与销售单价x（元）的一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），运用待定系数法求解可得一次函数解析式，由销售与利润的数量关系即可； 任务二：（2）将销售与利润的数量关系转换为顶点式，再根据函数的性质求出最大值，然后与8000比较即可得出结论． 【解答】解：任务一：（1）设y＝kx+b（k≠0）， 由题意可得：， 解得， ∴y＝﹣200x+4800， ∵成本为每千克12元，销售单价每千克x（元）， ∴W＝（x﹣12）y＝（x﹣12）（﹣200x+4800）＝﹣200x2+7200x﹣57600， ∴y与x的函数表达式为y＝﹣200x+4800；W与x的函数表达式为W＝﹣200x2+7200x﹣57600； 任务二：（2）该种蔬菜的销售不能获得日销售利润8000元，理由： W＝﹣200x2+7200x﹣57600＝﹣200（x﹣18）2+7200， ∵﹣200＜0， ∴当x＝18时，W取最大值7200， ∵7200＜8000， ∴该种蔬菜的销售不能获得日销售利润8000元． 解法二：令W＝8000，则﹣200x2+7200x﹣57600＝8000， 整理得：x2﹣36x+328＝0， ∵Δ＝（﹣36）2﹣4×1×328＝1296﹣1312＝﹣16＜0， ∴原方程无实数解， ∴该种蔬菜的销售不能获得日销售利润8000元． 【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数的实际运用，理解销售与利润的数量关系，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 21．（12分）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值． （1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值； （2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y上，且x0．求点P到y轴的距离； （3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数． 【分析】（1）利用求抛物线对称轴公式即可求得答案； （2）根据题意得b，代入y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2，再根据抛物线对称轴公式建立方程求解即可； （3）由题意得b，代入y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2，用含a的代数式表示x0，再根据题意列不等式组求解即可． 【解答】解：（1）若a＝﹣1，b＝3，则y＝（x+1）2+（x﹣3）2＝2x2﹣4x+10， ∵当x1时，y取得最小值， ∴x0＝1； （2）∵点P（a，b）在双曲线y上， ∴b， ∴y＝（x﹣a）2+（x）2＝2x2﹣（2a）x+a2， ∵x0， ∴a1＝2，a2＝﹣1， 当a＝2时，点P到y轴的距离为2； 当a＝﹣1时，点P到y轴的距离1； 综上所述，点P到y轴的距离为2或1； （3）∵a2﹣2a﹣2b+3＝0， ∴b， 由题意得：x0， ∵1≤x0＜3， ∴13， 整理得：1≤a2＜9， ∴﹣3＜a≤﹣1或1≤a＜3， ∵a为整数， ∴a＝﹣2或﹣1或1或2，共4个． 【点睛】本题是函数综合题，考查了二次函数的性质，反比例函数性质，解不等式组等，理解题意，熟练运用二次函数的性质是解题关键． 22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a、b为常数，a＞0）．（1）若抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当b＝1时，过点C（﹣1，a）、分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN； （3）当a＝1，b≤﹣2时，过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接CN，根据题意，求得M（﹣1，a﹣2），N（1，a），进而求出CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，利用勾股定理求出，求出，从而得到∠NDM＝∠NMD，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设G（m，m﹣1），则H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3，求出当a＝1时，x2＝1﹣b≥3，得到点G在H的上方，设GH＝t，故t＝﹣m2+（1﹣b）m，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点， ∴分别将 A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣1中， 得， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）证明：连接CN，如图， ∵b＝1， ∴y＝ax2+x﹣1， 当x＝﹣1时，y＝a﹣2， ∴M（﹣1，a﹣2）， 当x＝1时，y＝a， ∴N（1，a）， ∵C（﹣1，a），N（1，a）， ∴CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，CM⊥CN， 在Rt△CMN中，CM＝2，CN＝2， ∴， ∵， ∴DN＝MN， ∴∠NDM＝∠NMD， ∵DN∥CM， ∴∠NDM＝∠CMD， ∴∠NMD＝∠CMD， ∴MD平分∠CMN． （3）解：设G（m，m﹣1），则H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3， 当a＝1时，y＝x2+bx﹣1， ∵过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线， 令x2+bx﹣1＝x﹣1， 解得x1＝0，x2＝1﹣b． ∵b≤﹣2， ∴x2＝1﹣b≥3， 点G在H的上方，如图， 设GH＝t，则t＝﹣m2+（1﹣b）m， 其对称轴为，且， ①当时，即﹣5≤b≤﹣2， 由图可知， 当时，t取得最大值， 解得b＝﹣3或b＝5（舍去）， ②当时，得b＜﹣5， 由图可知， 当m＝3时，t取得最大值﹣9+3﹣3b＝4， 解得（舍去）， 综上所述，b的值为﹣3． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $