精品解析：甘肃省兰州市八校联考2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷

2025-2026学年第一学期期末考试高三年级数学学科试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求解集合和集合，再通过交集运算求出. 【详解】由，即，所以，即； 由，即，得到，即； 所以. 故选：A. 2. 已知复数满足，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解． 【详解】由，可得, 所以虚部为， 故选：C 3. 已知向量，若，则实数（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量线性运算的坐标表示求出，再根据平面向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 即，解得. 故选：D. 4. 记为正项等比数列的前项和，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得数列的公比，根据已知列方程求解的值，由等比数列前项和公式即可得的值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，则， 所以，解得或（舍）， 故. 故选：A. 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质以及中间值“1”判断和关系，再由作商法判断关系. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以； 由 ，则， 因为，所以， ，则，故， 故选：B. 6. 已知函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的图象向左平移个单位后的函数解析式，然后根据其关于原点对称列出的表达式，进而求出结果. 【详解】函数的图象向左平移个单位后的函数解析式为. 因为由题意知关于原点对称，则. 即，所以， 所以，又，所以当时，取最小值为. 故选：B. 7. 长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. 都不对 【答案】B 【解析】 【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积． 【详解】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上， 所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：， 所以球的半径为：；则这个球的表面积是：． 故选：． 8. 已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，从而可得，再由正弦函数的周期可得的范围，即可得到结果. 【详解】由可得，即， 即，则， 解得， 又，即，其中，解得， 所以时，，则. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（ ）． A. ， B. 至少有一个，使能同时被2和3整除 C. ， D. 有些自然数是偶数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A、B、D能找到一个值使命题成立，而不存任何实数满足，从而得出选项. 【详解】A中，时，满足，所以A是真命题； B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题； D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题； C中，因为所有实数的绝对值非负，即，所以C是假命题． 故选ABD． 【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题. 10. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合向量垂直的性质即可求解；对于B，结合向量的四则运算即可求解；对于C，利用投影的几何意义即可求解； 对于D，根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】对于A，，， 又，， 即， 解得，故A正确， 对于B，， ， ，解得，故B正确， 对于C，在上的投影向量为，即， 代入坐标化简可得， 故，无解，故C错误， 对于D，与夹角为锐角， ，解得， 且与不共线，即，解得， 则与夹角为锐角，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，有且仅有一个极小值点 C. 当时，恒成立 D. 若方程有两个不同的实数根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，再根据导数的符号即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；求出函数的最小值即可判断C；结合AB选项，根据函数的单调性和最值即可判断D. 【详解】对于A，， 当时，， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B，， 当时，令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有且仅有一个极小值点，故B正确； 对于C，当时， 由B选项知，在上单调递减，在上单调递增， 所以，故C错误； 对于D，由A选项知，当时，函数最多一个零点； 由B选项知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又当时，，当时，， 所以要使方程有两个不同的实数根， 则，解得， 综上所述，若方程有两个不同的实数根，则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】对递推式取倒数，转化为等差数列，再利用等差数列通项公式求，进而得，最后代入，即可得出答案. 【详解】由，两边取倒数得：， 因此是首项为、公差为2的等差数列， 该等差数列通项公式为， 代入，得. 故答案为：. 13. 已知向量，若，则___________．（写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先根据已知条件，两边平方，化简整理可得，再根据向量数量积的坐标运算，即可求得，进而可得，从而可求得的值. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以，当时，可得. 故答案为：（答案不唯一） 14. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】函数转化为图像交点的问题，然后画出的图像解决. 【详解】函数有三个零点，等价于方程有三个不同的实数解，即直线与函数的图像有三个交点. 如图， 当 时，直线 与() 有一个交点，与 有两个交点，总共三个交点. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简解析式，结合正弦函数的单调性求解单调递增区间即可； （2）根据可得，结合正弦函数图象性质求解最大最小值即可得函数值域. 【小问1详解】 ， 令，， 解得， 故函数的单调递增区间为； 小问2详解】 当时，， 当，即时，， 当，即时， 故函数的值域为． 16. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用辅助角法求解； （2）由，结合余弦定理得到，再利用基本不等式得到求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以， 因为，所以，； 【小问2详解】 由余弦定理及， 得，即， 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长， 所以周长最大值为． 17. 如图，在三棱锥中，，分别是，的中点，，. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）通过已知条件证明、，根据线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）取的中点，通过平行关系可知异面直线所成角为或其补角，根据余弦定理求解出的值，则异面直线所成角的余弦值可求. 【详解】（1）证明：连接， ∵，，∴. ∵，，∴. 在中，由已知可得：，，而， ∴，∴，即. ∵，∴平面； （2）解：取的中点，连接，，， 由为的中点知，， ∴直线与直线所成的锐角就是异面直线与所成的角. 在中，，， ∵是斜边上的中线， ∴，∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 18. 设正项数列，且其前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求得的值，然后结合递推关系式整理可得数列为等差数列，结合等差数列通项公式可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组法与裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 当时，，解得：， 当且时，， ∴， 整理可得：， ∵，∴，∴， ∴数列以2为首项，4为公差等差数列， ∴. 【小问2详解】 ， . 19. 已知函数． （1）当时，求函数在区间上的最小值； （2）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）结合导数研究的单调区间即可求出最小值； （2）将问题转化为当时，不等式等价于，令，结合导数求出在上的最小值即可求解. 【小问1详解】 当时，， 则令 ．当时，，，故（等号不恒成立），所以在上单调递增． 又，所以当时，，故在上单调递增． 所以 【小问2详解】 由题可得：, 则,， 由于,则, 所以， 当时，， 则在上单调递增， 所以，满足条件； 当时，令, 则, 由于,则,所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 所以, 若，即时，则， 所以在上单调递增， 所以，满足条件； 若时，即时，由于当时，,, 所以存在唯一使得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以,不满足题意； 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末考试高三年级数学学科试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则虚部为（　　） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4. 记为正项等比数列的前项和，若，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 7. 长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. 都不对 8. 已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列存在量词命题中，是真命题是（ ）． A. ， B. 至少有一个，使能同时被2和3整除 C. ， D. 有些自然数是偶数 10. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 11. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，有且仅有一个极小值点 C. 当时，恒成立 D. 若方程有两个不同的实数根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，则___________． 13. 已知向量，若，则___________．（写出一个值即可） 14. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域． 16. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的周长的最大值． 17. 如图，在三棱锥中，，分别是，中点，，. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 18. 设是正项数列，且其前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和. 19. 已知函数． （1）当时，求函数在区间上的最小值； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $