精品解析：江西省九江市匡庐星瀚高级中学2025-2026学年高一上学期第四次月考数学试题

九江市匡庐星瀚高级中学第四次月考 高一数学试卷 考试时长：120分钟 满分：150分 命题人：余小燕 审题人：教科室 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 将集合用列举法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的表示方法求解. 【详解】因为，且， 所以符合要求的的所有取值为， 所以集合用列举法表示是. 故选：C. 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特称量词的命题的否定可求解. 【详解】命题的否定为. 故选：D. 3. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下列随机数表，从20个体中选取5个体.选取方法：从随机数表的第1行第5列开始，从左至右依次选取两个数字(作为个体编号)，那选出来的第5个个体编号是（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 0807 3623 4869 6938 7481 A. 08 B. 07 C. 02 D. 01 【答案】D 【解析】 【分析】由简单随机抽样原则逐个找出即可. 【详解】由题第一个编号为65，不符合条件；第二个编号是72，不符合条件；以此类推，则选出的第一个编号为08，第二个为02，第三个为14，第四个为07，下一个为02，重复，第五个为01， 故选：D 4. 下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数、幂函数、对数函数及一次函数的性质即可判断. 【详解】根据题意，四个函数分别对应指数函数、对数函数、幂函数和一次函数，且都是增函数， 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数的函数值的增长速度最快． 故选：A． 5. 下列函数中不能用二分法求零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析各个选项的函数是否有零点，零点两侧符号是否相反即可得解. 【详解】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故A能用二分法求零点； 对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故B能用二分法求零点； 对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的， 故C不能用二分法求零点； 对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故D能用二分法求零点. 故选：C. 6. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：因为函数， 令，解得或， 所以函数的定义域为， 又t在上递增，在上递增， 由复合函数的单调性知：的单调增区间为， 故选：C 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的定义域，结合幂函数和指数函数的增长速度的不同可得时，，证明时，，由此判断正确选项. 【详解】函数的定义域为， 当时，，，所以， 当时，，， 随的增大，的增长速度会越来越快，会超过并远远大于大于的增长速度， 故当时，. 由于ABD不满足以上条件，故函数的图象大致为C. 故选：C. 8. 设，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】指数式化为对数式，然后利用对数换底公式进行计算. 【详解】因为，所以， . 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式性质、结合幂函数单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，，得，而，则，B错误； 对于C，函数在上单调递增，，则，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 10. 某市场监管局从所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了检查，则（　　） A. 该市场监管局的调查方法是全面调查 B. 样本容量是超市的20种冷冻饮品 C. 总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量 D. 样本的个体是抽取的20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量 【答案】CD 【解析】 【分析】根据随机抽样概念求解即可. 【详解】该市场监管局的调查方法是抽样调查，故A错误； 样本容量是20，故B错误； 总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量，故C正确； 样本的个体是抽取的20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量，故D正确. 故选：CD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数的定义域为，则的定义域为 C. 函数的值域为 D. 若方程有两个根，其中一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据根式运算以及函数定义域求解，可得其正误；对于B，根据函数定义域的定义以及不等式性质，可得其正误；对于C，根据函数定义域与单调性的求解，可得其正误；对于D，根据二次函数的性质，分类建立不等式组，可得其正误. 【详解】对于A，因为与的定义域都为，解析式相同，故A正确； 对于B，由的定义域为，则，所以的定义域为，故B正确； 对于C，由函数知，且为增函数，所以，值域为，故C正确； 令，由题意则或，即或， 解得，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 计算：___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数运算及根式运算求解. 【详解】. 故答案为： 13. 若是幂函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的系数为，常数项为，即可得，代入计算即可求得结果. 【详解】根据幂函数定义可知，所以， 所以. 故答案为： 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性求解析式即可． 【详解】当时，，且是定义在上的偶函数， ， 故，， 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设全集，，，求，. 【答案】; 【解析】 【分析】首先，根据全集和给定的集合A、B，利用集合的补集、交集的定义和性质来逐步求解各个问题. 【详解】，，则或， 则,. 16. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? （3）若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 【答案】（1） （2） （3）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从考核成绩在的市民中抽取（人）． 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的学生人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 17. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过20万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过20万元时，若超出万元，则超出部分按进行奖励，记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）. （1）写出奖金关于销售利润的关系式； （2）如果业务员老江获得10万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分段函数模型写出解析式即可得出奖金关于销售利润的关系式； （2）显然销售利润大于20万元，解对数方程可得销售利润是多少万元. 【小问1详解】 根据题意可知，当销售利润时，； 当时，； 所以可得奖金关于销售利润的关系式为； 【小问2详解】 易知当时，奖金不可能为10万元， 所以令，即，解得； 即业务员老江的销售利润是多少万元. 18. 已知函数 （1）若函数在单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数在区间内恰有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）按照和讨论求解，当时，求出的对称轴为，由在单调递增，得到，从而得到的取值范围， （2）按照和讨论求解，当时，按照和讨论求解，当时，由函数在区间内恰有一个零点，得到，从而实数a的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，，满足函数在单调递增，则符合题意； 当时，的对称轴为， 在单调递增，，， ， 综上可知，若函数在单调递增，则实数a的取值范围为； 【小问2详解】 ， 当时，，，，故符合题意； 当时，， 当时，即，解得， 此时的解为，，故符合题意； 当时，即，解得， 若函数在区间内恰有一个零点， 则，解得或， 当时，的解为或，符合题意； 当时，的解为或，符合题意； 综上可知，若函数在区间内恰有一个零点， 则实数a的取值范围为或. 19. 已知函数，； （1）解不等式：； （2）求证：为定值； （3）若满足，满足，求的值. 【答案】（1）不等式的解集为 （2）证明: 因为，则， 可得， 所以为定值. （3）9 【解析】 【分析】(1)根据对数运算法则化简不等式，再通过换元法求解； (2)可得，代入结合指数幂运算化简证明其为定值； (3) 令，则原方程组可化为和，通过构造函数，利用函数的单调性求解的值. 【小问1详解】 因为， 可得，， 则不等式可化为， 令， 则不等式变为，即，解得或， 当时，；当时，； 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为满足，即， 且满足，即， 令，则原方程组可化为和， 且可化为， 设， 因为在定义域内单调递增，可知在定义域内单调递增， 原题意等价于，则，即， 可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市匡庐星瀚高级中学第四次月考 高一数学试卷 考试时长：120分钟 满分：150分 命题人：余小燕 审题人：教科室 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 将集合用列举法表示是（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下列随机数表，从20个体中选取5个体.选取方法：从随机数表的第1行第5列开始，从左至右依次选取两个数字(作为个体编号)，那选出来的第5个个体编号是（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 0807 3623 4869 6938 7481 A. 08 B. 07 C. 02 D. 01 4. 下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中不能用二分法求零点的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 设，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 某市场监管局从所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了检查，则（　　） A. 该市场监管局的调查方法是全面调查 B. 样本容量是超市的20种冷冻饮品 C. 总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量 D. 样本的个体是抽取的20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量 11. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数的定义域为，则的定义域为 C. 函数的值域为 D. 若方程有两个根，其中一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 计算：___________. 13. 若是幂函数，则______． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设全集，，，求，. 16. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? （3）若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 17. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过20万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过20万元时，若超出万元，则超出部分按进行奖励，记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）. （1）写出奖金关于销售利润的关系式； （2）如果业务员老江获得10万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 18. 已知函数 （1）若函数在单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数在区间内恰有一个零点，求实数a的取值范围. 19. 已知函数，； （1）解不等式：； （2）求证：为定值； （3）若满足，满足，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $