精品解析：吉林省长春市九台区2025-2026学年上学期八年级期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测 八年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为110分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. 在下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数，算术平方根和立方根，熟练掌握无理数的定义，是解题的关键． 根据无理数的定义：无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在中，只有为无理数， 故选：B． 2. 49的平方根是（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，那么．正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 根据平方根的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴49的平方根是． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理得出：AB===5， ∴EF=AB=5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2解答． 5. 一个正方形的面积是5，则它的边长在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键． 先求出正方形的边长，再估算出其大小即可． 【详解】∵一个正方形的面积是5， ∴其边长． ∵， ∴． 故选：． 6. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反证法的应用，熟练掌握反证法的意义及步骤是解题的关键． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立进行判断作答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“已知在中，若，则， ∴首先应该假设． 故选：B． 7. 如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形．第一个图形中阴影部分的面积是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，这两个图形的阴影部分的面积相等． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积，图乙中阴影部分的面积， 而两个图形中阴影部分的面积相等， 阴影部分的面积． 故选：C． 8. 如图，已知中，，，过的顶点B作直线l，且点A到l的距离为2，点C到l的距离为3，则的长是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，点到直线的距离，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作于点，过点作于点，根据点到直线的距离，得到，，证明，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 由题意可知，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 用提取公因式法分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”，该命题是____命题．（填“真”或“假”）． 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断，三角形内角和定理． 命题涉及三角形中角的关系，根据三角形内角和定理，若两个角互余，则第三个角为直角，因此命题成立． 【详解】解：设三角形的两个角分别为和，且， 根据三角形内角和定理，， 因此， 所以是直角，三角形是直角三角形， 故该命题是真命题． 故答案为：真． 11. 在英文“ ”句中，字母“”出现的频率为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求频率，熟练掌握频率的计算公式是解题关键．利用英文句子中，字母“”的个数除以总的字母个数即可得． 【详解】解：在英文“ ”句中，字母“”出现2次，总共有10个字母， 则字母“”出现的频率为， 故答案：． 12. 如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 【答案】17 【解析】 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 13. 图，是的角平分线，于点E，于点F，若，，则的面积为_____． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵平分，，，， ∴， ∵． 故答案为：21． 14. 如图，在等边中有一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．给出下面四个结论：；是等边三角形；；若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得，，由旋转的性质得，，可得是等边三角形，，即可证明，由此可判断①②；由已知条件无法得出，即无法得出，由此可判断；由全等三角形的性质得，再由勾股定理得，由此可判断④． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， 由旋转得：，， 是等边三角形，， ， ， 故①②正确； 是等边三角形， ， 由已知条件无法得出， 即无法得出， 故不正确； ， ， ∵，， ∴， 为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共78分） 15. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算． （1）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可； （2）先计算除法，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将整式展开，进而合并同类项，最后将的值代入求解即可 【详解】原式= = = 当时，原式= 【点睛】本题考查了整式的乘法运算，化简求值，掌握乘法公式是解题的关键． 17. 如图，已知，点和点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若，则的度数为 度． 【答案】（1）见解析 （2）152 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是得到． （1）根据即可证明； （2）由，得，然后根据三角形的外角性质即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：152． 18. 为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） （2）若，，求出此时种植区的总面积． 【答案】（1）， ； （2）216． 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键； （1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将代入（1）中代数式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ； 【小问2详解】 解：当，时， ； 19. 如图，，，，，， （1）判断的形状并说明理由； （2）计算四边形的面积． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得出，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形即可； （2）根据三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：是直角三角形． 理由如下：连接，∵，，， 由勾股定理，得， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， ∴． 20. 如图，图①、②是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，线段的端点在格点上，在图①、②中，按要求各画出一个以为边的等腰三角形，等腰三角形各顶点都在格点上． （1）在图①中以为腰画等腰； （2）在图②中以为底画等腰，且顶角为锐角，并写出的面积． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析，4 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理等知识，借助网格以及勾股定理得出符合题意的图形是解题关键． （1）利用等腰三角形的定义以及勾股定理，即可得出符合题意的图形； （2）利用等腰三角形的定义以及勾股定理，即可得出符合题意的图形． 【小问1详解】 如图所示，． 【小问2详解】 如图所示，． ． 21. 近日，冰雪之城长春正在进一步推广普及校园冰雪运动，引领学生参与冰雪活动，激发学生参与冰雪运动的兴趣，提高学生冰雪运动技能水平．某校为了了解学生们对冰雪运动的喜爱程度，随机抽取了八年级若干名学生对“滑雪橇、体验滑雪、速度滑冰、花样滑冰和高山滑雪”五个冰雪项目的喜爱程度进行调查（每人必须选且只选一项最喜欢的冰雪项目，将调查结果绘制成如下的两幅不完整的统计图）．请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与本次调查的学生有_______人，扇形统计图中喜欢“花样滑冰”的学生所在扇形的圆心角的度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有学生560人，喜欢“滑雪橇”的学生约有多少人？ 【答案】（1）100，36 （2）见解析 （3）168人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用“滑雪橇”的人数除以所占的百分比即可得出参与本次调查的学生总人数；求出“花样滑冰”的学生所占的百分比，即可求解； （2）用总人数减去其它项目的人数，求出“体验滑雪”的人数，从而补全统计图； （3）用560乘以“滑雪橇”学生所占的百分比，即可得出答案． 【小问1详解】 解：（人）， ， 答：扇形统计图中喜欢“花样滑冰”的学生所在扇形的圆心角度数为． 故答案为：100；36 【小问2详解】 解：“体验滑雪”的人数为（人）， 补全条形统计图： 【小问3详解】 解：（人） 答：喜欢“滑雪橇”的学生约有168人． 22. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第102页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴、如图12．4．1，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．于是有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图12．4．1，，垂足为点C，，点P是直线上的任意一点． 求证：． 分析 图中有和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，请你用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线交于点E，垂足为D，连接．若的周长为34，，则的长度为______． （2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，面积为30，则的最小值是________． 【答案】教材呈现：见解析；（1）图见解析；20；（2）10 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 教材呈现：根据“”证明即可； 定理应用：（1）根据线段垂直平分线的性质定理证明，那么 的周长就转化为的长， （2）根据等腰三角形的三线合一性质，可知是的垂直平分线，所以想到过点C作，垂足为点E，交于点P，此时的值最小． 【详解】教材呈现： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴； 定理应用： 解：（1）所作图形如图： 【点睛】∵的垂直平分线分别交于点， ∴， ∵的周长为34，， ∴， ∴， 故答案为：20； （2）过点C作，垂足为点E，交于点P， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 此时的值最小， ∵的面积， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 23. 已知，，求的值． 【例题讲解】 小亮探究出解题方法如下： 已知，，求的值． ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴． 【方法运用】 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）小亮发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你直接写出的值． （2）若，，求和的值． 【拓展提升】 （3）如图，以的直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为，正方形和正方形面积和为，直接写出的长． 【答案】（1）；（2），；（3）． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用． （1）利用完全平方公式变形为，代入数据求解即可； （2）利用完全平方公式变形即可求解； （3）设，，则，根据，即可求解． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； （2）∵， ∴； ； （3）设，，则 由题意可得：，， 即， ∴． ∵， ∴， 即． 24. 如图①，在，，，点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，连接，设点的运动时间为秒． （1）当秒时，求的长度； （2）用含的代数式表示线段的长度； （3）当分的面积为两部分时，求的值． （4）如图②，M是线段延长线上的一点，，作点关于直线的对称点，当点落在直线上时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）当时，．当时， （3）值为或； （4）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，轴对称的性质，解题的关键是分类讨论． （1）当秒时，，得到，在中，根据勾股定理即可求解； （2）由题意得：，分两种情况：当时，当时，利用线段的和差即可求解； （3）由，可得，，当分的面积为两部分时，或，得到关于的方程即可求解； （4）由可得：，利用勾股定理求出，再分两种情况：当点在线段上时，当点在线段延长线上时，分别利用轴对称的性质和勾股定理建立方程，即可求解． 【小问1详解】 解：当秒时，， ， ， 在中，由勾股定理得； 【小问2详解】 解：由题意得：， 当时，， 当时，， 当时，；当时，； 【小问3详解】 解：， ，， 当分的面积为两部分时，或， 或， 解得：的值为或； 【小问4详解】 解：， ， ， 当点在线段上时，如图： 由对称得：，，， ， 而， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 当点在线段延长线上时， 如图： 由对称得：，，， ， 而， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 综上所述：当点落在直线上时，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测 八年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为110分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. 在下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 49的平方根是（ ） A. B. C. 7 D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 一个正方形的面积是5，则它的边长在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（ ） A. B. C. D. 且 7. 如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知中，，，过的顶点B作直线l，且点A到l的距离为2，点C到l的距离为3，则的长是（ ） A. B. 5 C. D. 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 分解因式：___________． 10. 命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”，该命题是____命题．（填“真”或“假”）． 11. 在英文“ ”句中，字母“”出现的频率为__________ 12. 如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 13. 图，是的角平分线，于点E，于点F，若，，则的面积为_____． 14. 如图，在等边中有一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．给出下面四个结论：；是等边三角形；；若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共78分） 15. 计算 （1）； （2）． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，已知，点和点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若，则的度数为 度． 18. 为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） （2）若，，求出此时种植区的总面积． 19. 如图，，，，，， （1）判断的形状并说明理由； （2）计算四边形的面积． 20. 如图，图①、②是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，线段的端点在格点上，在图①、②中，按要求各画出一个以为边的等腰三角形，等腰三角形各顶点都在格点上． （1）在图①中以为腰画等腰； （2）在图②中以为底画等腰，且顶角为锐角，并写出的面积． 21. 近日，冰雪之城长春正在进一步推广普及校园冰雪运动，引领学生参与冰雪活动，激发学生参与冰雪运动兴趣，提高学生冰雪运动技能水平．某校为了了解学生们对冰雪运动的喜爱程度，随机抽取了八年级若干名学生对“滑雪橇、体验滑雪、速度滑冰、花样滑冰和高山滑雪”五个冰雪项目的喜爱程度进行调查（每人必须选且只选一项最喜欢的冰雪项目，将调查结果绘制成如下的两幅不完整的统计图）．请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与本次调查的学生有_______人，扇形统计图中喜欢“花样滑冰”的学生所在扇形的圆心角的度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有学生560人，喜欢“滑雪橇”的学生约有多少人？ 22. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第102页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴、如图12．4．1，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．于是有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图12．4．1，，垂足为点C，，点P是直线上的任意一点． 求证：． 分析 图中有和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，请你用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线交于点E，垂足为D，连接．若的周长为34，，则的长度为______． （2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 23. 已知，，求值． 【例题讲解】 小亮探究出解题方法如下： 已知，，求的值． ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴． 方法运用】 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）小亮发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你直接写出的值． （2）若，，求和的值． 【拓展提升】 （3）如图，以直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为，正方形和正方形面积和为，直接写出的长． 24. 如图①，在，，，点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，连接，设点的运动时间为秒． （1）当秒时，求的长度； （2）用含的代数式表示线段的长度； （3）当分的面积为两部分时，求的值． （4）如图②，M是线段延长线上的一点，，作点关于直线的对称点，当点落在直线上时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $