精品解析：山东省临沂市沂水县实验中学2025-2026学年九年级1月定时作业数学试题

九年级数学作业检测 一、单选题（每小题3分共36分） 1. 下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 这个函数的图象位于第一、第三象限 B. 这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 3. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 如果点在反比例函数的图象上，那么（ ） A. B. C. D. 5. 若反比例函数（k为常数，且）的图象经过点和点，则n的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 7. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 4 D. 16 8. 如图，直线，直线a，b与，，分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，，则的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 9. 已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，，，则（ ） A. B. C. 6 cm D. 10. 如图，坡比为的斜坡上两树间的水平距离为，则两树间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 11. 九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若米，则树高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、填空题（每小题3分共15分） 13. 若反比例函数的图象有一支位于第一象限，则k的取值范围是______． 14. 若，则___________． 15. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”连接）． 16. 在中，，，，则的面积是__________． 17. 如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为______  三、解答题（共69分） 18. 计算： （1）； （2） （3） 19. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 20. 小益在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定的物体，且．若图中人物竖直向下的拉力为F．当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小益记录了拉力的大小F与l的变化，如下表： 点A与点O的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 （1）小益通过分析表格数据发现，F是l的函数．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （2）根据以上数据和图象，直接写出F关于l的函数表达式（不要求写自变量l取值范围）．并判断当的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由； （3）已知横杆总长为，小益想用的拉力汲水，小益是否能成功？请说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似，且位似比为； （2）求四边形的面积． 22. 为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位．参考数据：） 23. 【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学作业检测 一、单选题（每小题3分共36分） 1. 下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解析式形如的函数叫做关于的反比例函数．根据反比例函数的定义即可得出答案． 【详解】解：A、不是反比例函数，该选项不符合题意； B、是反比例函数，该选项符合题意； C、不是反比例函数，该选项不符合题意； D、不是反比例函数，该选项不符合题意， 故选：B． 2. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 这个函数的图象位于第一、第三象限 B. 这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【详解】∵在函数中，k=4＞0， ∴其图象在一、三象限，且在每个象限y随x增大而减小，它的图象即是轴对称图形又是中心对称图形． ∴A、B、D选项正确，C选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质：当k＞0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小；当k＜0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大．反比例函数的图象即是轴对称图形又是中心对称图形． 3. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的图像与系数的关系，即可判断各选项是否正确． 【详解】解：∵与y轴的交点为（0，1） ∴可排除B、D选项； 当时，的图像y随x的增大而增大，不经过第四象限，在第一、三象限；C符合； 当时，的图像y随x的增大而减小，不经过第三象限，的图像在第二、四象限，无选项符合； 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，分类讨论是本题的解题关键． 4. 如果点在反比例函数的图象上，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 通过直接计算各点的纵坐标值，比较大小即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， ∴，即， 故选 C． 5. 若反比例函数（k为常数，且）的图象经过点和点，则n的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标． 利用反比例函数图象上点的坐标满足函数关系式，先由点A求出k，再代入点B求n． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴． 故选：C． 6. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 7. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 4 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，解题的关键是掌握位似图形的相似比与面积比的关系． 先根据位似图形的对应边之比等于位似比，得出两个三角形的相似比，再利用相似图形的面积比等于相似比的平方，计算的面积． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， 与的相似比为， 根据相似图形的面积比等于相似比的平方，得：， 已知，代入上式：， 解得：． 故选：D． 8. 如图，直线，直线a，b与，，分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，，则的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 利用平行线分线段成比例定理，得，再代入数值求出的长，即可作答． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 9. 已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，，，则（ ） A. B. C. 6 cm D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段．根据题意可得，然后代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，线段，，，是成比例线段，且，，， 则有，即， 解得． 故选：B． 10. 如图，坡比为的斜坡上两树间的水平距离为，则两树间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了坡度问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：（坡度）＝垂直高度∶水平宽度． 利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离． 【详解】解：∵坡比为的斜坡上两树间的水平距离为， ∴． ∴． 故选C. 11. 九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；因此此题可根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 12. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若米，则树高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，设米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据，列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，，， ∴（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， ∴米． 故选：C． 二、填空题（每小题3分共15分） 13. 若反比例函数的图象有一支位于第一象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据反比例函数的图象性质得到，解出不等式即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第一象限， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，根据比例关系，设参数表示变量，再代入求值即可． 【详解】解：设， 则，， 所以． 故答案为：． 15. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先根据反比例函数中，判断函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得解． 【详解】解：对于反比例函数， ， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ，， 点位于第二象限，点位于第四象限， ，， ． 故答案为：． 16. 在中，，，，则的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过作交于，再依次求出、、即可． 【详解】过作交于， ∵，， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是通过作垂直构造直角三角形． 17. 如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为______  【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特点，矩形的性质，正方形的性质，理解反比例函数图像上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质和正方形的性质是解决问题的关键． 根据点的坐标为及矩形的性质得，，再根据正方形的性质设，则，进而得点，然后根据点，均在反比例函数的图像上，得，由此解出，进而可得点的坐标． 【详解】解：点，四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴设， ∴， ∴点， ∵点，均在反比例函数的图像上， ∴， ∴， 解得：，不合题意，舍去， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（共69分） 18. 计算： （1）； （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值、实数的运算法则．对实数的运算法则的掌握及特殊角三角函数值的记忆是解题的关键． （1）分别把各特殊角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算； （2）分别把各特殊角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算； （3）计算零次幂、绝对值，把特殊角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 19. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率， （1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解 【小问1详解】 解：共有四个开关，，，， 当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮， ∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是； 【小问2详解】 解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示， 共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种， ∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是． 20. 小益在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定的物体，且．若图中人物竖直向下的拉力为F．当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小益记录了拉力的大小F与l的变化，如下表： 点A与点O的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 （1）小益通过分析表格数据发现，F是l的函数．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （2）根据以上数据和图象，直接写出F关于l的函数表达式（不要求写自变量l取值范围）．并判断当的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由； （3）已知横杆总长为，小益想用的拉力汲水，小益是否能成功？请说明理由． 【答案】（1） 解：根据表格，可得函数图象如图所示： ； （2），当的长增大时，拉力是减小， 根据图象可得是的反比例函数， 设反比例函数解析式为 ， 把代入可得， 所以解析式为， 当的长增大时，拉力是减小．理由如下： ， ， ， 在第一象限内，随的增大而减小， 即当的长增大时，拉力是减小； （3） 解：小益能成功，理由如下： 由题意得， 的最大长度为， 当时，， 用的拉力， ， 小益能成功． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）将表格中的数值在平面直角坐标系中描出各点，将所描出的点用平滑的曲线连接起来就得到这个函数的图象； （2）根据反比例函数的性质即可得到答案； （3）依据题意得，，代入函数表达式，得，由于，故可判断得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似，且位似比为； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，平面直角坐标系内三角形面积的求法， （1）根据相似比的以及点的坐标即可求得； （2）根据位似的性质可得到的坐标，利用割补法即可求得四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∵与位似，且位似比为； 则， ∴． ． 22. 为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位．参考数据：） 【答案】28分钟 【解析】 【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，分别在Rt△ABD与Rt△BCD中，利用三角函数的性质，即可求得BC的长，继而求得答案． 【详解】解：过点B作BD⊥AC于D，由图可知， 作于（如图）， 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴（分钟） 答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 23. 【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，跨学科物理学知识，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案； （2）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： ，， ， ， ， ，，， ，解得； （2）如图所示： ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $