第二章《不等式与不等式组》单元回顾与思考 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法、解集的数轴表示及实际应用，通过知识网格中的问题引导（如不等式与等式性质的异同、解不等式与解方程的联系）构建知识网络，串联起概念、解法、思想方法及与函数、方程的关联。 其亮点在于采用分层典例设计，基础题巩固性质与解法，能力题突破含参问题与方案优化，综合题融合函数实现数形结合，培养学生的逻辑推理和数学建模能力。易错突破与当堂检测帮助学生精准纠错，分层作业设计满足个性化需求，助力教师高效开展复习教学，提升学生知识应用与核心素养。

不等式与不等式组 单元回顾与思考 新版北师大数学八年级数学下册 复习目标 知识目标 能力目标 素养目标 1.掌握不等式的基本性质,明晰与等式性质的异同； 2.理解一元一次不等式（组）的定义,熟记解法步骤； 3. 掌握数轴表示不等式（组）解集的方法,明确空心圈、实心点的意义. 1.能熟练解一元一次不等式（组）,并准确用数轴表示解集； 2.能运用不等式解决简单实际问题,提升建模与运算能力； 3.能梳理不等式、函数、方程的联系，形成知识迁移能力. 1.培养逻辑推理与抽象思维素养； 2.增强数形结合思想的应用意识； 3.提升运用数学知识解决实际问题的应用意识. 教学设计的基本环节 典例精选 知识网格 复习目标 思想方法 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 知识网格 1.不等式有哪些基本性质？它与等式的基本性质有什么异同？ 2.解一元一次不等式与解一元一次方程有什么异同？ 3.举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集. 4.回顾本章学习过程，你是怎样利用一元一次不等式解决实际问题的？与同伴进行交流. 5.举例说明不等式、函数、方程之间的联系. 6.梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流. 4 知识网格 典例精选 一、基础巩固篇（知识技能：不等式性质与基本解法） 题目（整合P75知识技能1、P61知识技能4） （1）在不等式ax+b＞0（a≠0）中：当a______时，解集为x>−​；当 a______时,解集为x<−​. （2）已知a<b，用“<”或“>”填空： ① a−3______ b−3；② 6a______6b； ③ −a______−b；④ a−b______0. ＞0 ＜0 系数正负决定不等号方向 不等式性质：加减不变向，乘除正数不变向，乘除负数变向 ＜ ＜ ＞ ＜ 知识点：不等式基本性质（加减、乘除对方向的影响）、解集条件. 典例精选 例题2：解一元一次不等式（组）与数轴表示 题目：整合P75知识技能2(1)/(4)知识技能4(3),P74知识技能1（6）,P61知识技能5（1） 解下列不等式（组）,并在数轴上表示解集： （1）2x+3<−1； （2）​⩾1+​； （3）​； （4）​； （5）x+3<−1 典例精选 例题2：解一元一次不等式（组）与数轴表示 题目：整合P75知识技能2(1)/(4)知识技能4(3),P74知识技能1（6）,P61知识技能5（1） (2)​⩾1+ （3） （2）x⩾4 （3）−3<x<1 知识点：解一元一次不等式、解一元一次不等式组、数轴表示解集. 典例精选 二、能力提升篇（数学理解+问题解决：含参问题与方案优化） 题目（整合P75数学理解10、P74数学理解3、P75联系拓广18） （1)若不等式组 的解集为x>3,则m的取值范围是（ ）. A.m⩾3 B.m⩽3 C.m=3 D.m<3 （2）已知不等式组的解集为 x>3,求a的取值范围. （3）已知不等式组 ​的解集为−1<x<1,求(a+1)(b−1)的值. B a≤3 -6 典例精选 知识点：含参不等式组的解集逆向求参数、参数范围分析 二、能力提升篇（数学理解+问题解决：含参问题与方案优化） （1）B（解析：解第一个不等式得x>3，同大取大，故m⩽3）； （2）a⩽3（同大取大，较小集为3）； （3）解第一个不等式得x<​，第二个得 x>2b+3，由解集 −1<x<1知：=1，2b+3=−1，解得a=1，b=−2，故 (1+1)×(−2−1)=−6. 典例精选 二、能力提升篇：不等式的实际应用（方案优化与利润问题） 题目（整合P77问题解决12/15、P74问题解决5、P66问题解决5） (1)用2000元买名著（65元/套，已买20套）和词典（40元/本），最多还能买多少本词典？ (2)装载机每小时装50t石料，石料质量1800t~2200t，装完需多长时间？ (3)生产A、B零件共150个，A成本1500元/个，B成本3000元/个，B个数≥A个数的2倍.生产A多少个时成本最少？ (4)甲、乙旅行社报价均为500元/人，甲社:老师全价，学生七折;乙社:全体八折.设带x名学生，选哪家合算？ x=50 最多买17本 典例精选 知识点：列不等式解应用题（方案优化、成本控制、范围估算） 二、能力提升篇：不等式的实际应用（方案优化与利润问题） 解：(4) 甲社费用：1000+350x， 乙社费用：400x+800. 令1000+350x<400x+800,得x>4. 结论：x>4选甲社，x<4选乙社，x=4费用相同. 解: (2)设时间为 t小时， 1800⩽50t⩽2200， 解得36⩽t⩽44（小时） 不等式组的另一种呈现形式，确定解集仍然使用不等式组解集的确定方法. 典例精选 三、综合拓展篇（联系拓广+函数融合：数形结合与规律探究） 题目（整合P69知识技能1、P76知识技能5、P70问题解决3） （1）已知=3x+5，当x为何值时， >0？=0？​<0？ （2）已知​=−x−2,​=2x+1，当x为何值时， ​< ​？ （3）甲、乙两车从相距20km的A、B两地相向而行，​分别表示甲、乙到A地的距离s（km）与时间t（h）的函数关系： ① 哪辆车速度快？② 何时甲到B地的距离＞乙到B地的距离？ 典例精选 （1） >0⇒x>−​； ​=0⇒x=− ； <0⇒x<− ​（函数值与0比较转化为不等式） 三、综合拓展篇（联系拓广+函数融合：数形结合与规律探究） (2)−x−2<2x+1，得x>−1（转化函数不等式关系） (3)①乙车速度快（图象更陡，相同时间路程变化快）；② 甲到B地距离=20−​，乙到B地距离=20−​，由 20− ​>20− ​得> ，结合图像得t<0.4h（示例值需看图确认交点） 巩固拓展 三、综合拓展篇（联系拓广+函数融合：数形结合与规律探究） 题目（整合P76-77数学理解9、联系拓广17) a，b 两个实数在数轴上的对应点如图所示 用 “<” 或 “>” 填空： （1）a ​ b；（2）∣a∣ ​ ∣b∣；（3）a+b ​ 0； （4）a−b ​ 0；（5）a+b ​ a−b；（6）ab ​ a (1)＞；(2)＜；(3)＜； (4)＞；(5)＜；(6)＜； 巩固拓展 （1）用 “<”“>” 或 “=” 填空：+​ 2×5×3； +​ 2×3×3； +​ 2×(−3)×2； + ​ 2×(−4)×(−4). （2）观察（1）中各式，你能发现它们有什么规律吗？请用一个含有字母a，b的式子表示上述规律. ※（3）运用所学的知识说明你在（2）中发现的规律的正确性. ＞ ＝ ＞ ＝ 规律:对于任意实数a、b,有≥2ab，当且仅当a=b时,等号成立. 巩固拓展 ※（3）运用所学的知识说明你在（2）中发现的规律的正确性. 证明：根据完全平方公式，对任意实数 a、b，有≥0（任何实数的平方非负）。将左边展开：≥0， 移项可得：≥2ab. 当且仅当a−b=0（即a=b）时， =0，此时等号成立. 巩固拓展 四、易错突破篇（常见错误辨析） 题目（整合P76数学理解8、P66数学理解4） 判断正误： （1）由 2a>3，得 a>​；（ ） （2）由 2−a<0，得 2<a；（ ） （3）由 a<b，得 2a<2b；（ ） （4）由 a>b，得 a+m>b+m；（ ） （5）由 a>b，得 −3a>−3b；（ ） （6）由 −​>−1，得 −a​>−a.（ ） √ √ √ √ × × 小明解不等式 ​−1<​时，去分母得 x+5−1<3x+2，最终得 x<1.指出错误并改正. 错误：去分母时常数项“-1”未乘2（漏乘）.正确步骤：去分母得x+5−2<3x+2，移项得−2x<−1，系数化1得x> 知识点：不等式变形常见错误（漏乘、乘除负数忘变号） 思想方法 1.建模思想:将实际问题中的数量关系转化为不等式（组）,通过求解不等式（组）解决实际问题. 2.数形结合思想:借助数轴直观表示不等式的解集,利用数轴确定不等式组的公共解集,简化求解过程. 3.转化与化归思想:将复杂不等式转化为简单一元一次不等式（组），如解一元二次不等式时转化为对应一元一次不等式组;将不等式的解转化为方程的解（求边界值）. 4.分类讨论思想:在求解含参数的不等式（组）时,根据参数的不同取值范围分类分析,确定解集的不同情况. 当堂检测 1.解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答. （1）解不等式①，得______. （2）解不等式②，得________. （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来. 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示. 当堂检测 2.已知关于，的方程组 中，小于或等于1，大于.求 的取值范围. 解：，得，解得 . ，得，解得 . 小于或等于1，大于 . 解得 . 当堂检测 3.学校图书馆准备购买定价分别为8元和14元的科学杂志 和文学书共80本，计划花费在750元到850元之间 （包括750元和850元），那么14元一本的文学书最少可以买多少本？ 最多可以买多少本？ 当堂检测 解：设14元一本的文学书买本，则8元一本的科学杂志买 本. 根据题意，得 ，解得 . 为非负整数， 最小为19，最大为35. 答：14元一本的文学书最少可以买19本，最多可以买35本. 反思总结 1.回顾本章学习,解一元一次不等式（组）时你最容易出错的步骤是什么？如何避免这类错误？ 2.结合具体例题,说说数形结合思想在表示不等式（组）解集中的作用,你对此有哪些新感悟？ 3.请举例说明你是如何运用不等式知识解决实际问题的,过程中遇到了哪些困难,又是怎样克服的？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第75页 第2题(4)(6)(8) 二、素养类作业 课本第77页 第16题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $