精品解析：福建省漳州第一中学2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题

2025－2026学年第一学期八年级数学科第二次阶段性练习 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题有10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列四个数是无理数的是（ ） A B. C. 0.1313 D. 2. 下列四组数中，是勾股数的是（） A. 10，8，6 B. ，， C. ，， D. 0.3，0.4，0.5 3. 下列各点在第四象限的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，下列条件中，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 八年级某小组的同学每分钟跳绳个数的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数是（ ）． A 120 B. 140 C. 150 D. 163 7. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数（k为常数，）与正比例函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 小明步行从甲地到乙地，小亮骑自行车从乙地到甲地，同时出发，匀速行驶，各自到达目的后停止，设两人之间的距离为（单位：千米），小明步行的时间为（单位：小时），与之间的关系如图所示，有下列结论，其中，正确的结论个数是（ ）． ①出发1小时时，小明、小亮在途中相遇 ②出发小时时，小亮比小明多走了6千米 ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点 ④小亮的速度是小明的速度的一半 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题有6小题，每小题4分，共24分． 11. 16的平方根是___________． 12. 对于直线，当时，______． 13. 关于x、y的二元一次方程组的解，则直线与交点坐标为______． 14. 某中学举行朗诵比赛．甲、乙、丙三名参赛选手的成绩如表所示，每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 分 分 分 评委（老师） 分 分 分 经过最后汇总，总分最高的是______选手．（填“甲”“乙”或“丙”） 15. 如图，分别平分，则______． 16. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点，若，为中点，则的长为__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤，请在答题卡的相应位置解答． 17. （1）计算：； （2）解方程组：． 18. 下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化1，得第五步 （1）任务一：以上解题过程中，第一步的依据是______；第______步开始出现错误； （2）任务二：请你帮嘉嘉同学正确求解如上不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 19. 已知：如图，平分．求证：． 20. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）请作出关于x轴对称的，则坐标为______； （2）若点P为y轴上一点，且的面积为10，求出点P的坐标． 21. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 22. 观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… （1）请直接写出第5个等式：______（不用化简）； （2）根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式（为正整数），并证明等式成立； （3）利用（2）结论计算：． 23. 甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适． 24. 如图，在长方形中，．   （1）如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； （2）如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； （3）如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交轴，轴于点，，点为线段的中点，且点． （1）求直线的表达式； （2）如图2，点为直线上一点且在点的上方，点，分别是轴与直线上的动点，当的面积为9时，求的最小值； （3）如图3，直线经过点且与轴所成的锐角为，点为直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期八年级数学科第二次阶段性练习 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题有10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列四个数是无理数的是（ ） A. B. C. 0.1313 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念，掌握无理数的概念是解题关键． 无理数是无限不循环小数，根据概念逐项判断即可． 【详解】解：A：，为整数； B：选项中含π，π为无理数，故该选项为无理数； C：0.1313为有限小数，为有理数； D：为分数，为有理数， 故选：B． 2. 下列四组数中，是勾股数的是（） A. 10，8，6 B. ，， C. ，， D. 0.3，0.4，0.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股数，勾股数是指能成为直角三角形三边长的三个正整数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴10，8，6能成为直角三角形的三边长，且它们均为正整数， ∴10，8,6是一组勾股数． B、∵， ∴，，不能成为直角三角形的三边长， ∴，，不是一组勾股数． C、∵，，不是正整数， ∴，，不是一组勾股数． D、∵0.3，0.4，0.5不是正整数， ∴0.3，0.4，0.5不是一组勾股数． 故选：A． 3. 下列各点在第四象限的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：． 根据平面直角坐标系中点坐标特征逐项判断即可． 【详解】解：A．在第四象限，符合题意； B．在第二象限，不符合题意； C．在第一象限，不符合题意； D．在第三象限，不符合题意； 故选A． 4. 如图，下列条件中，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键． 根据平行线的判定知识逐项判断即可． 【详解】解：A、，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； B、，则（同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； C、，则，不能证明，故符合题意； D、，而，故，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，除法运算，加法运算，减法运算，根据相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、不同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：A． 6. 八年级某小组的同学每分钟跳绳个数的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数是（ ）． A. 120 B. 140 C. 150 D. 163 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了箱线图，下四分位数，根据下四分位数定义即可求解，掌握箱线图和下四分位数有关知识是解题的关键． 【详解】解：由箱线图和下四分位数的定义可得，这组数据的下四分位数是140， 故选：B． 7. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴，运用勾股定理求出点处所表示的数到的距离，再观察点在的左边，即可作答． 【详解】解：由图可得，点处所表示的数到的距离为， 图中标注在点处所表示的数为． 故选：A． 8. 一次函数（k为常数，）与正比例函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、两种情况找出函数及函数的图象经过的象限，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：当时，正比例函数的图象经过第二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 当时，正比例函数的图象经过第一、三象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象及一次函数的图象，分、两种情况找出两函数图象经过的象限是解题的关键． 9. 小明步行从甲地到乙地，小亮骑自行车从乙地到甲地，同时出发，匀速行驶，各自到达目的后停止，设两人之间的距离为（单位：千米），小明步行的时间为（单位：小时），与之间的关系如图所示，有下列结论，其中，正确的结论个数是（ ）． ①出发1小时时，小明、小亮在途中相遇 ②出发小时时，小亮比小明多走了6千米 ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点 ④小亮的速度是小明的速度的一半 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】当两人间的距离为0时两人相遇，据此可判断①；根据题意和图象分别求出小明和小亮的速度即可判断②；根据图象的拐点表示有一个人到达终点，据此判断③；根据所求小明和小亮的速度即可解答④. 【详解】小明和小亮距离为0时，即出发1小时时两人相遇，故①正确； 小明的速度为（km/h），小亮的速度为（km/h）， ∴出发小时时，小亮比小明多走千米，故②正确； 由图知，小亮出发1.5小时到达终点，小明出发3小时到达终点，故③错误； 小明的速度为（km/h），小亮的速度为（km/h）， ∴小亮的速度是小明的速度的2倍，故④错误； 故选：C. 【点睛】此题考查行程问题一次函数的应用，正确理解题意，明确函数图象的意义是解题的关键. 10. 已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解问题，解题的关键是先解不等式，再根据正整数解的个数确定不等式的取值范围． 1．解不等式，得到； 2．根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式； 3．解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解： 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． 且 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 故选C． 二、填空题：本大题有6小题，每小题4分，共24分． 11. 16平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解即可：若，则，x是a的平方根，注意正数的平方根有2个． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 12. 对于直线，当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据一次函数解析式得到y随x增大而减小，再由可得． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 关于x、y的二元一次方程组的解，则直线与交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解与一次函数的交点问题． 二元一次方程组的解即为对应两条直线的交点坐标，已知方程组的解，可直接得到交点坐标． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组即的解， ∴直线与交点坐标． 故答案为：． 14. 某中学举行朗诵比赛．甲、乙、丙三名参赛选手的成绩如表所示，每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 分 分 分 评委（老师） 分 分 分 经过最后汇总，总分最高的是______选手．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了运用加权平均数做决策，求加权平均数，解题关键掌握上述知识点并能运用来求解． 计算甲、乙、丙三名选手的加权平均分，观众评分权重为，评委评分权重为，比较总分即可． 【详解】解：甲的总分为：（分）； 乙的总分为：（分）； 丙的总分为：（分）； ∵， ∴总分最高的是乙选手， 故答案为：乙． 15. 如图，分别平分，则______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，能熟练的运用定理进行推理是解此题的关键． 过点O作，利用平行线的性质以及角平分线的定义得到，，即可求解． 【详解】解：过点O作， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点，若，为中点，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．先证明得出，再证明，最后根据列方程即可得出结果． 【详解】解：∵为中点， ∴， ∵正方形与正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤，请在答题卡的相应位置解答． 17. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】 （1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与二元一次方程组的解法，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与消元法解方程组． （1）先化简二次根式，再按运算顺序计算； （2）用代入消元法消去，求解后代入求． 【详解】解：（1）原式 （2）由得， 代入，， ， ， ∴， 将代入得． ∴方程组的解为． 18. 下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 （1）任务一：以上解题过程中，第一步的依据是______；第______步开始出现错误； （2）任务二：请你帮嘉嘉同学正确求解如上不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）不等式的基本性质2；三 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组解集． （1）根据不等式的基本性质和移项需要变号可知第三步出错； （2）按照解一元一次不等式的步骤求解，把解集表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：第一步的依据是：不等式的基本性质2； 第三步移项出错，移项没有改变符号； 故答案为：不等式的基本性质2；三； 【小问2详解】 解：由①去分母得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； 由②移项，得， 解得； 不等式组的解集为：； 如图： ． 19. 已知：如图，平分．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义，解题的关键是利用平行线性质推导角的互补关系，结合已知角的和差得角相等，再通过角平分线定义及平行线判定与性质，逐步建立目标角的等量关系． 先由得，结合推出；再由DG平分得，进而得，判定，接着推出． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（同角的补角相等）． ∵DG平分（已知）， ∴（角平分线定义）． ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 20. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）请作出关于x轴对称的，则坐标为______； （2）若点P为y轴上一点，且的面积为10，求出点P的坐标． 【答案】（1）见解析， （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到A、B、C三点的关于x轴的对称点的坐标，依次连接这三个点即可得到所求作的三角形； （2）设点的坐标为，则，根据点到轴的距离为4，可得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，则坐标为； 【小问2详解】 解：∵点为轴上一点， ∴设点的坐标为， 在中， ∴，点到轴的距离为， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴满足条件的点的坐标为或． 21. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】有5人，物价为28钱 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设有x人，物价为y钱，根据“每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱”列出方程组并求解． 【详解】解：设有x人，物价为y钱， 由题意可得，， 解得． 答：有5人，物价为28钱． 22. 观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… （1）请直接写出第5个等式：______（不用化简）； （2）根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式（为正整数），并证明等式成立； （3）利用（2）的结论计算：． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、规律型数字的变化美，解决本题的关键是根据示例发现规律写出式子． （1）根据示例，可得第5个等式：不用化简； （2）； （3）利用（2）的结论，将数据代入计算即可． 【小问1详解】 解：第5个等式是：不用化简， 故答案为：； 【小问2详解】 第n个等式为正整数为：， 证明：因为n为正整数， 所以有： ； 【小问3详解】 ． 23. 甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适． 【答案】（1），见解析 （2）甲，见解析 【解析】 【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键． （1）先求出乙的方差，然后比较即可； （2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可． 【小问1详解】 解：， 即． 因为， 所以， 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． 【小问2详解】 解：由已知得，获奖分数线的平均数为 ， 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． 24. 如图，在长方形中，．   （1）如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； （2）如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； （3）如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【小问1详解】 解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交轴，轴于点，，点为线段的中点，且点． （1）求直线的表达式； （2）如图2，点为直线上一点且在点的上方，点，分别是轴与直线上的动点，当的面积为9时，求的最小值； （3）如图3，直线经过点且与轴所成的锐角为，点为直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）直线的表达式 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式等； （1）分别求得的坐标，进而根据中点坐标公式求得的坐标，再根据待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据，结合已知可得为的中点，进而根据轴对称的性质以及垂线段最短，根据等面积法，即可求解； （3）根据构造等腰直角三角形，进而根据全等三角形的性质求得点的坐标，待定系数法求得的解析式，联立的解析式，其他情形同理求得即可． 【小问1详解】 解：∵直线：分别交轴，轴于点，， 当时，；当时， ∴， ∵点为线段的中点， ∴ 设直线的表达式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的表达式 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴点在上，且为的中点， ∵，， ∴， 作关于轴的对称点，则，则 如图，连接，过点作交于点，则的最小值为 ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作轴的平行线，过点分别作轴的平行线，交于点； ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∴即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， ∵直线经过点且与轴所成的锐角为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 当在的下方时，如图，作等腰直角三角形， 同理可得， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 当直线与轴正半轴的夹角为时，此时的解析式为 联立， 解得：， ∴， 综上所述，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $