精品解析：山西省运城市稷山县东方致远双语学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末 九年级数学 （满分120分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. “明月团团高树影”出自宋代辛弃疾的《清平乐 ·谢叔良惠木犀》，释义为：团团明月投下了桂树的身影．在下列四幅图中，表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，根据平行投影的特点解答即可，熟练掌握平行投影的特点是解此题的关键． 【详解】解：A．影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； B．影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； C．相同树高与影子是成正比的，而较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误，不符合题意； D．影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 2. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如下图所示： 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. cosA＝ D. tanB＝ 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝＝＝3， ∴sinA＝，故选项A错误； tanA＝，故选项B错误； cosA＝，故选项C正确； tanB＝，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键． 4. 绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在0.95附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查模拟实验以及利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 用总质量乘以样本中发芽的频率即可． 【详解】解：根据题意知，900这样的绿豆种子中发芽的大约有． 故选：A． 5. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（ ）米． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，求出抛物线当时 的值即可得解． 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：B． 6. 如图，在中，，，为角平分线，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．根据等腰三角形三线合一的性质，得到，，在中，利用余弦求出，即可得解． 【详解】解：，为角平分线， ，， 在中，， ， ， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在 轴上，连接，交 轴于点 ，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，根据菱形的性质可得，，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：C． 8. 将二次函数化为的形式，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，熟知配方法是解题的关键． 先提取二次项系数2，再根据完全平方公式整理即可． 【详解】解：， 故选：D． 9. 关于反比例函数的描述错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解并掌握反比例函数的图像及性质是解题关键．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于反比例函数，当时，可有， 即图像经过点， 故A正确，不符合题意； 因为，所以图该函数像位于第一、三象限，当时，y随x的增大而减小，故B、C正确，不符合题意； 因为当时，，所以当时，，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 10. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ） x … 0 1 … y … … A. 对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，观察表格根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出开口方向，再根据增减性解答D，最后根据对称性说明C即可． 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，故A正确； ∴顶点为， ∴抛物线的开口向下，故B正确； ∴当时，y随着x的增大而减小，故D正确； ∵抛物线对称轴为直线 ∴时，与时的函数值相等，即，故C错误； 故选：C． 第Ⅱ卷 选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴于点B，连接，已知的面积为5，那么________ 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引 轴、 轴垂线，所得三角形面积为，据此求解即可． 【详解】解：∵A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴于点B，连接，已知的面积为5， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， 则． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，由以原点O为位似中心，相似比为2，根据位似图形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是， ∴相似比为， ∴的对应点的坐标是， 故答案为：． 13. 已知抛物线与x轴交于点，，则关于x的方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数图象与x轴交点的横坐标就是当时对应一元二次方程的解即可求解． 【详解】解：∵抛物线与 轴交于点，，， ∴方程的解是，． 故答案为：，． 14. 网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率：列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20种等可能的情况，其中小林和小新相邻座位的结果有6种， ∴． 故答案为：． 15. 如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的简单应用.建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标. 【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系， 由题意可知各点坐标为，，， 设抛物线解析式为把B、D两点代入解析式， ∴， 解得：， ∴解析式为， 则顶点， 所以这个门洞内部顶端离地面的距离为， 故答案为：. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，解一元二次方程，熟记特殊角三角函数值，熟练掌握解一元二次方程的方法并正确计算是解题的关键． （1）先求出对应特殊角的三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 整理为一元二次方程的一般形式为， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 17. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）该二次函数的解析式为 （2）点在该二次函数的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）将点，的坐标代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）将代入二次函数解析式中求出y值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点，， ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点在该二次函数的图象上． 18. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数有6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率为． 19. 直线与反比例函数的图象相交于点，，与 轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若，请直接写出满足条件的 的取值范围； （3）过点作 轴的平行线交反比例函数的图象于点 ，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键． （1）分别将点、点代入，求出m、n的值，再分别代入中即可解答； （2）根据函数图像确定不等式的解集即可； （3）先把代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，， 点坐标为，点坐标为， 把A点坐标，点坐标分别代入,可得，解得： ， 一次函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ∴由图象可知，当时，或． 【小问3详解】 解：把时代入中，得， 点坐标为，即， ． 20. 今年8月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．如图，墙面米，公园管理者计划用总长为的栅栏围建一个“日”字形的精品花售卖区（细线表示栅栏，栅栏厚度忽略不计， 段不用栅栏，售卖区中间用栅栏分成两个矩形区域，点F、G分别在边上）．如图，点E在线段 上，若围成的售卖区的面积为，求售卖区的宽． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 设，则，根据题意列出方程求解，然后确定符合题意的解即可． 【详解】解：设，则， ∵围成的售卖区的面积为， ∴根据题意列一元二次方程得，， ， 解得，， 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， ∴， ∴的长为． 21. 如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低，为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动如图2是他们测量长城第一墩高度 的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得，，其中（测角仪的高度），，求长城第一墩的高度（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】长城第一墩的高度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．设，分别解，求出的长，再根据线段的和差关系列出方程求出 的值，再利用，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 答：长城第一墩的高度为． 22. 综合实践 【问题情景】用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物线的运动路径． 【问题提出】如图1，小亮站在河边的安全位置用一块石头打水漂，石头在空中飞行的高度 （单位：m）与水平距离 （单位：m）之间的关系如图2所示．石头第1次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且．石头在水面上弹起后第2次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且．（小亮所站地面、水面在同一水平面，且石头近似看作点） （1）若点的坐标为，求抛物线的函数解析式． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若横坐标为6的位置冒出了一只水鸭，水鸭的头高出水面，则该石头能否飞越水鸭？ 【问题延伸】 （3）在横坐标为6的位置恰有一只水鸭游过，水鸭的头高出水面，如果石头能够飞越水鸭，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）该石头能飞越水鸭；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质及应用，抛物线与 轴的交点，已知自变量求函数值，待定系数法求二次函数的解析式，通过代入法求解未知参数，比较抛物线上某一点的高度与障碍物的高度，判断能否飞越是解题的关键． （1）根据点在x轴上，将代入求出点坐标，接着把点代入求出即可求解； （2）先求出当时上点的坐标为，通过比较的大小判断石头能否飞起鸭子； （3）将代入得，然后将，代入得，解不等式确定的取值范围． 【详解】解：（1）点在x轴上，且在抛物线的图象上， ∴当时，在抛物线，得， 整理得，， 解得 ，， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， 解得，， ∴抛物线的函数解析式为：； （2）该石头能飞越水鸭，理由如下： 当时，在抛物线中， ， ∴水鸭所在点的坐标为， ∵， ∴该石头能飞越水鸭； （3）将代入得， 整理，得 将代入，得， 把代入上式，得， 由时，得，， ． 23. 综合与实践 问题情境 在“综合与实践”活动课上，老师给出了如图1所示的一张矩形纸片，其中，． 实践探究 （1）如图2，将矩形纸片沿对角线 剪开，得到纸片与.将纸片沿 方向平移，连接（与 交于点），，，得到图3所示的图形.若，解答下列问题： ①请你猜想四边形的形状，并证明． ②请求出平移的距离． 拓展延伸 （2）如图4，先将纸片沿 方向进行平移，然后将纸片绕点顺时针旋转，使得，恰好经过点，求平移的距离． 【答案】 （1）①四边形是菱形， 理由如下： 四边形是矩形， ，， 又由平移知对应线段平行且相等， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； ②； （2） 【解析】 【分析】（1）①由四边形是矩形，可得，，由平移的性质可得，，推出四边形是平行四边形，再结合即可证明四边形是菱形；②根据矩形的性质可得，，根据勾股定理可得，推出，结合，可得，根据四边形是菱形，可推出，最后根据线段的和差即可求解； （2），，可得，进而得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：（1）①略 ②由题意可得：，， 在中，，， ， ， ， 在中，， 四边形是菱形， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质，解题的关键是综合运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末 九年级数学 （满分120分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. “明月团团高树影”出自宋代辛弃疾的《清平乐 ·谢叔良惠木犀》，释义为：团团明月投下了桂树的身影．在下列四幅图中，表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是（ ） A. B. C. D. 2. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. cosA＝ D. tanB＝ 4. 绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在0.95附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（ ）米． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图，在中，，，为角平分线，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，连接，交轴于点，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 将二次函数化为的形式，结果为（ ） A. B. C. D. 9. 关于反比例函数的描述错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 10. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ） x … 0 1 … y … … A. 对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而减小 第Ⅱ卷 选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴于点B，连接，已知的面积为5，那么________ 12. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的坐标是________． 13. 已知抛物线与x轴交于点，，则关于x的方程的解是______． 14. 网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为____________． 15. 如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为_______________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）解方程：． 17. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 18. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 19. 直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若，请直接写出满足条件的的取值范围； （3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 20. 今年8月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．如图，墙面米，公园管理者计划用总长为的栅栏围建一个“日”字形的精品花售卖区（细线表示栅栏，栅栏厚度忽略不计， 段不用栅栏，售卖区中间用栅栏分成两个矩形区域，点F、G分别在边上）．如图，点E在线段 上，若围成的售卖区的面积为，求售卖区的宽． 21. 如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低，为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动如图2是他们测量长城第一墩高度 的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得，，其中（测角仪的高度），，求长城第一墩的高度（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 22. 综合实践 【问题情景】用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物线的运动路径． 【问题提出】如图1，小亮站在河边的安全位置用一块石头打水漂，石头在空中飞行的高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系如图2所示．石头第1次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且．石头在水面上弹起后第2次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且．（小亮所站地面、水面在同一水平面，且石头近似看作点） （1）若点的坐标为，求抛物线的函数解析式． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若横坐标为6的位置冒出了一只水鸭，水鸭的头高出水面，则该石头能否飞越水鸭？ 【问题延伸】 （3）在横坐标为6的位置恰有一只水鸭游过，水鸭的头高出水面，如果石头能够飞越水鸭，求的取值范围． 23. 综合与实践 问题情境 在“综合与实践”活动课上，老师给出了如图1所示的一张矩形纸片 ，其中，． 实践探究 （1）如图2，将矩形纸片 沿对角线剪开，得到纸片与.将纸片沿方向平移，连接（与交于点），，，得到图3所示的图形.若，解答下列问题： ①请你猜想四边形的形状，并证明． ②请求出平移的距离． 拓展延伸 （2）如图4，先将纸片沿方向进行平移，然后将纸片绕点顺时针旋转，使得，恰好经过点，求平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $