精品解析：黑龙江省佳木斯市富锦市四中双语学校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026年九年级上学期综合练习（二） 数学试卷 考生注意： 1.考试时间90分钟． 2.全卷共三道大题，总分120分． 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是随机事件的是（　　） A. 太阳绕着地球转 B. 在一个标准大气压下，水加热到100℃沸腾 C. 负数大于正数 D. 明天下大雨 4. 若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 7. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，的切线交的延长线于点．若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数（）、（）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（　　） A. 9 B. 6 C. D. 3 9. 如图，在边长为5的正方形中，将绕点A顺时针旋转得到，点E在的延长线上，点F在线段上，作平分交延长线于点M．若，则的长度为（） A. B. C. D. 10. 如图，是等边三角形内一点，，，，将线段 以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接．下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与点的距离为4；③；④；⑤．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ②③④⑤ 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 若点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称，则a+b=____． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 13. 用一个圆心角为150°，半径为2cm的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 __________cm. 14. 如图，与中，，，，连接，．P为的中点，连接，把绕点在平面内自由旋转，若，，则旋转过程中线段长度的最大值为______． 15. 如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ___ ． 16. 如图，一段抛物线：记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于另一点；将绕点旋转得，交轴于另一点；……如此进行下去，则的顶点坐标是______． 三、解答题（满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中满足 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （3）直接写出（2）中线段在旋转过程中扫过的面积：________． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，已知点，，连接． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出的解集． 20. “青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题∶ （1）本次参与问卷调查的学生共有_________人，扇形统计图中“合格”所对应的百分比为_________； （2）补全条形统计图； （3）该校某班有4名同学（2名男同学，2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率． 21. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 22. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别，从两点同时出发，设运动的时间为（单位：），的面积为（单位：）． （1）当时，_________． （2）求与的函数解析式，并写出的取值范围． （3）的面积的最大值为_________． 23. 为鼓励大学生毕业后自主创业，我市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝−10x＋500． （1）赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为22元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ （2）设赵某获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于26元．如果赵某想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 24. 某研究学习小组给出了一个问题，让同学们探究．在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交直线于点． 【分析问题】 某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论． 【推理证明】 （1）当点在线段上时，如图①，求证：； 【探究问题】 （2）当点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不必证明； 【拓展思考】 （3）在（1）（2）的条件下，若，面积是面积的两倍，则的面积为_____． 25. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． （1）求线段的长； （2）若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026年九年级上学期综合练习（二） 数学试卷 考生注意： 1.考试时间90分钟． 2.全卷共三道大题，总分120分． 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】我们从方程的限定词入手，“一元”的意思是等式中只含有一种未知数（不限定该未知数出现的次数）；“二次”的意思是未知数的最高次数是二． 【详解】解：A、是二元一次方程，故A错误； B、是一元一次方程，故B错误； C、属于一元二次方程，故C正确； D、是分式方程，故D错误； 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 2. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 3. 下列事件中，是随机事件的是（　　） A. 太阳绕着地球转 B. 在一个标准大气压下，水加热到100℃沸腾 C. 负数大于正数 D. 明天下大雨 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件的定义得出结论即可． 【详解】解：A选项，太阳绕着地球转是不可能事件，故A选项不符合题意； B选项，在一个标准大气压下，水加热到100℃沸腾是必然事件，故B选项不符合题意； C选项，负数大于正数是不可能事件，故C选项不符合题意； D选项，明天下大雨是随机事件，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了随机事件的定义，解题的关键是熟练掌握随机事件的定义． 4. 若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题需要根据二次函数图象平移的规律，逐步分析函数图象平移后的解析式．本题主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵ 二次函数的图象向右平移个单位长度，根据“左加右减”的原则， ∴ 得到； ∵ 再将向上平移个单位长度，根据“上加下减”的原则， ∴ 平移后的二次函数解析式为． 故选：． 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 6. 如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据作图知垂直平分，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，根据作图知垂直平分， ∴，， ∴， 即， ∵线段是半圆O的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 故选B． 【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点． 7. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，的切线交的延长线于点．若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，平行线的判定，解直角三角形的相关计算，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．连接，求出，得出，利用得出，再利用三角函数求出即可． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∵平分， ∵是的切线， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数（）、（）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（　　） A. 9 B. 6 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，根据反比例函数的性质可得，，根据C是y轴上任意一点，轴，可得， 结合，问题得解． 【详解】连接、，如图， 根据题意有：，， ∵C是y轴上任意一点，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象k的几何意义，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数k的几何意义． 9. 如图，在边长为5的正方形中，将绕点A顺时针旋转得到，点E在的延长线上，点F在线段上，作平分交延长线于点M．若，则的长度为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定及性质，运用勾股定理构造方程是解题的关键． 连接，根据正方形的性质及旋转的性质证明，得到，．再证明，得到．设，则，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是边长为5的正方形， ∴，， ∴， 由旋转可得， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， 即， 解得， ∴． 故选：C． 10. 如图，是等边三角形内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接．下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与点的距离为4；③；④；⑤．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点O作，垂足为D，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质及勾股定理逆定理可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，仿照④的解题思路，即可判断⑤正确． 【详解】解：连接，过点O作，垂足为D，如图所示： ∵为正三角形， ∴，， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论①正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∴，故结论②正确； ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴，故结论③正确； ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为，故结论④不正确； 如图所示：将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， 同结论④证明过程可求得：，， ∴，故结论⑤正确； 综上所述：结论①②③⑤正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形面积，面积的割补法，综合掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 若点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称，则a+b=____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，得到a，b的值，进而求a+b即可求解． 【详解】解：∵点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称， ∴b=-3，a=5， ∴a+b=-3+5=2． 故答案是： 2． 【点睛】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点的横纵左边分别互为相反数，是解题的关键． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 13. 用一个圆心角为150°，半径为2cm的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 __________cm. 【答案】． 【解析】 【详解】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得 2πr=， 解得r=cm． 故答案为：． 14. 如图，与中，，，，连接，．P为的中点，连接，把绕点在平面内自由旋转，若，，则旋转过程中线段长度的最大值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质：延长至，使，连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，当取最大值时，有最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ， 如图，延长至，使，连接， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ∵，当且仅当点在线段的延长线上时，等号成立， ∴当三点共线时，有最大值为12， ∴有最大值为6， 故答案为：6． 15. 如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ___ ． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得：，，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【详解】解：由折叠得：，， 分三种情况： 当时，如图： ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴； 当时，当和位于射线的同侧时，如图： ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴此种情况不成立； 当时，如图： ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴； 综上所述：若是等腰三角形，则的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题），分三种情况讨论是解题的关键． 16. 如图，一段抛物线：记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于另一点；将绕点旋转得，交轴于另一点；……如此进行下去，则的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，规律型：点的坐标，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题目中的函数解析式可以得到的顶点坐标和的坐标，利用旋转转化为中点坐标方法，分别可以得到、、的顶点坐标，从而可以得到抛物线顶点坐标的变化特点，从而可以得到的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴的顶点坐标为， 令， 解得：，， ∴， ∴的顶点坐标绕旋转得的顶点坐标为，即，绕旋转得，即， 同理可得：的顶点坐标为，的顶点坐标为，， ∴的顶点的横坐标为，当为奇数时，的顶点的纵坐标为， ∴的顶点坐标是，即， 故答案为：． 三、解答题（满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中满足 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后根据，得，最后把代入计算即可求解，解题的关键是对相应的运算法则的掌握，注意整体代入的应用． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （3）直接写出（2）中线段在旋转过程中扫过的面积：________． 【答案】（1） 如图1，即为所求； （2）如图2，即为所求， 点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）找到A、B、C关于原点O成中心对称的对应点，顺次连接即可； （2）找到A、B、C绕点O顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可； （3）利用勾股定理求出，再利用扇形面积公式计算即可． 本题考查了作图-旋转变换，轨迹，解题的关键是掌握旋转变换与中心对称的性质． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点的坐标为； 【小问3详解】 如图3， 根据旋转的性质可得，， ∵， ∴线段在旋转过程中扫过的面积 故答案为：． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，已知点，，连接． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为； （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，熟知一次函数及反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出m，把B坐标代入反比例函数解析式求出n，再把A和B点坐标代入一次函数解析式即可解答； （2）利用数形结合的思想即可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数解析式得， ， 反比例函数的解析式为； 把代入得， ， 把和代入，得 ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据图象，的解集为或． 20. “青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题∶ （1）本次参与问卷调查的学生共有_________人，扇形统计图中“合格”所对应的百分比为_________； （2）补全条形统计图； （3）该校某班有4名同学（2名男同学，2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率． 【答案】（1）80， （2） 故可补全条形统计图，如下所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列举法求概率等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用调查学生中“优秀”等级学生人数除以其占比，即可求得本次参与问卷调查的学生总数；利用“合格”等级学生人数除以所调查学生总数乘以，即可求得扇形统计图中“合格”所对应的百分比； （2）首先求得学习情况为“良好”的学生人数，然后补画条形统计图即可； （3）根据题意作出树状图，结合树状图可知，共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8种，即可获得答案． 【小问1详解】 解：（人）， 即本次参与问卷调查的学生共有80人， ， 即扇形统计图中“合格”所对应的百分比为． 故答案为：80，； 【小问2详解】 参与调查的学生中，学习情况为“良好”的学生人数为（人）． 【小问3详解】 根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8种， 所以，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为． 21. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查图形旋转的性质以及勾股定理，牢记图形旋转的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质可直接求得答案． （2）根据图形旋转的性质，可证得为等腰直角三角形，根据勾股定理可求得的长度，进而可求得的长度． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴ 根据图形旋转的性质可知． ． 【小问2详解】 解：根据图形旋转的性质可知，，． ∵， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． ∴． 在中， ． ∴． 22. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别，从两点同时出发，设运动的时间为（单位：），的面积为（单位：）． （1）当时，_________． （2）求与的函数解析式，并写出的取值范围． （3）的面积的最大值为_________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）点从点开始沿边向点以的速度移动，，由此即可求解； （2）的面积为，且，，，由此即可求解； （3）根据（2）中结论，将二次函数变形为顶点式即可求出的面积的最大值． 【小问1详解】 解：，点从点开始沿边向点以的速度移动，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：根据题意得，的面积为， ∴，且，， ∴ ∵，，点的速度是，点的速度是， ∴，，即时间，有， ∴的取值范围是， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）的结论得，， ∴当时，的面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查动点在线段上运动的规律，二次函数图像的性质，理解动点运动中时间与的面积关系是解题的关键． 23. 为鼓励大学生毕业后自主创业，我市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝−10x＋500． （1）赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为22元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ （2）设赵某获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于26元．如果赵某想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 【答案】（1）560元 （2）30元 （3）480元 【解析】 【分析】（1）求出销售量，根据政府每件补贴2元，即可解决问题． （2）利用二次函数的性质即可解答问题． （3）根据条件确定出自变量的取值范围，求出y的最小值即可解决问题． 【小问1详解】 当x=22时，y=﹣10x+500=﹣10×22+500=280， 280×（12﹣10）=280×2=560元， 即政府这个月为他承担的总差价为560元； 【小问2详解】 由题意得：W=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000． ∵a=﹣10＜0， ∴当x=30时，W有最大值4000元． 即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元； 【小问3详解】 由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000， 解得：x1=20，x2=40． ∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下， ∴当20≤x≤40时，3000≤x≤4000． 又∵x≤26， ∴当20≤x≤26时，w≥3000，设政府每个月为他承担的总差价为p元， ∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000． ∵k=﹣20＜0． ∴p随x的增大而减小， ∴当x=26时，p有最小值480元． 即销售单价定为26元时，政府每个月为他承担的总差价最少为480元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用一次函数的增减性，解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型． 24. 某研究学习小组给出了一个问题，让同学们探究．在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交直线于点． 【分析问题】 某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论． 【推理证明】 （1）当点在线段上时，如图①，求证：； 【探究问题】 （2）当点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不必证明； 【拓展思考】 （3）在（1）（2）的条件下，若，面积是面积的两倍，则的面积为_____． 【答案】 （1）证明：在边上截取，连接． 在中，． ， ． 又， ． 又，， ． 又， ． ． ． ． ， ． 是等边三角形． ， ， ； （2）图②：；图③：； （3）或 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加辅助线构造全等三角形和等边三角形是解题的关键． （1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可； （3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶ 如图所示，在上取点H使， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过E作于H， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵面积是面积两倍， ∴，又， ∴，则， 由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴，则， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，与矛盾， ∴不符合题意； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴，则， 由（2）可知，， ∵， ∴， 过A作于M，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 25. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． （1）求线段的长； （2）若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ） ；（ⅱ）或． 【解析】 【分析】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质． （1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解； （2）（Ⅰ）由题意知点的坐标为，点的坐标为，即可求解； （Ⅱ）由得到当时，为等腰直角三角形，再根据点在对称轴右侧或左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ，， ； 【小问2详解】 解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为． 令，得， ． 设直线的解析式为， 将，代入，得 解得， 直线的解析式为， 由题意知点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，线段的长有最大值， 此时， 点的坐标为； （ⅱ）， ， 即当时，为等腰直角三角形． ①如图1，点在对称轴右侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； ②如图2，点在对称轴左侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 存在，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $