精品解析：甘肃省靖远县第一中学2025-2026学年高二上学期1月质量检测数学试题

高二数学 满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分.共440分.在每小顾给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 3名同学计划去四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知3是与的等差中项，1是与的等比中项，则（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 34 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 相交 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 154 B. 164 C. 186 D. 196 6. 7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，则不同的站法种数为（ ） A. 960 B. 980 C. 1060 D. 1260 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，是上一点，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 8. 某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（ ） A. 110种 B. 100种 C. 90种 D. 80种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）已知直线，，若，则与间的距离可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. B. 中最大 C. 使得的的最大值为13 D. 数列是递减数列 11. 已知椭圆的右焦点为，分别为的左、右顶点，，动点在直线上，直线与交于另一点，过点作轴的垂线与直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率 B. 若，则 C. D. 直线与相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 13. 已知等比数列的前项和为，若，且，则______. 14. 已知点是抛物线上位于第一象限内一点，为上位于第四象限内一点，为坐标原点，，且直线的斜率是直线的斜率的2倍，则直线的斜率为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式的二项式系数和为64. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 16. 已知椭圆的焦距为2，点在上. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，求. 17. 已知各项均为正数的等差数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）设，若圆上存在点，使得，求实数的取值范围； （3）若为圆上的动点，求的取值范围. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. （1）求的方程； （2）设为的右顶点，直线与交于两点，且. ①证明：直线过定点； ②若都在的左支上，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分.共440分.在每小顾给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 3名同学计划去四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】应用分步乘法计数原理列式计算即可. 【详解】由题意，每位同学均有4个选择，所以不同选法种数是. 故选：B 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程转换成标准方程即可求解. 【详解】抛物线的标准方程为， 所以，的焦点坐标为. 故选：D. 3. 已知3是与的等差中项，1是与的等比中项，则（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差中项和等比中项的定义列式计算即可. 【详解】根据题意，由等差中项和等比中项定义知： ， 所以. 故选： D 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 相交 【答案】C 【解析】 【分析】计算两圆的圆心距并与两圆半径之和比较，即可得答案. 【详解】由题知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 所以，所以圆与圆外切. 故选：C. 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 154 B. 164 C. 186 D. 196 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列片段和的性质有成等差数列，再由等差中项的性质列方程求值. 【详解】由题知成等差数列， 所以，即，解得. 故选：C 6. 7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，则不同的站法种数为（ ） A. 960 B. 980 C. 1060 D. 1260 【答案】A 【解析】 【分析】先把甲乙相邻的总数算出来，然后把其中丙站两端算出来，最后相减. 【详解】甲、乙相邻，有种不同排法，其中丙站两端的站法有种， 故甲、乙必须相邻，丙不能站两端的站法有种. 故选：A. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，是上一点，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义与已知联立，求出、，再由结合勾股定理得到与的关系，进而求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的焦距为，不妨设点在第一象限， 则，解得，又， 所以，即，所以的离心率. 故选：B 8. 某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（ ） A. 110种 B. 100种 C. 90种 D. 80种 【答案】B 【解析】 【分析】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解． 【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）已知直线，，若，则与间的距离可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据直线平行，求出的值，再求两平行线间的距离得解. 【详解】由，得，解得或. 当时，的方程为，即，，则与间的距离为； 当时，，，则与间的距离为. 故选：BD. 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. B. 中最大 C. 使得的的最大值为13 D. 数列是递减数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质可得，求得判断A；根据等差数列的前n项和的定义及项的符号判断B；根据等差数列前n项和公式和性质判断C；根据数列单调性定义判断D. 【详解】由，，知，所以，A正确； 由知中最大，B正确； 由，， 知使得的的最大值为14，C错误； 因为，所以， 所以数列是递减数列，D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆的右焦点为，分别为的左、右顶点，，动点在直线上，直线与交于另一点，过点作轴的垂线与直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率 B. 若，则 C. D. 直线与相切 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意求出，即可判断A；当时，求出Q点坐标，继而结合三角形的相似，即可求出，判断B；分别求出点到直线的距离和点到轴的距离，结合角平分线性质即可判断C；表示出直线的方程，联立椭圆方程，可得，结合判别式等于0可判断D. 【详解】设，其中，由，得， 解得，所以， 故的方程为，离心率，A错误； 由A的分析可知，当时，将代入，得， 可得点的坐标为.设直线与轴交于点，则，，而， 即得，解得，B正确； 设，则，又， 所以直线的方程为，令，得点的坐标为； 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离. 又点到轴的距离也为，所以，C正确； 直线的方程为，令，得点的坐标为， 直线的方程为，整理得， 联立方程，消去后整理， 结合，即，即得，， 即得，所以直线与相切，D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由点与圆的位置关系可得答案. 【详解】由题知， 解得. 故答案为： 13. 已知等比数列的前项和为，若，且，则______. 【答案】17 【解析】 【分析】根据等比数列的前n项和性质得，从而利用求解即可. 【详解】设的公比为，则，解得， 所以. 故答案为：17 14. 已知点是抛物线上位于第一象限内一点，为上位于第四象限内一点，为坐标原点，，且直线的斜率是直线的斜率的2倍，则直线的斜率为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】表示出，，，根据，可得结果. 【详解】设点的坐标分别为， 则，，， 因为，所以，， 整理得①， 又直线的斜率是直线的斜率的2倍，， 所以，整理得②，由①②解得， 所以直线的斜率为1. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式的二项式系数和为64. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 【答案】（1） （2）240 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和为，可得答案； （2）利用二项展开式的通项公式可得答案. 【小问1详解】 由二项式系数和为， 知，解得； 【小问2详解】 展开式的第项为. 令，得，故常数项为第5项，且， 即展开式中的常数项为240. 16. 已知椭圆的焦距为2，点在上. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上，和椭圆焦距为2，列出等式求解即可； （2）联立椭圆和直线方程，由韦达定理、中点坐标公式及两点间距离公式即可求解. 【小问1详解】 由题知 解得 所以的方程为； 【小问2详解】 设的坐标分别为， 联立方程消去后整理得， 则，， 所以，， 所以. 17. 已知各项均为正数的等差数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，结合与前8项和列方程组，求解首项与公差，得到数列的通项公式. （2）将裂项为，利用裂项相消法对数列的前项和进行累加计算. 【小问1详解】 设的公差为， 由题知，解得或（舍去）， 所以， 即数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知， . 18. 已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）设，若圆上存在点，使得，求实数的取值范围； （3）若为圆上的动点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件确定圆心坐标和半径，可得圆的标准方程. （2）问题转化为两圆有公共点，利用圆心距与两圆半径和差的关系，列式可求的取值范围. （3）利用圆的方程，可把问题转化为直线与圆有公共点的问题，再利用点到直线的距离不大于圆的半径列式可得的取值范围. 【小问1详解】 设圆心的坐标为， 由，得，解得， 所以圆心，半径为5， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图： 由，知点在以线段为直径的圆上， 由，知圆心，圆的半径为1，且圆与圆有交点， 故，解得或， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 设点的坐标为，则，整理得， 所以 ， 令，则直线与圆有公共点，即，解得， 则，所以的取值范围为. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. （1）求的方程； （2）设为的右顶点，直线与交于两点，且. ①证明：直线过定点； ②若都在的左支上，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） ①证明：由（1）知，设的坐标分别为. 当直线的斜率为0时，，则，， 当时，，解得，则中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为0； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则， 由，知 解得或2， 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. ②9 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程和双曲线上点的坐标确定的值，可得双曲线的标准方程. （2）①分直线的斜率是否为0分类讨论.当直线斜率不为0时，设直线方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合，可得的关系，确定直线过定点. ②结合①的结论，利用表示出的面积，利用函数的单调性求其最小值. 【小问1详解】 由题知，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②解：由①知当时，， 由，得， 的面积为 ， 又， 设，则，， 因为在上单调递减，，， 所以. 即， 所以，当时，等号成立， 所以面积的最小值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $