精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度锡林郭勒盟三县联考 八年级数学期末考试卷 考试分数：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1. 下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合．‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不能找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项符合题意； B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 某中学在校内劳动基地开展了一堂特殊的劳动课，计划九（1）班共采摘100千克蔬菜，在实际采摘之前将班级10名同学调往其他劳动区域，这样剩余同学实际平均每人需要采摘的重量是原计划全班学生平均每人需要采摘重量的倍，设九（1）班学生的人数为名，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据剩余同学实际平均每人需要采摘的重量是原计划全班学生平均每人需要采摘重量的倍这一条件列出分式方程即可． 【详解】解：设九（1）班学生的人数为名，则实际采摘人数为名同学， 根据题意有， 故选：C． 【点睛】本题考查了列分式方程，读懂题意理解其中的等量关系是解题的关键． 3. 如图的三角板纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查翻折中的全等，解题的关键在于掌握翻折过后的线段与翻折前一样．由折叠的性质可得，，可求的长，即可求的周长． 【详解】解：∵沿过点的直线折叠这个三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为：， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法等知识，根据运算法则逐项进行判断即可． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 5. 如图，已知，，，下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先利用证明，得出，，进而可判断③；利用证明，即可判断①；利用可证明，即可判断④，由已知条件可证明，无法证明，即可判断②． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 故③正确； ∴， ∴，， 故①正确； ∵，，， ∴， 故④正确； ∵，， ∴，即， 无法证明，故②错误； 故选：C． 6. 如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，，则的面积为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质并作辅助线是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出，进而根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于， ，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 7. 如图，把长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为，那么下列说法不一定成立的是（ ） A. B. 和是全等三角形 C. D. 折叠后得到的图形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方形的性质和折叠的性质可得，根据等角对等边可得；根据折叠的性质可知，，利用可证；由折叠的性质可知不一定成立；根据折叠的性质可知折叠后的图形是轴对称图形． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 由折叠可知， ， ，故A选项成立； 四边形是长方形， ，， 由折叠可知， ，， 在和中， ， ，故B选项成立； 由折叠可知，与不一定相等， 不一定成立，故C选项不一定成立； 如下图所示，中边上的中线所在的直线是图形的对称轴， 故D选项成立． 故选：C． 【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称图形的识别等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 8. 若关于的分式方程无解，则的值为（） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件就是分母等于0或化简后整式方程无解是解题的关键． 把原方程去分母化为整式方程，求出方程的解得到x的值，由分式方程无解得到分式方程的分母为0，求出x的值，两者相等得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得 ， 整理得 ， ∴， 解得 ． ∵关于的分式方程无解， ∴，即， 令， 解得． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9. 甲乙两人同时从某地出发，步行5千米来到游乐园，已知甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到15分钟，问甲乙两人每小时各走多少千米，若设甲每小时走x千米，则可列方程：_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程应用．设甲每小时走x千米，则乙每小时走千米．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到15分钟，据此列方程即可． 【详解】解：∵甲比乙每小时多走1千米，且设甲每小时走x千米， ∴乙每小时走千米． 根据题意得：， 即． 故答案为：． 10. 若，则__________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，平方差公式的应用，初中阶段有三种类型的非负数：①绝对值；②偶次方；③二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．利用非负数的性质求出，，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 已知非0实数a，b，c满足．则___________． 【答案】9 【解析】 【分析】用第一个括号里的算式分别乘以第二个括号里的三个分式，结合化简，所得三部分合并再化简，结合二数和完全立方式展开变形，代入化简即得． 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算化简，完全立方公式的推导及变形运用，是解决本题的关键． 【详解】∵， 同理，，， ∴原式， 又，即， 则， 故原式． 故答案为：9． 12. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，则当，，三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，解得，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ， ， 当，，三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），根据成轴对称图形的特征进行求解，垂线段最短，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）是解题的关键． 三、解答题（共64分） 13. 化简： （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据单项式乘以多项式，平方差公式进行计算即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式，平方差公式，分式加减乘除混合运算，正确计算是解题的关键． 14. 从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 【答案】（1）B （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积： （1）等积法列出等式即可； （2）①利用（1）中的等式，进行求解即可； ②算式乘以前面乘以，利用平方差公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知，阴影部分的面积为； 故选B． 【小问2详解】 ①由（1）可知：， ∵， ∴； ② ‘’ ． 15. 如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． 【答案】①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦ 【解析】 【分析】本题考查了等角的补角相等、三角形外角性质以及全等三角形的判定与性质，小力先用等角的补角相等证明出，再证明，最后根据全等的性质得到；小旺根据三角形外角性质得到且，，证明，最后根据全等的性质得到． 【详解】证：小力的证法： （已知）， 且， （等角的补角相等）， 在和中， ， ， （全等三角形的对应边相等）． 小旺的证法： ，（已知）， 且，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线． （1）仔细观察图形，容易发现点关于直线的对称点的坐标为，请在图中分别作出点，关于直线的对称点、的位置，并写出它们的坐标：______，______． （2）结合图形及以上三组点的坐标，我们发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为______．（不必证明） （3）已知两点，，试在直线上确定一点，使点到、两点的距离之和最小，画出图形并标出点的位置． 【答案】（1），，见解析 （2） （3）见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可得答案； （2）根据（1）的结论即可得答案； （3）根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，作出E点关于直线l对称点F，连接与直线l的相交，交点即为P． 【小问1详解】 解：如下图， 由图可知，； 【小问2详解】 由（1）可知：一个点关于第一、三象限的角平分线对称，那么这个点的横、纵坐标交换位置，所以关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标为； 【小问3详解】 如（1）图，作出E点关于直线l对称点F，连接与直线l的相交，交点即为P， ， ， 点P到D，E两点的距离之和最小，点P的位置如（1）图，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了轴对称和最短路线的问题，解题的关键是掌握利用轴对称得性质求出最短路线． 17. 如图①，一张半径为的圆形纸片，点O为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交于A，B两点． （1）如图②，若折叠后的圆弧恰好经过点O，此时线段的长度为___________． （2）已知M内一点，． ①若折叠后的圆弧经过点M，则线段长度的最大值是___________，最小值是___________； ②若折叠后的圆弧与直线相切于点M，请用无刻度的直尺与圆规在图③中画出折痕，此时线段的长度为___________． 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）连接，过点O作交劣弧与点P，交与点H，直线l垂直平分．，在中即可求解； （2）①根据题意分两种情况画出图形，然后根据垂径定理和勾股定理求出的长，进而可得弦长度的取值范围；②如图，连接并延长，交与点E，过M作的垂线，在的垂线上取一点使得，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交于A，B两点，连接，即为所求，连接，交与点C，交与点D， 得到垂直平分，，在中即可求解； 【小问1详解】 解：如图，连接，过点O作交劣弧与点P，交与点H， ∵点P与点O关于直线l对称，半径为， ∴直线l垂直平分．， ． 在中， ， ． 在中， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图1，点P与点M关于直线l对称，连接，交与点D， ∵弧翻折与M重合， 当P，D，M三点共线时，有最大值，此时有最小值，即有最小值， ，， ，， ， 在中，，， ， ； 如图2：点P与点M关于直线l对称，连接，交与点D， ∵弧翻折与M重合， 当P，D，M三点共线时，有最小值，此时有最大值，即有最大值， ，， ，， 在中，， ， ； ②如图，连接并延长，交与点E，过点M作的画弧，交射线与点F，过点O作的画弧，交的垂线与点，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交于A，B两点，连接，即为所求，连接，交与点C，交与点D， 得到垂直平分， ，在中，， ， 在中，，， ， ； 故答案为：，，； 【点睛】本题考查圆的翻折，垂径定理，圆的切线，解直角三角形；熟练用垂径定理，在直角三角形中求边，分类讨论折叠的情况是解题的关键． 18. 已知：在四边形中，，，、分别是边、上点，且． （1）为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明_______；再证明______；即可得出，，之间的数量关系是______． （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_______． 【答案】（1），， （2）结论仍然成立，理由见解析 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段，，之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【小问1详解】 解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段，，之间的数量关系是， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①或或，理由如下： ，如图：在上截取，使，连接， ∵ ∴ 在与中， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点E在延长线上，点F在延长线上， 此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段，，之间的数量关系为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度锡林郭勒盟三县联考 八年级数学期末考试卷 考试分数：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1. 下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某中学在校内劳动基地开展了一堂特殊劳动课，计划九（1）班共采摘100千克蔬菜，在实际采摘之前将班级10名同学调往其他劳动区域，这样剩余同学实际平均每人需要采摘的重量是原计划全班学生平均每人需要采摘重量的倍，设九（1）班学生的人数为名，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图的三角板纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（ ） A 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，已知，，，下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为，那么下列说法不一定成立的是（ ） A. B. 和是全等三角形 C. D. 折叠后得到的图形是轴对称图形 8. 若关于的分式方程无解，则的值为（） A. 3 B. C. 1 D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9. 甲乙两人同时从某地出发，步行5千米来到游乐园，已知甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到15分钟，问甲乙两人每小时各走多少千米，若设甲每小时走x千米，则可列方程：_________． 10. 若，则__________． 11. 已知非0实数a，b，c满足．则___________． 12. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为____________． 三、解答题（共64分） 13. 化简： （1） （2） 14. 从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 15. 如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线． （1）仔细观察图形，容易发现点关于直线的对称点的坐标为，请在图中分别作出点，关于直线的对称点、的位置，并写出它们的坐标：______，______． （2）结合图形及以上三组点的坐标，我们发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为______．（不必证明） （3）已知两点，，试在直线上确定一点，使点到、两点的距离之和最小，画出图形并标出点的位置． 17. 如图①，一张半径为的圆形纸片，点O为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交于A，B两点． （1）如图②，若折叠后圆弧恰好经过点O，此时线段的长度为___________． （2）已知M是内一点，． ①若折叠后的圆弧经过点M，则线段长度的最大值是___________，最小值是___________； ②若折叠后的圆弧与直线相切于点M，请用无刻度的直尺与圆规在图③中画出折痕，此时线段的长度为___________． 18. 已知：在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． （1）为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明_______；再证明______；即可得出，，之间的数量关系是______． （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $