黑龙江省绥化市绥棱县绥棱林业局中学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 绝密★启用前 2025—2026学年度第一学期九年级数学质量检测 题号 一 二 三 总分 得分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(     ) A. B. C. D. 2.下列几何体都是由个棱长为的正方体组成，其中俯视图与其他三个不同的是(     ) A. B. C. D. 3.如图，已知锐角，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接，分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，，连接，根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是(     ) A. B. 若，则 C. D. 4.一个不透明的口袋中装有个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入个红球，它们除颜色外都相同从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为(     ) A. B. C. D. 6.如图，在正方形中，，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为(     ) A. B. C. D. 7.用配方法将方程转化为的形式，则的值为(     ) A. B. C. D. 8.如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则：等于(     ) A. ： B. ： C. ： D. ： 9.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，过点作于，点的横坐标为有以下结论： 线段的长为； 点的坐标为； 当时，一次函数的值大于反比例函数的值； ：：． 其中结论正确的个数是(     ) A. B. C. D. 10.竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为，其图象如图所示，若小球发射后第秒与第秒时的高度相等，则下列时刻中小球达到最高度的是(     ) A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒 11.做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是(     ) A. 随机事件 B. 必然事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 12.已知二次函数的最小值为，则一元二次方程的根的情况是(     ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.中华优秀传统文化是中华民族的根和魂某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，慧慧同学制作了一把扇形纸扇如图已知，，纸扇完全打开后，外侧两竹条竹条宽度忽略不计的夹角，现需在扇面一面绘制山水画，则山水画所在纸面的面积        结果保留 14.如图，已知菱形的对角线、的长分别为、，于点，则的长是______． 15.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里约有        个红球． 16.如图，和是位似图形，点是位似中心，且若点的坐标为，则点的坐标为      ． 三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数且，根据此定义解决下列问题： 一元二次方程的倒方程是______； 若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； 若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 18.本小题分 某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况每人选报一个项目，小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： 本次抽样调查的总人数为______，请将图形补充完整． 扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为______若该学校共有学生名，请估计参加“游泳”的有多少人？ 通过初选有名优秀同学两男两女顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐名同学到市上参加新一轮比赛请用画树状图或列表法求出到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率． 19.解方程本小题分 ； ． 20.本小题分 如图，在矩形中，连接，分别以点，为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点，，交于点，连接，． 求证：四边形为菱形； 若，，求四边形的面积． 21.本小题分 观察如下四个图形，并根据图中规律回答相关问题，在图中，，是中边的二等分点，图中、是边的三等分点，图中、、是边的四等分点，图中、、、是边的五等分点，过各等分点的线段分别与底边平行设的面积为，过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为：，，，由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得： 当是边的二等分点：______； 当、是边的三等分点：______； 当、、是边的四等分点：______； 按照以上规律，解决下列问题： 写出第个等式：______． 从，，中，任选一个，写出求解过程． 请你猜想出的结果用含的式子表示． 22.本小题分 雪假期间，学苑社区为学生们开设了冰雪体验营甲、乙两名同学需要通过抽签从个不同的体验项目中选择一个参加抽签规则如下：在张相同的卡片上分别标注字母、、对应三个项目：制作冰灯，：雪地露营，：冰雪摄影，甲同学先随机抽取一张卡片，记录后放回，乙同学再随机抽取请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求甲、乙两名同学抽中同一项目的概率． 23.本小题分 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线是常数经过点，点在抛物线上，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，点在轴上，纵坐标为当点和点的纵坐标不相等时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连结、、． 该抛物线对应的函数表达式为______； 证明：； 若点在对称轴左侧，当直线与抛物线是常数有两个交点时，设这两个交点分别为、点在点左侧． 请直接写出点、点的坐标用含的代数式表示； 点在线段上，当此抛物线在内部包括边的点的纵坐标最大值与最小值的差为时，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D.该图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意． 故选：． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可． 本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，熟知中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：选项B、、的几何体的俯视图相同，底层均为三个正方形，上层的中间是一个正方形； 选项A的俯视图的底层中间是一个正方形，上层是三个正方形． 故选：． 根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图． 3.【答案】  【解析】解：连接，， 由作法得， ，所以A正确； ， 当时，为等边三角形， ， ，所以B正确； ， ， ，所以C正确； ， ，所以D错误． 故选：． 连接，，由作法得，则根据圆周角、弧、弦的关系可对进行判断；当时，为等边三角形，则，于是根据圆周角、弧、弦的关系可对进行判断；根据圆周角定理直接对进行判断；根据两点之间线段最短可对进行判断． 本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理． 4.【答案】  【解析】解：由题意知，袋中球的总个数约为个， 所以袋中白球的个数， 故选：． 由题意知，袋中球的总个数约为个，继而可得答案． 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5.【答案】  【解析】证明：四边形是矩形， ， ，， 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， ， 四边形的周长， 故选：． 由矩形的性质可得，通过证明四边形是菱形，即可求解． 本题考查了菱形的判定和性质，矩形的矩形，证明四边形是菱形是本题的关键， 6.【答案】  【解析】解：四边形为正方形，，， ，， ， ， ≌， ， ， ， 点为的中点， ． 故选：． 根据正方形的性质可得，，进而运用勾股定理得到，再证明≌得到，然后说明，最后根据直角三角形的性质即可解答． 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识进行求解是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ，， ， 故选：． 本题考查了利用配方法解一元二次方程，求代数式的值，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，比较系数求出和，再计算的值即可． 本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形，点是边的中点， ，，， ∽， ：：， ， 故选：． 先利用平行四边形的性质证明∽，再列出比例式求解即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 9.【答案】  【解析】解：分析结论：点横坐标为，代入得，代入得，故AB，结论错误； 分析结论：联立与，解得，故C，结论正确； 分析结论：由函数图象，当时，的图象在上方，即一次函数值大于反比例函数值，结论正确； 分析结论：，，则，，，故BE：：：，结论错误． 故选：． 结合函数解析式求出点的坐标，然后分别分析各结论即可 本题考查了一次函数与反比例函数的交点，函数值比较及线段长度计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：由小球发射后第秒与第秒时的高度相等， 可得抛物线的对称轴为直线， 即当秒时小球达到最高高度． 故选：． 根据“小球发射后第秒与第秒时的高度相等”求出抛物线的对称轴，即可得到结果． 本题考查了通过函数图象获取信息，抛物线对称轴，本题的关键是熟练掌握二次函数的对称性解题． 11.【答案】  【解析】解：做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势可能发生，也可能不发生， 那么这个事件是随机事件， 故选：． 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，据此进行判断即可． 本题考查随机事件，熟练掌握其定义是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：二次函数有最小值， ， ， ， ， ， 一元二次方程没有实数根， 故选：． 根据二次函数有最小值，可得，再根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况即可． 本题考查了抛物线与轴的交点问题，关键是掌握函数有最小值时． 13.【答案】  【解析】解：，，纸扇完全打开后，外侧两竹条竹条宽度忽略不计的夹角， ，， 山水画所在纸面的面积为：， 故答案为：． 将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 14.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分． 根据菱形的性质得出、的长，在中求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，可得出的长度． 【解答】 解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：根据题意，可估计摸出红球的概率为， 可估计袋子里约有个． 故答案为：． 利用频率估计概率，可估计摸出红球的概率为，用总球的个数乘以红球的概率估计值即可得出答案． 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 16.【答案】  【解析】解：和是位似图形，点是位似中心，且， ∽，且相似比为：， 点的坐标为， 点的坐标为，即， 故答案为：． 根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 17.【答案】；   ；   ．  【解析】解：方程的倒方程是：； 故答案为：； 由条件可倒方程为， 把代入方程， 得， ； 由题意得：方程的倒方程为， 是方程的一个实数根， ， ． 故答案为：． 根据新定义的含义可得答案； 根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； 根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质进一步解答即可． 此题考查了新定义倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． 18.【答案】； 补充条形统计图如图所示． ； 人． 参加“游泳”的人数大约为人． 将两名男生分别记为，，两名女生分别记为， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果有：，，，，，，，，共种， 到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率为．  【解析】解：本次抽样调查的总人数为人． 故答案为：． 参加排球项目的学生人数为人． 补充条形统计图如图所示． 扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为． 故答案为：． 人． 参加“游泳”的人数大约为人． 将两名男生分别记为，，两名女生分别记为， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果有：，，，，，，，，共种， 到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率为． 用参加足球的学生人数除以其所占的百分比可得本次抽样调查的总人数；用本次抽样调查的总人数分别减去参加篮球、足球、游泳的学生人数，可求出参加排球的学生人数，补全条形统计图即可． 用乘以本次抽样调查中参加排球的学生所占的百分比，即可求出扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数；根据用样本估计总体，用乘以扇形统计图中“游泳”对应的百分比，即可得出答案． 画树状图得出所有等可能的结果数以及到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 19.【答案】，  ，  【解析】解：， ， ，； ， ， ， ， ， ，． 利用因式分解法解方程即可； 配方法解方程即可； 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 20.【答案】由作图过程可知：直线是线段的垂直平分线， ，， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形；    【解析】证明：由作图过程可知：直线是线段的垂直平分线， ，， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 解：设， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，，根据勾股定理得，， ， 解得， ， 菱形的面积． 由作图可知直线是线段的垂直平分线，则，，利用矩形性质得，证明≌，则有，先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形即可； 设，则，利用勾股定理列方程求解后代入菱形面积公式即可． 本题考查了尺规作图，菱形的判定，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21.【答案】  ；；   【解析】解：过五等分点的线段与底边平行，， ，， 即：； 故答案为：； 过二等分点的线段与底边平行，， ，， 即：； 过三等分点的线段与底边平行，， ，， 即：； 过四等分点的线段与底边平行，， ，， 即：； 、、、是边的等分点，过各等分点的线段分别与底边平行， 则各三角形的相似比为：：：：：， 面积比为：：：：：， ． 、、根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得； 根据平行可得两三角形相似，则可得三角形面积的关系； 根据前几问的结论寻找规律即可得到结论． 本题考查了相似三角形的性质与判定，关键是相似三角形的面积比等于相似比的平方． 22.【答案】．  【解析】解：甲从标注字母、、的三张卡片随机抽取一张卡片，记录后放回，乙同学再随机抽取一张，所有都可能出现的结果如下： 共有种等可能出现的结果，其中甲、乙两名同学抽中同一项目的有种， 所以甲、乙两名同学抽中同一项目的概率为． 用树状图表示甲从标注字母、、的三张卡片随机抽取一张卡片，记录后放回，乙同学再随机抽取一张，所有都可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 本题考查列表法或树状图法，列举出甲从标注字母、、的三张卡片随机抽取一张卡片，记录后放回，乙同学再随机抽取一张，所有都可能出现的结果是正确解答的关键． 23.【答案】  证明：如下图， 点关于点的对称点，点关于点的对称点， ，， 为的中位线．   ，；或  【解析】解：抛物线是常数经过点， 把代入得， 解得：， 该抛物线对应的函数表达式为； 故答案为：； 证明：如下图， 点关于点的对称点，点关于点的对称点， ，， 为的中位线． ； 解：如下图， 点在抛物线上，横坐标为， ， 点在轴上，纵坐标为， ， 点关于点的对称点，即点为线段中点， 设点坐标为， ， 解得：， ； 由题意可得，，， 同理，得， 当在上方时，如图， 则， 化简得， 解得舍去，． 当在下方时，如下图， 则， 化简得时， 解得舍去，； 综上所述，或． 把代入求出，即可解决； 由题意得出为的中位线，利用三角形中位线定理即可证明； 先求出，，根据点为线段中点求出点坐标； 先求出，再分两种情况：当在上方时，或当在下方时，分别计算求出即可． 本题考查的是二次函数综合题，重点考查待定系数法求表达式及二次函数的图象与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $