精品解析：吉林市丰满区2025-2026学年八年级上学期期末质量检测数学试卷

丰满区2025—2026学年上学期期末教学质量检测 八年级数学 本试卷共6页，三道大题，22道小题，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，，6 D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的三边的条件，三角形的三边关系：任意两边之和必须大于第三边，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． 通过计算每条选项中两条较短边的和与最长边比较，判断是否能组成三角形即可． 【详解】解：A．，不符合三角形三边关系，故该选项不符合题意； B．，不符合三角形三边关系，故该选项不符合题意； C．，不符合三角形三边关系，故该选项不符合题意； D．，符合三角形三边关系，故该选项符合题意． 故选：D． 2. 我国汽车行业发展迅速，下面四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴对称）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 下列计算中，正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方运算及合并同类项运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方运算及合并同类项运算法则分别判断，进而得出答案． 【详解】解：A．，原式计算错误，故此选项不合题意； B．，原式计算错误，故此选项不符合题意； C．，原式计算正确，故此选项符合题意； D．与不是同类项，无法合并，故此选项不合题意． 故选：C 4. 如果把分式中的，同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大为原来的4倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：把分式中的同时扩大为原来的2倍可得，即该分式的值不变， 故选：A． 5. 我国北宋时期李诫编修的《营造法式》中记载，为了使古建筑梁架更加稳固，经常使用三角形结构，这样操作主要利用的三角形性质是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 三角形两边之差小于第三边 C. 三角形的内角和为 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性的应用．利用三角形的稳定性求解即可． 【详解】解：∵三角形一旦三边固定，其形状就无法改变，这种性质称为稳定性， ∴在建筑中，利用三角形结构可以防止变形，使框架更加稳固， ∴这样操作主要利用的性质是三角形具有稳定性． 故选：D． 6. 如图，在等腰中，，是的中线，过点作于点，交于点，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形两锐角互余的性质及三角形外角性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 根据及直角三角形两锐角互余得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用三角形外角性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，是的中线， ∴，， ∴． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）．故a2+2a=a（a+2）． 故答案是a（a+2）． 8. 化简：______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据同分母分式的加法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了同分母分式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键． 9. 经测算，一个水分子的直径约为m，数据用科学记数法表示为 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数，表示时关键是要正确确定a及n的值． 【详解】 故答案为：． 10. 如图，，点，，在同一条直线上，若，，则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质等知识，根据全等三角形的性质得到，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：7 11. 如图，在中，平分交于点，过点作于点，于点，若，，则的面积为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积公式，角平分线的性质等知识．根据角平分线性质得到，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5 三、解答题（本大题共11道小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算等知识，先根据平方差公式计算，再合并同类项即可求解． 详解】解：． 13. 如图，平分，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的证明等知识，根据角平分线的定义得到，根据“角角边”即可证明． 【详解】证明：平分， ． 在和中， ． 14. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，再移项合并同类项，解出的值，再对所求的根进行检验即可．熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解： 方程两边乘， 得． 解得：． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值．利用分式的乘法运算法则计算，得到最简结果，然后代入，求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 16. 已知是正整数，求证：能被4整除． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项，得出，根据是正整数即可得结论． 【详解】证明： ． 是正整数， 能被4整除． 能被4整除． 17. 如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）的面积为___________． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质，找出关键点、即可； （2）利用三角形顶点所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：关于直线l成轴对称的如下图， ； 【小问2详解】 的面积为： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了作图−轴对称变换以及求三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 18. 在中，，． （1）用无刻度直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：只保留作图痕迹，不写作法） （2）若是线段的垂直平分线上的任意一点，则周长的最小值为_____． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． （1）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在左侧交于点M，在右侧交于点N，作直线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可知，进而得到当点P在上时，的周长最小，最小值． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求， 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是线段的垂直平分线上的任意一点， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当点P在上时，的周长最小，最小值． 故答案为：9． 19. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间．请将以下解题过程补充完整． （1）解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为．根据题意可列方程： ； （2）解法二：设大巴车行驶时间为．根据题意可列方程，得： ． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （）解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为，根据结果两校学生同时到达纪念馆，列出分式方程，解方程，即可解决问题； （）解法二：设大巴车行驶的时间为，根据中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快，列出分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为， 根据题意可列方程，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：大巴车行驶的时间为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设大巴车行驶的时间为， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程解，且符合题意， 答：大巴车行驶的时间为， 故答案为：． 20. 在和中，，，． （1）如图1，当点，，在同一直线上时，猜想线段和的数量关系和位置关系，不必说明理由． （2）如图2，当点，，不在同一直线上时，与，分别相交于点，． ①判断（1）中猜想是否成立？并说明理由． ②连接，，若，则四边形的面积为_____． 【答案】（1）， （2）①成立，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）延长，交于，利用证明，得出，，利用三角形内角和定理及对顶角相等得出，即可得出； （2）①根据角的和差关系得出，同（1）的方法即可得出（1）中结论成立；②根据，结合，，利用三角形面积公式即可得答案． 【小问1详解】 解：，，理由如下： 如图1，延长，交于， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①（1）中猜想成立，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②∵，，， ∴ ． 故答案为： 21. 下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： （1）求证：； （2）若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． （3）的最小值为_____． 的最小值为_____． （4）有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【答案】（1）见解析； （2），； （3），； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式的几何背景，熟练掌握并能灵活运用配方法是解题的关键． （）依据题意，由，则，从而，即可得解； （）依据题意，由，则，从而得解； 依据题意，由，又，可得，进而得解； （）依据题意得，，可得的最小值为，从而得解； 依据题意得，，则的最小值为，从而得解； （）依据题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，，则 ，第三个正方形的边长为，故第三个正方形的面积为，又，可得，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，∵， ∴， 故答案为：； 由题意，∵， 又， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； 由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，， ∴，第三个正方形的边长为， ∴第三个正方形的面积为， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴第三个正方形面积的最大值为． 22. 如图1，在中，，，．点在上，且．点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿线段运动到点停止．同时，点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线运动到点停止．连接，设点的运动时间为秒． （1）写出的形状，并说明理由． （2）当点在线段上时，_____，_____．（用含的式子表示） （3）当直线与的一条直角边垂直时，直接写出的值． （4）如图2，过点作的垂线，过点作的垂线，这两条垂线相交于点．当的一个内角等于时，直接写出的值． 【答案】（1）等边三角形，理由见解析 （2）， （3）， （4）或或或 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握角所对的直角边等于斜边一半的性质是解题关键． （1）根据直角三角形两直角互余得出，根据即可证明是等边三角形； （2）根据点、的速度及线段的和差关系，用含的式子表示即可； （3）分、两种情况，利用含角的直角三角形的性质及等边三角形的性质，分别求出的值即可； （4）分点在上方，、点在上方，、（两种）、共4种情况，利用含角的直角三角形的性质分别求出的值即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，， ∴， ∵点、的速度为每秒1个单位长度，点的运动时间为秒， ∴，． 故答案为：， 【小问3详解】 解：如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 解得：； 如图，当时，此时，点在线段上，点在线段上， ∴，，， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：的值为或． 【小问4详解】 解：如图，当点在上方，时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 如图，当点在下方，时， ∵， ∴，， ∴，， ∴，即， 解得：； 如图，当时，此时点与点重合，点与点重合， ∴， 如图，当时，此时，点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∵，， ∴， ∴ 综上所述：的值为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰满区2025—2026学年上学期期末教学质量检测 八年级数学 本试卷共6页，三道大题，22道小题，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，，6 D. ，， 2. 我国汽车行业发展迅速，下面四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果把分式中的，同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小到原来 D. 扩大为原来的4倍 5. 我国北宋时期李诫编修的《营造法式》中记载，为了使古建筑梁架更加稳固，经常使用三角形结构，这样操作主要利用的三角形性质是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 三角形两边之差小于第三边 C. 三角形的内角和为 D. 三角形具有稳定性 6. 如图，在等腰中，，是的中线，过点作于点，交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：_________． 8. 化简：______． 9. 经测算，一个水分子的直径约为m，数据用科学记数法表示为 ____________． 10. 如图，，点，，在同一条直线上，若，，则_____． 11. 如图，在中，平分交于点，过点作于点，于点，若，，则的面积为_____． 三、解答题（本大题共11道小题，共87分） 12. 计算：． 13. 如图，平分，，求证：． 14. 解方程：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 已知是正整数，求证：能被4整除． 17. 如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）的面积为___________． 18. 在中，，． （1）用无刻度直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：只保留作图痕迹，不写作法） （2）若是线段的垂直平分线上的任意一点，则周长的最小值为_____． 19. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间．请将以下解题过程补充完整． （1）解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为．根据题意可列方程： ； （2）解法二：设大巴车行驶的时间为．根据题意可列方程，得： ． 20. 和中，，，． （1）如图1，当点，，在同一直线上时，猜想线段和数量关系和位置关系，不必说明理由． （2）如图2，当点，，不同一直线上时，与，分别相交于点，． ①判断（1）中猜想是否成立？并说明理由． ②连接，，若，则四边形的面积为_____． 21. 下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： （1）求证：； （2）若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． （3）的最小值为_____． 的最小值为_____． （4）有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 22. 如图1，在中，，，．点在上，且．点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿线段运动到点停止．同时，点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线运动到点停止．连接，设点的运动时间为秒． （1）写出的形状，并说明理由． （2）当点在线段上时，_____，_____．（用含的式子表示） （3）当直线与的一条直角边垂直时，直接写出的值． （4）如图2，过点作的垂线，过点作的垂线，这两条垂线相交于点．当的一个内角等于时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $