精品解析：重庆市杨家坪中学“教共体”2025-2026学年上学期第三次学情监测 九年级 数学试题 （1月）

重庆市杨家坪中学“教共体”第三次学情监测 九年级（上）数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲试卷时用． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机正在播放广告 B. 任意一个一元二次方程都有实数根 C. 明年元旦是晴天 D. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 4. 下列关于反比例函数，的说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 随的增大而减小 C. 图像位于第一、第三象限 D. 图像位于第二、第四象限 5. 如图，四边形是圆的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A. B. C. D. 8. 若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点为上一点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，是的中点，连接，，则的值为（ ）． A. 1 B. C. D. 10. 对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若关于的方程的解为和，则的值为， ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在“Wishyousucces”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率为______． 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是____________． 13. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 14. 如图，点A 在反比例函数 的图象上，过点 A 作轴于点B．若 C 为x 轴上任意一点，则的面积为________． 15. 如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为______，的长为______． 16. 对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去百位数字之差等于十位数字减去个位数字之差，那么称这个数为“均差数”，对于一个“均差数”，将它的前两位数减去后两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：，例如，因为，故：9764是一个“均差数”．所以，，则．则最大的均差数与最小的均差数之差为_____________；若自然数都是“均差数”，其中，(，，，，都是整数)，规定：，当时，求的最大值为_____________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1） （2） 18. 学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下： 已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，以为半径作，与交于两点和（点在上，点在下）； ③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线． （1）请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹） （2）求证：，是的切线，且． 证明：连接，，如图． 为的直径， ___①___； ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 在和中， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ． ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸．每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是______，并补全条形统计图； （2）据了解，七年级新生共有620人，请你估计选择手工与剪纸的同学有多少人？ （3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 20. 先化简，再求值：，其中满足一元二次方程． 21. 已知一次函数与反比例函数的图象交于．两点，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标： （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点关于原点的对称点为，求的面积； （4）点在轴上，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，则点的坐标为_____． 22. 重庆某商铺在元旦前购进了奉节脐橙和江津广柑共千克，两种水果的进价均为每千克元．奉节脐橙以每千克元，江津广柑以每千克元的价格出售． （1）若商铺此次获利元，则购进奉节脐橙和江津广柑分别多少千克？ （2）临近“新春年货节”，商铺决定调整售价：脐橙售价下调元（降价后售价不低于进价），广柑售价上涨元；与（1）中的数据相比，脐橙销量上涨千克，广柑销量下降，利润增加了元，求的值． 23. 如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的面积为4时x的值． 24. 如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． （1）求点坐标及抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； （3）如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请直接写出所有符合条件的的横坐标． 25. 在菱形中，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； （2）如图2，当点P、E都在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，若四边形为正方形，点P在对角线上，，交边于点E，连接交于点F．请求出的度数并直接写出线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市杨家坪中学“教共体”第三次学情监测 九年级（上）数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲试卷时用． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是中心对称图形，符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项即可． 【详解】解：A、中，a可能为0，此时方程不是二次方程，故此选项不符合题意； B、含有分式，不是整式方程，故此选项不符合题意； C、是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，故是一元二次方程，符合题意； D、的最高次数为3，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机正在播放广告 B. 任意一个一元二次方程都有实数根 C. 明年元旦是晴天 D. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意； B、任意一个一元二次方程都有实数根，是随机事件，不符合题意； C、明年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意； D、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意； 故选：D． 4. 下列关于反比例函数，的说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 随的增大而减小 C. 图像位于第一、第三象限 D. 图像位于第二、第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，由反比例函数的性质，当比例系数时，图像位于第二、第四象限，且在每个象限内随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：，且 ， ， 反比例函数图像位于第二、第四象限，且在每个象限内随的增大而增大， 选项A未指定象限，表述不严谨，选项B、C错误，选项D正确， 故选：D． 5. 如图，四边形是圆的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6. 已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键． 根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点距离对称轴有2个单位长度， 点距离对称轴有0个单位长度， 点距离对称轴有1个单位长度， ∴根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：， 故选：C． 7. 一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 起始有1人会做实验，第一轮教学后增加x人，第二轮教学后增加人，总人数为49，据此列方程即可． 【详解】解：∵起始会做实验的人数为1， 第一轮教学后，新学会的人数为x，此时总会做人数为， 第二轮教学后，新学会的人数为， ∴总会做人数为， 故选：D． 8. 若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次函数的图象判断出的符号，再判断一次函数与反比例函数的图象即可得． 【详解】解：二次函数图象的开口向下，与轴的交点位于正半轴， ， 二次函数的对称轴， ， 由得：反比例函数的图象位于第一、三象限， 由得：一次函数的图象经过第二、三、四象限， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键． 9. 如图，在正方形中，点为上一点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，是的中点，连接，，则的值为（ ）． A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，交延长线于点，连接，设，由可得，利用勾股定理求得，由旋转得，，利用勾股定理求得，由余角性质可得，可证，得，利用勾股定理求得，由，得，再由是的中点可得即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，连接， ∴， 设， ∵在正方形 中， ， ∴，，， ∴，，， 由旋转得：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵是中点， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形性质，旋转性质，全等三角形判定及性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，作出合适的辅助线构建全等三角形及直角三角形是解题的关键． 10. 对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若关于的方程的解为和，则的值为， ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的解；根据解一元二次方程判断①；根据根与系数的关系判断②，根据，设，根据函数图象可得有两个交点时，，即可求解． 【详解】解：将，代入方程 得，即 解得：，故①不正确； ②将，代入方程 得， ∴， ∵ ∴ ∴，故②不正确； ③将，代入方程得， 设 如图所示， 当，， ∴当经过和之间时，有两个交点时， 当时，，当时，； ∴，故③错误 故选：A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在“Wishyousucces”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定“Wishyousucces”中任选一个字母的总结果数，其中字母“s”出现的结果数数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：在“Wishyousucces”中字母任选一个字母的总结果数为13，其中选中字母“s”的结果数为3个， 选到字母为“s”的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，掌握随机事件概率事件出现的数量事件出现结果的总数量是解题的关键． 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 利用根的判别式的意义得到，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 13. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 14. 如图，点A 在反比例函数 的图象上，过点 A 作轴于点B．若 C 为x 轴上任意一点，则的面积为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查值的几何意义，连接，利用平行等积转化得到的面积等于的面积，再根据值的几何意义即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵轴 ∴轴，即， ∴的面积等于的面积， ∵点A 在反比例函数 的图象上， ∴的面积； ∴的面积为2； 故答案为：2． 15. 如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为______，的长为______． 【答案】 ①. 2 ②. 14 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点． 先证明可得，可得到是等边三角形，再根据根据含30度角的直角三角形性质可得长；结合已知即可得出，再由垂径定理即可求得，作于点M，再根据含30度角的直角三角形性质可得，然后利用勾股定理即可求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形， ， ∵， ，， ∵， ∴． 故答案为：2； 又∵， ∴， ∴， 作于点M， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14． 16. 对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去百位数字之差等于十位数字减去个位数字之差，那么称这个数为“均差数”，对于一个“均差数”，将它的前两位数减去后两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：，例如，因为，故：9764是一个“均差数”．所以，，则．则最大的均差数与最小的均差数之差为_____________；若自然数都是“均差数”，其中，(，，，，都是整数)，规定：，当时，求的最大值为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】该类题型主要考查学生对新知识的接受和应用能力．难度较大，要善于把新知识转化为常规知识来解决问题，方能突破难点．根据新定义与已知条件，分别求出，再由自然数，都是“均衡数”可得，，最后根据求得，即可利用字母的取值范围便可求出k的最值． 【详解】解：根据“均差数”的定义可知最大的均差数是9988，最小的均差数是1122，故最大的均差数与最小的均差数之差为； ∵，(，，，，都是整数)， ∴． ∵自然数P，Q都是“均衡数”， ∴，则． ∴． ∵， ∴． ∴，则． ∴． 当时，则， ∴． ∵，，，， ∴y是奇数， ∴当时，，则， 当时，，则 当时，，则， 则， ∴k的最大值为． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 则， ∴，． 18. 学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下： 已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，以为半径作，与交于两点和（点在上，点在下）； ③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线． （1）请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹） （2）求证：，是的切线，且． 证明：连接，，如图． 为的直径， ___①___； ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 在和中， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ． ． 【答案】（1） 如图所示：、即为所求． （2）①；②；③ 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，掌握线段的中垂线的基本作法和全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据题中步骤作图； （2）根据切线的判定定理和全等三角形的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸．每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是______，并补全条形统计图； （2）据了解，七年级新生共有620人，请你估计选择手工与剪纸的同学有多少人？ （3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 【答案】（1）100；10人； 补全条形统计图如图所示． （2）62人； （3）． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中“演讲与口才讲”的人数除以扇形统计图中“演讲与口才讲”的百分比可得本次调查的学生人数；用本次调查的学生人数乘以扇形统计图中“舞蹈”的百分比可得喜爱舞蹈的学生人数，补全条形统计图即可； （2）根据用样本估计总体，用620乘以样本中“手工与剪纸”的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及同时选中甲乙两人的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次共调查了（名）学生， 其中喜爱舞蹈的学生人数是：（人） 故答案为：100；10人； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计选择手工与剪纸的同学约有62人； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中同时选中甲乙两人的结果有：（甲，乙），（乙，甲），共2种， 同时选中甲乙两人的概率为 20. 先化简，再求值：，其中满足一元二次方程． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解一元二次方程，先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简得，又因为，得出或，则当时，原式无意义；当时，原式，即可作答． 【详解】解： ； ， ∴ 或， 当时，原式无意义； 当时，原式． 21. 已知一次函数与反比例函数的图象交于．两点，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标： （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点关于原点的对称点为，求的面积； （4）点在轴上，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，则点的坐标为_____． 【答案】（1）， （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）结合函数图象，根据一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，从而可得答案； （3）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （4）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：根据图象的解集为：或； 【小问3详解】 解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； 【小问4详解】 解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 故答案为：． 22. 重庆某商铺在元旦前购进了奉节脐橙和江津广柑共千克，两种水果的进价均为每千克元．奉节脐橙以每千克元，江津广柑以每千克元的价格出售． （1）若商铺此次获利元，则购进奉节脐橙和江津广柑分别多少千克？ （2）临近“新春年货节”，商铺决定调整售价：脐橙售价下调元（降价后售价不低于进价），广柑售价上涨元；与（1）中的数据相比，脐橙销量上涨千克，广柑销量下降，利润增加了元，求的值． 【答案】（1）奉节脐橙千克，江津广柑千克 （2） 【解析】 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，营销问题(一元二次方程的应用) ，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设购进奉节脐橙 x千克，江津广柑 y千克，根据题中的等量关系列出方程组求解； （2）分别求出脐橙、广柑的新的销价与销量，再列出关于的一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：设购进奉节脐橙 x千克，江津广柑 y千克， 则， 解得：， 答：奉节脐橙千克，江津广柑千克； 【小问2详解】 原销量：脐橙千克，广柑千克， 脐橙售价：元/千克，且即， 广柑售价：元/千克， 脐橙销量：千克， 广柑销量：下降， 即原千克变为千克， 新收入：， 新销量：， 新成本：， 新利润为：， 由题意得， 解得：或（舍去）， 所以的值为2． 23. 如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的面积为4时x的值． 【答案】（1）或 （2） 如图，函数的性质：函数值的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式、函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （1）由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （2）根据函数表达式画线即可画出图象，由图象的变化趋势即可得出性质； （3）由函数图象的趋势即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得， 当时，点在点左侧，点在上，则， 即 当时，点到达点，点到达点，此时 当时，点在点的右侧，点在上，， 则，， ， 即 综上所述：当时， 当时， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图可知，当或时，的面积为． 24. 如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． （1）求点坐标及抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； （3）如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请直接写出所有符合条件的的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）由面积求出，根据得到，，再代入列方程计算即可； （2）过作轴，交于点，交轴于点，在上方找一点，使，，过作轴，交轴于点，连接，先设，则，得到，当时，最大，此时，由，，得到四边形是平行四边形，则，点先向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到点，则，，当、、三点共线时取等号，由垂线段最短可得最小值为，即可求出的最小值； （3）先求出平移后解析式为，当在直线下方时，取点，则，则是直线与新抛物线的交点，求出直线解析式，再与新抛物线联立即可得到；当在直线上方时，取一点，使，，则，得到是直线与新抛物线的交点，设，由距离公式列方程求出，再求出直线解析式再与新抛物线联立即可得到． 【小问1详解】 解：令，则，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵抛物线与轴交于，两点（在左侧）， ∴，， 把，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过作轴，交于点，交轴于点，在上方找一点，使，，过作轴，交轴于点，连接， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵轴，交于点，交轴于点， ∴设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，点沿射线方向移动个单位长度得到点， ∴，点先向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到点，则 ∴， ∴当、、三点共线时最小，由垂线段最短可得最小值为， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，，，， ∴将抛物线先向右移动2个单位长度，再向上移动1个单位长度得到新抛物线， ∴平移后解析式为， 当在直线下方时，如图， 取点，则， ∴，， ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∴是直线与新抛物线的交点， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或（不在下方，舍去）， ∴； 当在直线上方时，如图，取一点，使，， ∴， ∴， ∴是直线与新抛物线的交点， 设， ∴，， 两方程相减整理得， 代入得， 解得 当时，，此时与重合， ∴，， ∴， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，得， 解得， ∵在和之间， ∴，此时 ∴； 综上所述，当与互补时，的横坐标为或 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及求抛物线解析式，线段最值，平行四边形的判定与性质，平移，勾股定理，二次函数与角度问题等知识点． 25. 在菱形中，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； （2）如图2，当点P、E都在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，若四边形为正方形，点P在对角线上，，交边于点E，连接交于点F．请求出的度数并直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）， （2） （1）的结论仍然成立，理由如下： 如图：连接，设与相交于点H ∵四边形为菱形， ∴， 又∵ ∴和都是等边三角形， ∴， 则 ∵是等边三角形， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵菱形的对角线平分对角， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 则 即； （3）， 【解析】 【分析】（1）先根据菱形和等边三角形的性质得出，结合，证明则，因为以及，所以，即可作答． （2）先根据菱形的性质，得出和都是等边三角形，运用角的运算，得证明则，即则即； （3）因为正方形，所以平分，证明即为等腰直角三角形，然后运用旋转性质得出故，，通过角的换算，即，证明，所以，最后在中，，即可作答． 【小问1详解】 解：如图：连接，延长交于点F， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵ ∴是等边三角形，， ∵是等边三角形， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵菱形的对角线平分对角， ∴ 又∵ ∴， ∵， ∴， 则， 即； 故答案为：， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示：过点P分别作，垂足分别是， ∵四边形为正方形， ∴平分 ∴，且 又∵， ∴ ∴ ∴，即为等腰直角三角形， ∴ 把绕点A逆时针转，与重合，点P的对应点是 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在中， ∴ 【点睛】本题考查了旋转性质，菱形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $