精品解析：辽宁省铁岭市铁岭县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025~2026学年度（上）期末质量监测 九年级数学试卷 考生注意： 1. 考试时间120分钟，试卷满分120分． 2.请在答题卡各题目规定答题区内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 打开电视机，一定正在播放新闻联播 B. 抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上 C. 从1，2，3中随机取一个数，得到奇数的可能性较大 D. 买一张彩票，不可能中奖 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了判断事件可能性大小，根据事件出现的可能性大小进行判断即可． 【详解】解：A．打开电视机，可能正在播放新闻联播，原说法错误，不符合题意； B．抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面可能朝上，原说法错误，不符合题意； C．从1，2，3中随机取一个数，得到奇数的可能性较大，原说法正确，符合题意； D．买一张彩票，可能中奖，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 3. 在二次函数y=-x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是（  ） A. x＜1 B. x＞1 C. x＜-1 D. x＞-1 【答案】B 【解析】 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，然后开口向下，在对称轴右侧满足y随x的增大而减小即可求解． 【详解】解：y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2， 抛物线的对称轴为直线x=1， ∵a=-1＜0，开口向下， ∴当x＞1时，y随x的增大而减少． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图形性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的图形性质是解决本题的关键． 4. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根判别式，即可得到答案 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 故选择：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握利用根的判别式求参数的值. 5. 如图，将（其中）绕着直角顶点逆时针方向旋转至，点恰好落在线段上，若，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，勾股定理，三线合一和等面积法等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点C作于点F，首先利用勾股定理求出，然后由旋转得到，，，然后利用等面积法求出， 利用勾股定理求出，最后利用三线合一求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于点F， ∵，，， ∴ 由旋转得，，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴． 故选：B． 6. 正六边形蜂巢的建筑结构密实度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据正多边形性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得，作于点，利用等腰三角形性质得到，根据30度角所对直角边等于斜边一半求得，再利用勾股定理求得，即可解题． 【详解】解：如图，作于点， 由题知，，， ， ，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的性质、等腰三角形性质、30度角所对直角边等于斜边一半、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 7. 已知反比例函数y＝﹣的图象上有三个点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列关系是正确的是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y3＜y1 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式得出图象所在的象限和增减性，再进行比较即可． 【详解】解：∵反比例函数y＝﹣， ∴函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵函数的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2）、（x3，y3），且x1＞x2＞0＞x3， ∴y2＜y1＜0，y3＞0 ∴. y2＜y1＜y3 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和函数的图象和性质，能灵活运用函数的图象和性质进行推理是解此题的关键． 8. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出，由旋转的性质得到，于是． 【详解】解：，，， ， ∴， 绕A点逆时针旋转后得到， ， ∴ ∴． 故选：A． 9. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为．则道路的宽是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可． 【详解】解：根据题意结合平移的性质可得： 解得：（舍去）或， 道路的宽为6米． 故选：D． 10. 在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将拋物线：平移到抛物线：，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有； 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（ ） A. 只有甲说得对 B. 只有乙说得错 C. 只有丙说得错 D. 甲、乙、丙说得都错 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．求得抛物线的顶点即可判断甲说得对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得点移动到点的最短路程为，即可判断乙说得对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断丙说得错． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有；故甲说得对； 将抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， 点移动到点的最短路程为，故乙说得对； ， 当时，， 随着的增大而减小， 当时，随着的增大，线段变短，故丙说得错． 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题关键．通过移项将方程化为标准形式，然后因式分解，再求解即可． 【详解】解：， 移项，提公因式得， 或， 方程的解是，． 故答案为：，． 12. 十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮28秒，绿灯亮29秒，黄灯亮3秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握概率是计算公式，让绿灯亮的时间除以时间总数60即为所求的概率． 【详解】解：一共是60秒，绿灯是29秒， 所以绿灯的概率是； 故答案为：． 13. 如图，已知四边形是的内接四边形，连接，，若，那么的度数是________． 【答案】130 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内角四边形的性质，圆周角定理，先根据圆内接四边形对角互补求出，再根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， 故答案为：130． 14. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为__________W． 【答案】220 【解析】 【分析】先利用待定系数法求抛物线的解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过（1，165）和（4，0）点 ∴抛物线的对称轴为I=2， 设抛物线的解析式为， ∴ 解得 ∴ ∵a=-55<0， ∴抛物线有最大值为220， 即变阻器R消耗电功率P最大为220W， 故答案为220 【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及到用待定系数法求解析式和二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 15. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，，点在轴的负半轴上，，连接，过点作交轴于点，点在上，连接，．则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，关键是根据同底等高把面积进行转化． 设，则，求出，得到，，然后由得到的面积等于的面积，然后列式求解即可． 【详解】解：∵矩形的顶点在反比例函数的图象上， 又∵， 设，则， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∵，依据同底等高的原理， ∴的面积等于的面积． 故答案为：． 三、解答题：（本题共8小题，共75分、解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 解得，． 17. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有_______名学生参与了本次问卷调查； （2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度； （3）小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】（1） （2） （3）小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为 【解析】 【分析】（1）用“礼仪”的人数除以占比得到总人数； （2）用“陶艺”的人数除以总人数再乘以即可求解； （3）用画树状图法求得概率即可求解． 【小问1详解】 解：（人） 故答案为：． 【小问2详解】 “陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是， 故答案为：． 【小问3详解】 把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为A、B、C 共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种， ∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求出（2）中点旋转到点所经过的路径长（结果保留根号和）． 【答案】（1）见解析，点的坐标为 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换，勾股定理及弧长公式，解题的关键是能够准确找出对应点． （1）找到点A、B、C的对应点、、的位置，然后描点即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、C的对应点、，则可得到； （3）C点旋转到点所经过的路径是以B点为圆心，为半径，圆心角为的弧，求出，然后根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，为所作，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，为所作； 【小问3详解】 解：， 所以C点旋转到点所经过的路径长． 19. 如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与，分别交于，两点，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）设点为线段上一点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，勾股定理等知识解题的关键是掌握以上知识点．， （1）根据矩形的性质以及，可得点M的坐标为，然后代入即可求解； （2）先求出点N的坐标为，可得，设点P的坐标为，则，，根据勾股定理以及，可得关于m的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：在矩形中，∵，， ∴，轴， ∵， ∴， ∴点M的坐标为， ∵点M在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点N的坐标为， ∴， 设点P的坐标为，则，， ∵，， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 20. 某超市经销一种高档水果，原售价每千克75元，连续两次降价后售价为每千克48元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克利润为10元时，每天可售出500千克，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，市场调研发现若每千克每涨价1元，每天销售量就会减少20千克，设每千克涨价为元（为正整数），若使商场每天的销售利润最大，则每千克应涨价多少元？此时每天的最大利润是多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）若使商场每天的利润最大，则每千克应涨价7或8元，此时每天的最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设每次下降的百分率为，根据题意列出方程即可求解； （2）根据题意列出关于的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克涨价为元， 由题意得： ，为正整数， 当或8时，取得最大值，最大值为元， 答：若使商场每天的利润最大，则每千克应涨价7或8元，此时每天的最大利润是元． 21. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，是的切线，平分交于点，连接． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到．根据等腰三角形的性质得到，由切线的性质求得，等量代换即可得到； （2）连接，由直径得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，求出，，进而求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ． ． ， ． ∵是的切线 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， 平分， ， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22. 综合与实践 已知，在和上截取，将线段绕点A逆时针旋转α（）得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变，若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，请直接写出的面积为________． 【答案】（1）；（2）不发生改变，；（3）8或72 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）当可得四边形是正方形，此时、重合，可得； （2）过作于，过作于，由旋转结合等腰三角形三线合一可得，再证明，得到，最后由，得到，，即可得到； （3）参考（2）中作辅助线，过作于，过作于，先证明，得到，，再由，由得到，利用勾股定理求出，，最后根据计算，需要利用点与点位置去分类讨论． 【详解】解：（1）∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点E在射线上，， ∴此时、重合， ∴， ∴； （2）在旋转的过程中不变，理由如下： 如图，过作于，过作于，则， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当在点右边时，如图，过作于，过作于，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理，当在点左边时，如图 ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 23. 已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，顶点为，将抛物线沿轴平移使其经过点得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的函数解析式与点的坐标； （2）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）将点和代入抛物线m的解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值；将抛物线m的解析式化为顶点式，其中即为顶点P的坐标； （2）根据抛物线沿y轴平移的性质，设n的解析式为，将点代入求出t的值，得到n的解析式及顶点Q的坐标；由平移性质可知，将转化为“边上的高是边上的高的2倍”，设，分E在对称轴右侧、对称轴与y轴之间、y轴左侧三种情况列方程求，代入n解析式求，排除矛盾情况得到E的坐标． 【小问1详解】 解：把点，代入， 得， 解得， ∴抛物线m的函数表达式为． ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 设抛物线n的函数表达式为， 把点代入：， ∴， ∴抛物线n的函数表达式为， ∴抛物线n的顶点Q的坐标为， 由平移可知， ∴要使只需要上的高是上的高的2倍． 设点，抛物线m或n的对称轴均为直线． ①当点E位于对称轴右侧时，则有． ∴， ∴， ∴点E的坐标为； ②当点E位于对称轴与y轴之间时，则有． ∴， ∴． ∴点E的坐标为； ③当点E位于y轴左侧时，则有． ∴，与点E位于y轴左侧矛盾，故此情况不存在， 综上所述，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式、二次函数的平移性质、二次函数顶点坐标的确定以及三角形面积与线段长度的关系，解题的关键是熟练运用待定系数法求二次函数解析式，掌握抛物线沿y轴平移时“上加下减常数项”的规律，并能将三角形面积关系转化为对应高的数量关系进行分析． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度（上）期末质量监测 九年级数学试卷 考生注意： 1. 考试时间120分钟，试卷满分120分． 2.请在答题卡各题目规定答题区内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 打开电视机，一定正播放新闻联播 B. 抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上 C. 从1，2，3中随机取一个数，得到奇数的可能性较大 D. 买一张彩票，不可能中奖 3. 在二次函数y=-x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是（  ） A. x＜1 B. x＞1 C. x＜-1 D. x＞-1 4. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 如图，将（其中）绕着直角顶点逆时针方向旋转至，点恰好落在线段上，若，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 6. 正六边形蜂巢的建筑结构密实度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 7. 已知反比例函数y＝﹣的图象上有三个点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列关系是正确的是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y3＜y1 8. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为．则道路的宽是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将拋物线：平移到抛物线：，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有； 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（ ） A. 只有甲说得对 B. 只有乙说得错 C. 只有丙说得错 D. 甲、乙、丙说得都错 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 12. 十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮28秒，绿灯亮29秒，黄灯亮3秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为________． 13. 如图，已知四边形是的内接四边形，连接，，若，那么的度数是________． 14. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为__________W． 15. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，，点在轴的负半轴上，，连接，过点作交轴于点，点在上，连接，．则的面积为______． 三、解答题：（本题共8小题，共75分、解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有_______名学生参与了本次问卷调查； （2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度； （3）小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求出（2）中点旋转到点所经过的路径长（结果保留根号和）． 19. 如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与，分别交于，两点，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）设点为线段上一点，若，求点坐标． 20. 某超市经销一种高档水果，原售价每千克75元，连续两次降价后售价为每千克48元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降百分率； （2）若每千克利润为10元时，每天可售出500千克，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，市场调研发现若每千克每涨价1元，每天销售量就会减少20千克，设每千克涨价为元（为正整数），若使商场每天的销售利润最大，则每千克应涨价多少元？此时每天的最大利润是多少元？ 21. 如图，是直径，点在上，点在的延长线上，是的切线，平分交于点，连接． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 22. 综合与实践 已知，在和上截取，将线段绕点A逆时针旋转α（）得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变，若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，请直接写出的面积为________． 23. 已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，顶点为，将抛物线沿轴平移使其经过点得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的函数解析式与点的坐标； （2）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $