第5章 二次函数基础过关单元测试卷（A卷）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册（单元章节测试卷+专项训练卷+期中期末卷）

第5章 二次函数基础过关单元测试卷（A卷） （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A． B．s＝2t2﹣2t+1 C．y＝ax2+bx+c D．y＝（x﹣1）2﹣x2 2．已知点（﹣3，y1），（0，y2），（2，y3）在二次函数y＝2x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 3．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x+1）2+2 B．y＝2（x﹣1）2+2 C．y＝2（x+1）2﹣2 D．y＝2（x﹣1）2﹣2 4．下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值，可以估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是（　　） x … 0.25 0.5 0.75 1 … y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 … A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.5 C．0.5＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1 5．在二次函数y＝﹣（x﹣m）2+6中，若x＞2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＝2 B．m＞2 C．m≥2 D．m≤2 6．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3，2），将点A向左平移4个单位长度得到点B，连接AB，若抛物线y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知直线y＝﹣x与抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）在第二象限有两个公共点，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC长与正方形MNPQ的边长均为2cm，CA与MN在直线l上．开始时A点与M点重合；让△ABC向右平移；直到C点与N点重合时为止．设△ABC与正方形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．若二次函数y＝ax2﹣bx﹣1的图象经过点（2，1），则2024+2a﹣b＝ 　 　 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 　 　 ． 11．如图，二次函数y＝ax2+h（a≠0）与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于A（﹣2，n），B（3，m）两点，则不等式ax2+h＜kx+b的解集是 　 　 ． 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x ﹣1 0 1 2 3 y 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 则方程ax2+bx+c＝5的所有解的和是　 　 ． 13．在2024年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为 　 　 米． 14．如图，平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣1的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．若点D是二次函数图象上位于第一象限内的一点，且四边形ACBD的面积为4，则点D坐标为 　 　 ． 15．把二次函数y＝x2+4x﹣10向上平移k个单位长度（k＞0），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么k应满足条件 　 　 ． 16．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，若P（40，m）在其中一段抛物线上，则m＝ 　 　 ． 三．解答题（共6小题，共72分） 17．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），其中两个变量x与y的部分对应值如下表所示： x … ﹣4 ﹣3 ﹣1 m 1 … y … 0 ﹣4 ﹣6 ﹣4 0 … （1）则m＝ 　 　 ； （2）求该二次函数的表达式； （3）当﹣3≤x≤1时，则y的取值范围是 　 　 ． 18．（12分）抛物线y＝a（x﹣2）2的顶点为A，与y轴交于点B（0，4）． （1）求a的值； （2）若将该抛物线向右平移6个单位，写出平移后的抛物线表达式，并求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标． 19．（12分）已知抛物线y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m． （1）求证：无论m取任何实数，该抛物线与x轴都有两个公共点； （2）若m＝1，抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左边），与y轴的交点为C，求△ABC的面积． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）． （1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围． 21．（12分）海安滨海新区是驰名中外的“紫菜之乡”，拥有15万亩海上养殖基地，所产干紫菜销往世界各地．某超市1月份以20元/袋的价格购进一批紫菜，经市场调查后发现，这种紫菜的月销售量y（袋）与售价x（元/袋）（25≤x≤45）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设该紫菜的总销售利润为w元，若要使销售利润最大，售价x应定为多少元？该月进货数量多少袋？ （3）若该超市想要获利不高于进价的60%，则售价定为多少元时，销售利润达到最大？ 22．（12分）在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数y＝x2﹣2|x|（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答： （1）作图探究： ①下表是y与x的几组对应值： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 0 ﹣1 0 n 8 … 则m＝　 　 ，n＝　 　 ； ②在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）深入思考：根据所作图象，回答下列问题： ①方程x2﹣2|x|＝0的解是　 　 ； ②如果y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝k有4个交点，则k的取值范围是　 　 ； （3）延伸思考： 将函数y＝x2﹣2|x|的图象经过怎样的平移可得到的图象？请写出平移过程，并直接写出当﹣3≤y1＜﹣2时，自变量x的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 二次函数基础过关单元测试卷（A卷） （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共有8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B C D D C C 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A． B．s＝2t2﹣2t+1 C．y＝ax2+bx+c D．y＝（x﹣1）2﹣x2 【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），逐一判断即可解答． 【解答】解：A、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、s＝2t2﹣2t+1，是二次函数，故此选项符合题意； C、y＝ax2+bx+c，当a＝0时，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、化简后为y＝﹣2x+1，是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2．已知点（﹣3，y1），（0，y2），（2，y3）在二次函数y＝2x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 【分析】根据二次函数得到开口向下和对称轴，再根据距离对称轴远近进行判断即可． 【解答】解：二次函数y＝2x2+4x+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， 点（﹣3，y1）距离对称轴有2个单位长度， （0，y2）距离对称轴有1个单位长度， （2，y3）距离对称轴有3个单位长度， 根据距离对称轴越远函数值越大可得：y2＜y1＜y3． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键． 3．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x+1）2+2 B．y＝2（x﹣1）2+2 C．y＝2（x+1）2﹣2 D．y＝2（x﹣1）2﹣2 【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【解答】解：∵抛物线y＝2x2向右平移1个单位长度， ∴平移后解析式为：y＝2（x﹣1）2， ∴再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）2+2， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键． 4．下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值，可以估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是（　　） x … 0.25 0.5 0.75 1 … y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 … A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.5 C．0.5＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1 【分析】由当x＝0.5时，ax2+bx+c＜0；当x＝0.75时，ax2+bx+c＞0，即可得方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围． 【解答】解：由当x＝0.5时，ax2+bx+c＜0；当x＝0.75时，ax2+bx+c＞0， 得方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是0.5＜x＜0.75， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了估算一元二次方程的解，解题关键是数形结合思想的应用． 5．在二次函数y＝﹣（x﹣m）2+6中，若x＞2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＝2 B．m＞2 C．m≥2 D．m≤2 【分析】由二次函数y＝﹣（x﹣m）2+6中，若x＞m时，y随x的增大而减小，同时二次函数y＝﹣（x﹣m）2+6当x＞2时，y随x的增大而减小，即可得m≤2． 【解答】解：由二次函数y＝﹣（x﹣m）2+6中，若x＞m时，y随x的增大而减小， 同时二次函数y＝﹣（x﹣m）2+6当x＞2时，y随x的增大而减小， 可得m≤2． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线的增减性，解题关键是数形结合思想的正确应用． 6．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3，2），将点A向左平移4个单位长度得到点B，连接AB，若抛物线y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求得B的坐标，然后分别将点A，B的坐标代入解析求出a的值，再结合函数图象求解即可得． 【解答】解：∵点A的坐标是（3，2）， ∴将点A向左平移4个单位长度得到点B（﹣1，2）， 将点A（3，2）代入抛物线y＝ax2（a≠0）得可得：9a＝2，解得a； 将点B（﹣1，2）代入抛物线y＝ax2（a≠0）得：a＝2， 如图，若抛物线y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点， 则a的取值范围是， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，找到两个临界位置是解题关键． 7．已知直线y＝﹣x与抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）在第二象限有两个公共点，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直线y＝﹣x与抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）在第二象限有两个公共点，可以得到方程ax2+（b+1）x+c＝0有两个不同的实数根，b+1和c的正负情况，然后即可判断函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象的开口方向，对称轴所在的位置、与y轴的交点位置，从而可以判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵直线y＝﹣x与抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）在第二象限有两个公共点， ∴方程﹣x＝ax2+bx+c有两个不同的实数根， 即方程ax2+（b+1）x+c＝0有两个不同的实数根， 设方程ax2+（b+1）x+c＝0的两个实数根为x1，x2， ∵直线y＝﹣x与抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）在第二象限有两个公共点， ∴x1＜0，x2＜0， ∴x1x20，x1+x20， ∵a＞0， ∴c＞0，b+1＞0， ∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左侧，与x轴有两个交点， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC长与正方形MNPQ的边长均为2cm，CA与MN在直线l上．开始时A点与M点重合；让△ABC向右平移；直到C点与N点重合时为止．设△ABC与正方形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据动点的运动过程确定每段阴影部分与x的关系类型，根据函数的性质确定选项． 【解答】解：当x≤2时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形， 面积为：yx2， 是一个开口向上的二次函数； 当x＞2时， 重合部分是直角梯形， 面积为：y＝2（x﹣2）2， 是一个开口向下的二次函数． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是确定每段阴影部分与x的关系类型，根据函数的性质确定选项． 二．填空题（共有8小题，每小题3分，共24分） 9．若二次函数y＝ax2﹣bx﹣1的图象经过点（2，1），则2024+2a﹣b＝ 　2025　 ． 【分析】将（2，1）代入y＝ax2﹣bx﹣1得4a﹣2b﹣1＝1，即可求得2a﹣b＝1，代入2024+2a﹣b即可求解． 【解答】解：将（2，1）代入y＝ax2﹣bx﹣1得4a﹣2b﹣1＝1， ∴2a﹣b＝1， ∴2024+2a﹣b＝2024+1＝2025． 故答案为：2025． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 　4　 ． 【分析】依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），可得，求出a，b后可得抛物线的解析式，再求得对称轴，依据对称性可得A的坐标，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3）， ∴． ∴． ∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3． ∴抛物线的对称轴是直线x1． ∵抛物线与x轴的一交点为B（3，0）， ∴另一交点为A（1﹣2，0），即A（﹣1，0）． ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 11．如图，二次函数y＝ax2+h（a≠0）与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于A（﹣2，n），B（3，m）两点，则不等式ax2+h＜kx+b的解集是 　﹣2＜x＜3　 ． 【分析】根据二次函数与不等式的关系求解． 【解答】解：由图象得：当﹣2＜x＜3时，ax2+h＜kx+b， 故答案为：﹣2＜x＜3． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x ﹣1 0 1 2 3 y 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 则方程ax2+bx+c＝5的所有解的和是　4　 ． 【分析】先根据所给数据求出对称轴，进而求出点（﹣1，5）在抛物线上的对称点，点（﹣1，5）及其对称点的横坐标即为方程的解，然后即可求出和． 【解答】解：点（1，﹣3），（3，﹣3）均在二次函数的图象上， ∴对称轴为直线， 当x＝﹣1时，y＝5， ∴点（﹣1，5）关于对称轴的对称点为点（5，5）， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝5的解是x1＝﹣1，x2＝5． 方程ax2+bx+c＝5的所有解的和是﹣1+5＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键． 13．在2024年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为 　12　 米． 【分析】根据题意，当y＝0时x的值就是这次实心球的成绩． 【解答】解：当y＝0时，， 整理，得x2﹣10x﹣24＝0， 解得x1＝12，x2＝﹣2（舍）， 所以小康这次实心球训练的成绩是12米． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与x轴的交点，令y＝0，求出x的值，再判断答案． 14．如图，平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣1的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．若点D是二次函数图象上位于第一象限内的一点，且四边形ACBD的面积为4，则点D坐标为 　（2，3）　 ． 【分析】先解方程x2﹣1＝0得到A（﹣1，0），B（1，0），再计算自变量为0对应的函数值得到D（0，﹣1），设D（t，t2﹣1）（t＞0），根据三角形面积公式，利用S△ABD+S△BCD＝4得到（1+1）×1（1+1）×（t2﹣1）＝4，然后解方程求出t，从而得到D点坐标． 【解答】解：当y＝0时，x2﹣1＝0， 解方程得x1＝﹣1，x2＝1， ∴A（﹣1，0），B（1，0）， 当x＝0时，y＝x2﹣1＝﹣1， ∴D（0，﹣1）， 设D（t，t2﹣1）（t＞0）， ∵四边形ACBD的面积为4， ∴S△ABD+S△BCD＝4， 即（1+1）×1（1+1）×（t2﹣1）＝4， 解得t1＝2，t2＝﹣2（舍去）， ∴D点坐标为（2，3）． 故答案为：（2，3）． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 15．把二次函数y＝x2+4x﹣10向上平移k个单位长度（k＞0），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么k应满足条件 　0＜k＜14且k≠10　 ． 【分析】先写出平移后的抛物线解析式为y＝x2+4x﹣10+k，根据题意平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点，则根据根的判别式的意义得到Δ＝42﹣4（﹣10+k）＞0且﹣10+k≠0，然后解不等式组得到k的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x﹣10向上平移k个单位长度（k＞0）， ∴平移后的抛物线解析式为y＝x2+4x﹣10+k， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点， ∴平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点， ∴Δ＝42﹣4（﹣10+k）＞0且﹣10+k≠0， 解得k＜14且k≠10， ∴k的取值范围为0＜k＜14且k≠10． 故答案为：0＜k＜14且k≠10． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换． 16．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，若P（40，m）在其中一段抛物线上，则m＝ 　﹣2　 ． 【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值． 【解答】解：由题意可得：图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0）， ∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2（6，0）； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3（9，0）； …… 如此进行下去，直至得C14． ∴C14的解析式与x轴的交点坐标为A13（39，0），A14（42，0），且图象在x轴下方， ∴C14的解析式为：y14＝（x﹣39）（x﹣42）， 当x＝40时，m＝（40﹣39）（40﹣42）＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特点，二次函数图象与几何变换，正确记忆二次函数的相关知识点是解题关键． 三．解答题（共6小题，共72分） 17．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），其中两个变量x与y的部分对应值如下表所示： x … ﹣4 ﹣3 ﹣1 m 1 … y … 0 ﹣4 ﹣6 ﹣4 0 … （1）则m＝ 　0　 ； （2）求该二次函数的表达式； （3）当﹣3≤x≤1时，则y的取值范围是 　x≤﹣4　 ． 【分析】（1）利用抛物线的对称性先确定抛物线的对称轴为直线x，然后利用当x＝﹣3和x＝0时函数值相等得到m的值； （2）设交点式为y＝a（x+4）（x﹣1），然后把（0，﹣4）代入求出a即可； （3）先利用配方法得到y＝（x）2，则当x时，y有最小值，由于当x＝﹣3时，y＝﹣4；x＝1，y＝0，从而可确定当﹣3≤x≤1时，y的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点（﹣4，0）和（1，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x， ∴当x＝﹣3和x＝0时，y＝﹣4， 即m＝0； 故答案为：0； （2）设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1）， 把（0，﹣4）代入得﹣4＝a×4×（﹣1）， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x+4）（x﹣1）， 即y＝x2+3x﹣4； （3）∵y＝x2+3x﹣4＝（x）2， ∴当x时，y有最小值，最小值为， ∵当x＝﹣3时，y＝﹣4；x＝1，y＝0， ∴当﹣3≤x≤1时，则y的取值范围是x≤0． 故答案为：x≤0． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 18．（12分）抛物线y＝a（x﹣2）2的顶点为A，与y轴交于点B（0，4）． （1）求a的值； （2）若将该抛物线向右平移6个单位，写出平移后的抛物线表达式，并求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标． 【分析】（1）根据抛物线过点B（0，4），代入即可求出答案； （2）抛物线向右平移6个单位，根据抛物线水平方向移动规律“左加右减，上加下减”即可求出平移所得抛物线，两条抛物线联立方程即可求出交点坐标． 【解答】解：（1）根据题意得，4＝a（0﹣2）2， 故a＝1； （2）抛物线解析式是y＝（x﹣2）2，将该抛物线向右平移6个单位， ∴平移后抛物线解析式是y＝（x﹣2﹣6）2＝（x﹣8）2， 故平移后抛物线解析式是y＝（x﹣8）2， 两条抛物线的交点得， ∴， 解方程组得，， 故交点坐标是（5，9）． 【点睛】本题主要考查二次函数的几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，理解和掌握函数待定系数法求解析式，函数平移规律是解题的关键． 19．（12分）已知抛物线y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m． （1）求证：无论m取任何实数，该抛物线与x轴都有两个公共点； （2）若m＝1，抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左边），与y轴的交点为C，求△ABC的面积． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先解方程x2﹣4x+3＝0得到点A、B的坐标，再求自变量为0所对应的函数值得到C点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【解答】（1）证明：∵Δ＝4（m﹣1）2﹣4（m2+2m） ＝4m2﹣8m+4﹣4m2﹣8m ＝4＞0， ∴无论m取任何实数，该抛物线与x轴都有两个公共点； （2）解：当m＝1时，抛物线系数为y＝x2﹣4x+3， 当y＝0时，x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴A（1，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3， ∴C（0，3）， ∴△ABC的面积（3﹣1）×3＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）． （1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围． 【分析】（1）将a＝1代入即可求出抛物线的顶点坐标； （2）利用作差法建立关于x2和a的不等式，因为a不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可． 【解答】解：（1）将a＝1代入得y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴顶点坐标为（1，﹣1）； （2）方法一：由题得，y1＝a•（3a）2﹣2a2•3a＝3a3， y22a2x2， ∵y1＜y2， ∴y2﹣y1＝a（2ax2﹣3a2）＝a（x2﹣3a）（x2+a）＞0， ①当a＞0时，（x2﹣3a）（x2+a）＞0， ∴或， 解得x2＞3a或x2＜﹣a， ∵3≤x2≤4， ∴3a＜3或﹣a＞4， ∴a＜1或a＜﹣4， ∵a＞0， ∴0＜a＜1； ②当a＜0时，（x2﹣3a）（x2+a）＜0， ∴或， 解得3a＜x2＜﹣a， ∵3≤x2≤4， ∴，解得a＜﹣4， 综上，0＜a＜1或a＜﹣4． 方法二：①当a＞0时， M（x1，y1）和N（x2，y2）都在对称轴右侧， 此时y随x增大而增大， ∵y1＜y2， ∴x1＜x2， ∴3a＜3， ∴0＜a＜1； ②当a＜0时， M（x1，y1）在对称轴左侧，N（x2，y2）在对称轴右侧， 点M（3a，y1）关于对称轴的对称点（﹣a，y1）在对称轴右侧， 在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∵y1＜y2， ∴﹣a＞4， ∴a＜﹣4， 综上，0＜a＜1或a＜﹣4． 【点睛】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键． 21．（12分）海安滨海新区是驰名中外的“紫菜之乡”，拥有15万亩海上养殖基地，所产干紫菜销往世界各地．某超市1月份以20元/袋的价格购进一批紫菜，经市场调查后发现，这种紫菜的月销售量y（袋）与售价x（元/袋）（25≤x≤45）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设该紫菜的总销售利润为w元，若要使销售利润最大，售价x应定为多少元？该月进货数量多少袋？ （3）若该超市想要获利不高于进价的60%，则售价定为多少元时，销售利润达到最大？ 【分析】（1）用待定系数法可得y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+100（25≤x≤45）； （2）求出：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，根据二次函数性质可得答案； （3）根据要获利不高于进价的60%，得x﹣20≤20×60%，即x≤32，再由二次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）设y＝kx+b，把（25，50），（45，10）代入得： ， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+100（25≤x≤45）； （2）根据题意得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450， ∵﹣2＜0， ∴当x＝35时，w取最大值450， 此时y＝﹣2x+100＝﹣2×35+100＝30， ∴若要使销售利润最大，售价x应定为每袋35元，该月进货数量为30袋； （3）∵要获利不高于进价的60%， ∴x﹣20≤20×60%，即x≤32， 由（2）知，w＝﹣2（x﹣35）2+450， ∵﹣2＜0，抛物线对称轴为直线x＝35， ∴当x＜35时，w随x的增大而增大， ∴当x＝32时，w取最大值，最大值为w＝﹣2×9+450＝432， ∴若该超市想要获利不高于进价的60%，则售价定为每袋32元时，销售利润达到最大． 【点睛】本题考查二次函数应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 22．（12分）在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数y＝x2﹣2|x|（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答： （1）作图探究： ①下表是y与x的几组对应值： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 0 ﹣1 0 n 8 … 则m＝　﹣1　 ，n＝　3　 ； ②在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）深入思考：根据所作图象，回答下列问题： ①方程x2﹣2|x|＝0的解是x＝﹣2或x＝0或x＝2　 ； ②如果y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝k有4个交点，则k的取值范围是　﹣1＜k＜0　 ； （3）延伸思考： 将函数y＝x2﹣2|x|的图象经过怎样的平移可得到的图象？请写出平移过程，并直接写出当﹣3≤y1＜﹣2时，自变量x的取值范围． 【分析】（1）①将x＝﹣1和x＝3代入解析式求解； ②根据函数解析式及表格作图； （2）①根据图象与x轴的交点求解； ②根据图象求解； （3）由可得新函数图象是由函数y＝x2﹣2|x|的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位所得． 【解答】解：（1）①将x＝﹣1代入y＝x2﹣2|x|得y＝1﹣2＝﹣1， ∴m＝﹣1， 将x＝3代入y＝x2﹣2|x|得y＝9﹣6＝3， ∴n＝3， 故答案为：﹣1，3； ②在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，如图1即为所求； （2）①根据表格及图象可得x＝﹣2或x＝0或x＝2时，y＝0， 故答案为：x＝﹣2或x＝0或x＝2； ②由图象可得当直线y＝k在x轴下方，直线y＝﹣1上方时，直线与函数图象有4个交点， 故答案为：﹣1＜k＜0； （3）函数y＝x2﹣2|x|的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的图象， 如图2， 由图象知当﹣3≤y1＜﹣2，x的范围为：﹣3＜x＜1且x≠﹣1． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，通过数形结合求解是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $