精品解析：吉林省长春市九台区2024—2025学年上学期 八年级数学期末测试

2024—2025学年度第一学期期末教学质量监测 八年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为110分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算规则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解： 故选：A． 2. 的平方根是（　　） A 3 B. ±3 C. D. ± 【答案】D 【解析】 【分析】先计算的值为3，再利用平方根的定义即可得到结果． 【详解】解：∵=3， ∴的平方根是±． 故选：D． 【点睛】此题考查了平方根，以及算术平方根，解决本题的关键是先求得的值. 3. 小明不慎将一块三角形的玻璃片摔碎成如图所示的四块，要想重新获取一块与原来一样完整的玻璃片，带去加工厂的碎片应该是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．根据三角形全等判定的条件可直接选出答案． 【详解】②、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第①块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：A 4. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若2为腰长，5为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若5为腰长，则，符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 5. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. ∠A＋∠B＝∠C B. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C. D. a：b：c＝4：4：6 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理进行判定即可． 【详解】A、由∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C=180°，可得∠C=90°，故△ABC为直角三角形，不符合题意； B、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，得∠C=，故△ABC为直角三角形，不符合题意； C、由得，，根据勾股定理的逆定理得，△ABC为直角三角形，不符合题意； D、由a：b：c＝4：4：6，设a=4k，b=4k，c=6k（其中k≠0），由于，故△ABC不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理与三角形内角和定理，掌握常用的判定方法是关键． 6. 计算所得结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过提取计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】本题考查了提取公因式法简化运算，正确提取是解答本题的关键． 7. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，过两把直尺的交点作，，由题意得出，从而得出平分，即可得解，熟练掌握角平分线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A． 8. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得可判定D，由于不是的垂直平分线，不能证明． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得，可以理解成是平角的角平分线， ∴，是的平分线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵不是的垂直平分线，故不能证明， 综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出，是的平分线． 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成5组，第组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】用总次数减去第组的频数和，再求出频率． 【详解】解：由题意得： ， 第5组的频数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数定义是解题的关键． 10. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0 【解析】 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题. 【详解】解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 11. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝___． 【答案】135° 【解析】 【分析】直接利用网格证明△ABC≌△CDE，得出对应角∠1=∠3，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 可知：AB=CD=3，BC=DE=1，∠B=∠D=90°， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠1=∠3， 则∠1+∠2=∠2+∠3=135°． 故答案为：135°． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键． 12. 如图，中，，，．点是线段上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短，勾股定理求出的长，根据垂线段最短结合等积法求出的最小值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点是线段上的一个动点， ∴当时，的值最小， 此时：， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，两小半圆与直角三角形的面积和减去大半圆的面积即可得出答案． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积为：． 故答案为：6． 14. 如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是______（填所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角形的性质推出，，判定是等边三角形．由判定，推出，由对顶角的性质得到，由三角形内角和定理得到，由判定，推出，而，得到是等边三角形，因此，得到，推出，在变化，不一定是． 【详解】解：、都等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 故符合题意； ，，， ， 故符合题意； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故符合题意； 在上的位置在变化， 在变化，不一定是， 故不符合题意． 正确的是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先计算绝对值，立方根和乘方，再进行加减计算； （2）按照单项式除以单项式和乘以单项式法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 分解因式 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用公式法进行因式分解，注意：分解要彻底． （1）直接运用平方差公式分解因式即可； （2）直接运用完全平方公式分解因式即可； 【小问1详解】 【小问2详解】 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，最后代入求值即可． 详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 18. 如图所示，若 MP和 NQ 分别垂直平分AB和 AC． （1）若△APQ的周长为12，求 BC的长； （2）∠BAC=105°，求∠PAQ 的度数． 【答案】（1）12；（2）30°． 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质证PA=PB，QA=AC． （2）结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解． 【详解】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝BP，AQ＝CQ． ∴△APQ的周长为AP＋PQ＋AQ＝BP＋PQ＋CQ＝BC． ∵△APQ的周长为12， ∴BC＝12． （2）∵AP＝BP，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ． ∵∠BAC＝105°， ∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－105°＝75°． ∴∠PAQ＝∠BAC－(∠BAP＋∠CAQ)＝105°－75°＝30°． 19. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位长度，的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）______； （2）在图1中确定一点D，点D在边上，使； （3）在图2中确定一点E，点E在边上，使平分． 【答案】（1）5 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查无刻度直尺作图， 利用网格和勾股定理即可求得； 根据第一问在即可找到点D； 根据构成等腰三角形，利用三线合一的性质即可找到点E． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 ∵， ∴在上找到点D，使得． 如图， 【小问3详解】 ∵， ∴连接，取中点F，连接，延长交于点E． 20. 为了贯彻中共中央国务院颁布的《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到统计图表． （1）这次调查活动共抽取　 　人． （2）m＝　 　，n＝　 　． （3）请将条形统计图补充完整． （4）求出扇形统计图中“周劳动次数为1次及以下”对应的圆心角度数． 【答案】（1）200 （2）86，27 （3）补全条形统计图见解析 （4）扇形统计图中劳动次数为1次及以下对应的圆心角度数是 36° 【解析】 【分析】（1）先根据1次及以下的人数和所占百分比求出总人数即可； （2）根据总人数乘以劳动3次的百分比求出m的值，四次及以上的人数除以总人数可求出n的值； （3）根据总人数乘以劳动2次的百分比求出劳动2次的人数，再补画条形图即可； （4）根据2次人数所占百分比乘以360°即可求出圆心角度数． 【小问1详解】 解：∵某校学生一周劳动1次及以下人数有20人，占抽测人数的10%， ∴这次调查活动共抽取20÷10%＝200（人）， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：m＝200×43%＝86， n%＝54÷200×100%＝27%，即n的值为27； 故答案为：86，27； 【小问3详解】 解：一周劳动2次的学生有：200×20%＝40（人）， 补全统计图如下： 【小问4详解】 解：扇形统计图中劳动次数为1次及以下对应的圆心角度数是：360°×10%＝36°． 【点睛】本题考查了从条形统计图、扇形统计图获取信息与处理信息，样本容量，求条形统计图的相关数据和补画条形图，求扇形圆心角，明确题意并正确从图表中提取有用信息是解题关键． 21. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，求小巷的宽． 【答案】小巷的宽为米 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在中，由勾股定理计算出的长，再在中由勾股定理计算出长，然后可得的长． 【详解】解：在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 答：小巷的宽为米． 22. 【教材呈现】华师版八年级上册教材第69页的部分内容． 例4 如图13.2.13，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：． 证明： 请根据教材内容，结合图形，补全证明过程． 【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是______； 【拓展延伸】如图②，已知，点E是的中点，点D在线段上，，若，，直接写出线段的长为______． 【答案】教材呈现：见解析 方法应用： 拓展延伸：3 【解析】 【分析】教材呈现：先由平行线的性质得出，，再证，即可由全等三角形的性质得出结论； 方法应用：延长到，使，连接，证明，得到，再由三角形三边关系得出结果即可； 拓展延伸：如图③，延长交的延长线于点，先证明，得到，再证，从而得，然后由求解即可． 【详解】解：教材呈现：证明：∵， ∴，， ∵D是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 方法应用：延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ； 拓展延伸：如图③，延长交的延长线于点， 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 23. 如图，在中，，，，平分交斜边于点，动点从点出发，沿折线向终点运动． （1）点在上运动的过程中，当________时，与的面积相等；（直接写出答案） （2）点在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数； （3）如图②，若点在上，，当动点在上运动到某一位置时，使的周长最小，直接写出此时的度数为________度． 【答案】（1） （2）或或或 （3）90 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质，中垂线的判定和性质，熟练掌握相关性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据题意可推出上的高和上的高相等，所以； （2）根据题意可分为三种情况，对三种情况分类讨论即可得到本题答案． （3）延长至点使，连接，得到垂直平分，进而得到，，推出为等边三角形，三线合一，得到，根据的周长，得到当最小时，的周长最小，此时三点共线，进而得到即可． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴点D到和的距离相等， ∴当时，与的面积相等， 故答案为：6； 【小问2详解】 解：如图1， 当时，（点P在处）， ∴， 当时，（点P在处）， ∴， ∵， ∴， 当时，（点P在处时）， ∵， ∴， 综上所述：或或或． 【小问3详解】 延长至点使，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵点在上，， ∴， ∴， ∴ ∵的周长， ∴当最小时，的周长最小，此时三点共线， ∴． 故答案为：90． 24. 如图，长方形中，，，点是射线上一点，连接．将沿翻折至的位置，使点落在处． （1）若在边上，如图，当点落在边上时，________； （2）在（）的条件下，求的长； （3）若在延长线上，利用图探索当为直角三角形时的长，并直接写出结果________． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（）由折叠得，再利用勾股定理解答即可求解； （）由（）得，再根据折叠得，设，则，在中由勾股定理得，据此即可求解； （）分和两种情况，分别画出图形解答即可； 本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由折叠可得，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为； 【小问3详解】 解：当时，如图， ∵四边形长方形， ∴， ∴， 由折叠得，， ， ∴，， ∴点三点共线， ∴； 当时，如图， ∵四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴点三点共线， 由折叠得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，的长为或， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末教学质量监测 八年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为110分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 的平方根是（　　） A. 3 B. ±3 C. D. ± 3. 小明不慎将一块三角形的玻璃片摔碎成如图所示的四块，要想重新获取一块与原来一样完整的玻璃片，带去加工厂的碎片应该是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 5. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. ∠A＋∠B＝∠C B. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C. D. a：b：c＝4：4：6 6. 计算所得结果是（ ） A. B. C. D. 7. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 8. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成5组，第组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是___________． 10. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 11. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝___． 12. 如图，中，，，．点是线段上的一个动点，则的最小值为________． 13. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为________． 14. 如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确是______（填所有正确结论的序号）． 三、解答题（本大题共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16 分解因式 （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图所示，若 MP和 NQ 分别垂直平分AB和 AC． （1）若△APQ的周长为12，求 BC的长； （2）∠BAC=105°，求∠PAQ 的度数． 19. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位长度，的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）______； （2）在图1中确定一点D，点D在边上，使； （3）图2中确定一点E，点E在边上，使平分． 20. 为了贯彻中共中央国务院颁布的《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到统计图表． （1）这次调查活动共抽取　 　人． （2）m＝　 　，n＝　 　． （3）请将条形统计图补充完整． （4）求出扇形统计图中“周劳动次数为1次及以下”对应的圆心角度数． 21. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，求小巷的宽． 22. 【教材呈现】华师版八年级上册教材第69页的部分内容． 例4 如图13.2.13，在中，D是边中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：． 证明： 请根据教材内容，结合图形，补全证明过程． 【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是______； 【拓展延伸】如图②，已知，点E是的中点，点D在线段上，，若，，直接写出线段的长为______． 23. 如图，在中，，，，平分交斜边于点，动点从点出发，沿折线向终点运动． （1）点在上运动的过程中，当________时，与的面积相等；（直接写出答案） （2）点在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数； （3）如图②，若点在上，，当动点在上运动到某一位置时，使的周长最小，直接写出此时的度数为________度． 24. 如图，长方形中，，，点是射线上一点，连接．将沿翻折至的位置，使点落在处． （1）若在边上，如图，当点落在边上时，________； （2）在（）的条件下，求的长； （3）若在延长线上，利用图探索当为直角三角形时的长，并直接写出结果________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$