精品解析：河南省濮阳市范县2025－2026学年九年级第一次摸底测试数学试卷

2026年九年级第一次摸底测试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 年月日，汇聚了全球个知名汽车品牌的第二十一届中国（长沙）国际汽车博览会在长沙国际会展中心拉开帷幕，中国新能源汽车智能化发展进入全面加速期，各大车企以高阶智能技术抢占市场，并开始竞逐低空智慧交通新赛道．以下是款国产新能源汽车标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 如图，已知中，，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 4. 圆周率是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．从的小数部分随机取出一个数字恰好是8的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移1个单位长度，所得的新抛物线是（ ） A B. C. D. 6. 若，且与的相似比为，则为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，，，，则的半径为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 10 9. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 容器内气体质量（质量）是5kg B. 当时， C. 当容器的体积为时，气体的密度为 D. 当时，气体的密度随容器体积的增大而增大 10. 如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取的中点，则的最大值是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 从数学的观点看，成语“水涨船高”中描述的事件是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件． 12. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是________． 13. 如图，抛物线经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是________． 14. 如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 15. 已知反比例函数和的图象如图所示，点C是x轴正半轴上一点，过点C作轴分别交两个图象于点A， B．连接，，若，则k的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为2，并写出点B的对应点的坐标． 18. 2025年世界跳绳锦标赛中，中国内地队斩获12金10银1铜，14次刷新世界纪录，其中河南籍运动员杜婷婷独得4金，四次助力团队打破世界纪录．跳绳不仅是一项世界级运动赛事，也是河南中考选考项目之一．根据河南某地中考方案，2025年中考体育素质类选考项目为4选1：A．立定跳远、B．掷实心球、C．1分钟跳绳、D．50米跑． （1）小明从这4个项目中随机选择一种，恰好选中1分钟跳绳的概率是________； （2）小明和小亮都比较擅长A．立定跳远、B．掷实心球和C．1分钟跳绳，请用画树状图法或列表法求小明和小亮在这3项里面选中相同项目的概率． 19. 洛阳龙门西山石窟的卢舍那大佛是龙门石窟中的标志性造像，展现了古代工匠的高超技艺．为了测量卢舍那大佛的高度、小明同学采取了如下方法：在地面上平放一面镜子，并在镜子上做一个标记点C，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到卢舍那大佛的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记点C重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小明眼睛距离地面的高度为，和的长分别为和，求卢舍那大佛的高度．（结果保留1位小数） 20. 如图，在的正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）中，的顶点，，均在格点上，请按要求画图：①用尺规作图；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． （1）在图中作出的外接圆的圆心； （2）将图中的圆心标记在图的相应位置并求图中阴影部分的面积（结果保留）． 21. 如图，直线分别与y轴，x轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点D，点D为的中点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点C．若．求的长． 22. 某旅游商店推出一款成本为100元的农特产礼盒，当每盒售价为150元时，每天可销售300盒.为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒的售价每降低1元，每天销量可增加10盒. （1）直接写出公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系：________； （2）当降价多少元时，公司每天的利润最大，最大为多少元？ （3）若公司每天的利润要达到15750元，并最大限度让利于民，则定价应为多少元？ 23. 在矩形中，E边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． 【特例发现】 （1）如图1，当时，________； 【类比探究】 （2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值； 【拓展运用】 （3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级第一次摸底测试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 年月日，汇聚了全球个知名汽车品牌的第二十一届中国（长沙）国际汽车博览会在长沙国际会展中心拉开帷幕，中国新能源汽车智能化发展进入全面加速期，各大车企以高阶智能技术抢占市场，并开始竞逐低空智慧交通新赛道．以下是款国产新能源汽车标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握相关定义是解答本题关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； C选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D选项是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：B． 2. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将方程化为标准形式，常数项为，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴常数项为， 故选：C． 3. 如图，已知中，，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出是解决问题的关键．由平行线分线段成比例定理得出比例式求出，即可得出结果． 【详解】解：，， ， ∵， ， ． 故选：A． 4. 圆周率是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．从的小数部分随机取出一个数字恰好是8的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，是解题的关键．从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字8的只有1种结果，利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同， ∴从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字8的只有1种结果， ∴从的小数部分随机取出一个数字恰好是8的概率为． 故选：D． 5. 将抛物线向右平移1个单位长度，所得的新抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，准确运用平移方法求解是解题的关键．根据二次函数图象平移的方法：左加右减，上加下减计算即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位得到． 故选：C． 6. 若，且与的相似比为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了对相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】解：∵，且与的相似比为， ∴与的面积比是， 故选：B． 7. 已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合判断，正确根据二次函数推出，是解题的关键．先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 8. 如图，是的直径，，，，则的半径为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等；掌握圆的基本性质是解题的关键． 由圆的基本性质得，由直径所对的圆周角是直角和勾股定理得，即可求解． 【详解】解：， ， ， 是的直径， ， ， ， 则的半径为， 故选：B． 9. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 容器内气体的质量（质量）是5kg B. 当时， C. 当容器的体积为时，气体的密度为 D. 当时，气体的密度随容器体积的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数值， 先求出m的值判断A；再根据反比例函数值随着x的增大而减小解答B，D；然后求出当时的函数值解答C． 【详解】解：∵， ∴容器内气体的质量为， 所以A不正确； 当时，， 所以当时，， 所以B不正确； 当时，， 所以当容器的体积，气体的密度是， 可知C正确； 当时，气体的密度随着容器体积的增大而减小， 则D不正确． 故选：C． 10. 如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取中点，则的最大值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形中线的性质、三角形三边关系及勾股定理，熟练掌握旋转的性质和三角形中线的性质是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，再根据旋转的性质、三角形中位线的性质及三角形的三边关系即可求出结果． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵，，，， ∴． ∵将绕点B旋转得到， ∴． ∵分别是的中点， ∴线段为的中位线，线段为的中位线， ∴，， ∴， ∴的最小值为，的最大值为． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 从数学的观点看，成语“水涨船高”中描述的事件是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件． 【答案】必然 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：从数学的观点看，成语“水涨船高”中描述水位上涨时，船身必然升高，这是一种确定的因果关系，因此是必然事件． 故答案为：必然． 12. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程有实根的条件，解决本题的关键是得到判别式非负列式求解． 利用一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，列不等式求解的取值范围，进而得到最小值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 则，且判别式， 即，解得， 故最小值为． 故答案为：． 13. 如图，抛物线经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点，正确得出抛物线与轴的交点坐标是解题关键．先通过对称轴得出的对称点，即为抛物线与轴的交点，再求出一元二次方程的根即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点是，对称轴为直线， 设另一个交点的坐标为， ∴，解得， ∴抛物线与轴的另一个交点是， ∴一元二次方程的解是：，． 故答案为：，． 14. 如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 当移动到与相切时，设圆心为，切点为，由，，，得，最后求解即可． 【详解】解：当移动到与相切时，设圆心为，切点为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴圆心移动的距离为． 故答案为：． 15. 已知反比例函数和的图象如图所示，点C是x轴正半轴上一点，过点C作轴分别交两个图象于点A， B．连接，，若，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，由反比例函数系数的几何意义得，求出，再由，即可求解． 【详解】解：，轴， ， 解得 ， 解得， 故答案为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法． （1）先移项得，再根据直接开平方法即可求出答案； （2）先移项得，再根据配方法即可求出答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ∴，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为2，并写出点B的对应点的坐标． 【答案】（1）见详解 （2）见详解，点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称作图、作位似图形，掌握其画法是解题的关键； （1）根据关于原点对称点特征，将的横纵坐标分别乘以，得到，再顺次连接，即可求解； （2）根据题意，将横纵坐标分别乘以，找到，再顺次连接，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的图形； 【小问2详解】 解：如图，为所求作的图形； 点的坐标为． 18. 2025年世界跳绳锦标赛中，中国内地队斩获12金10银1铜，14次刷新世界纪录，其中河南籍运动员杜婷婷独得4金，四次助力团队打破世界纪录．跳绳不仅是一项世界级运动赛事，也是河南中考的选考项目之一．根据河南某地中考方案，2025年中考体育素质类选考项目为4选1：A．立定跳远、B．掷实心球、C．1分钟跳绳、D．50米跑． （1）小明从这4个项目中随机选择一种，恰好选中1分钟跳绳的概率是________； （2）小明和小亮都比较擅长A．立定跳远、B．掷实心球和C．1分钟跳绳，请用画树状图法或列表法求小明和小亮在这3项里面选中相同项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图；能画树状图法或列表法进行求解是解题的关键． （1）对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可． 【小问1详解】 解：共有种结果，恰好选中1分钟跳绳是种结果， 故恰好选中1分钟跳绳的概率是， 故答案为． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选中相同项目的结果有3种，即，，， ． 19. 洛阳龙门西山石窟的卢舍那大佛是龙门石窟中的标志性造像，展现了古代工匠的高超技艺．为了测量卢舍那大佛的高度、小明同学采取了如下方法：在地面上平放一面镜子，并在镜子上做一个标记点C，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到卢舍那大佛的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记点C重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小明眼睛距离地面的高度为，和的长分别为和，求卢舍那大佛的高度．（结果保留1位小数） 【答案】卢舍那大佛的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键．由题意证明，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ，， ， ， ， ，和的长分别为和， ． 解得． 答：卢舍那大佛的高度约为． 20. 如图，在的正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）中，的顶点，，均在格点上，请按要求画图：①用尺规作图；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． （1）在图中作出的外接圆的圆心； （2）将图中的圆心标记在图的相应位置并求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1）见解析； （2）图见解析，． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图与扇形面积计算，综合运用了三角形外心的性质、勾股定理、扇形面积公式等知识，掌握垂直平分线的作图原理、直角三角形的判定方法以及不规则图形面积的转化技巧是解题的关键． （1）解题时，应选取三角形的任意两条边（如和），分别作出它们的垂直平分线，相交的一点即的外接圆的圆心； （2）先根据勾股定理求出，再根据勾股逆定理证出为直角三角形，最后根据求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 如图，连接， 由图得，． ∵，即， ∴为直角三角形，， ∴． 21. 如图，直线分别与y轴，x轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点D，点D为的中点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点C．若．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，求出点D的坐标为，将代入求得反比例函数的解析式为，过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点C，即可求解． 【详解】解：， ，． 点D为的中点， 点D的坐标为． 将代入，得． 解得． 反比例函数的解析式为． 过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点C， 点C的纵坐标为6． 在中，当时，，解得． ． 22. 某旅游商店推出一款成本为100元的农特产礼盒，当每盒售价为150元时，每天可销售300盒.为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒的售价每降低1元，每天销量可增加10盒. （1）直接写出公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系：________； （2）当降价多少元时，公司每天的利润最大，最大为多少元？ （3）若公司每天的利润要达到15750元，并最大限度让利于民，则定价应为多少元？ 【答案】（1） （2）当降价10元时，公司每天的利润最大，最大为16000元 （3）定价应为135元. 【解析】 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系； （2）将（1）中的函数关系式化为顶点式，即可求解； （3）令求出相应的x值，再根据最大限度让利于民，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ； 【小问2详解】 解：由（1）得： ， ∴时，最大为16000， 即当降价10元时，公司每天的利润最大，最大为16000元； 【小问3详解】 解：当， 解得：，， ∵最大限度让利于民， ∴不合题意，舍去， ∴定价应为（元）， 答：定价应为135元. 【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，明确题意，列出相应的方程，写出函数关系式，并利用二次函数的性质是解题的关键． 23. 在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． 【特例发现】 （1）如图1，当时，________； 【类比探究】 （2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值； 【拓展运用】 （3）如图3，矩形在旋转过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）延长交于，等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得，即可求解； （2）连接、，结合矩形的性质和相似三角形的判定方法得， ，由相似三角形的性质得即可求解； （3）设，，，则，，相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，求出的值，由勾股定理得，再判定，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ， ，， 四边形、是正方形， 是正方形的对角线， 是正方形的对角线， 、、三点共线， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为． （2）解：连接、， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ∵，， ∴，， ， ， ． （3）解：，， 设，，，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质；能熟练利用勾股定理、相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $