精品解析：黑龙江省鸡西市第一中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

鸡西市第一中学2025—2026学年度第一学期高一学年期末考试 数学学科试卷 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.本试卷分第I卷和第II卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡指定位置上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若方程有四个不等的实根，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到哈尔滨赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各种冰上项目，如大滑梯､摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面的高度为，最低点离地面的高度为，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周的时间约为.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面高度为与的关系可以用如下解析式体现：，则下列说法正确的是（ ） A. 摩天轮的轮盘直径为 B. 关于的函数解析式为 C. 关于的函数解析式为 D. 游客乘坐摩天轮一周的过程中，有离地面高度超过 11. 已知在区间上恰有三个零点，则下列命题正确的有（ ） A. 取值范围是 B. 在恰有四条对称轴 C. 在恰有两个最高点 D. 在单调递增 第II卷 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角，半径为4，则该扇形的面积为______________． 13. 若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为__________. 14. 已知对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算： （2）已知第二象限角，求： ①； ②. 16. 已知函数. （1）求的图象的对称轴､单调递增区间； （2）当时，求值域. 17. 2025年成都运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元.若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. （1）当购进产品数量为25万件时，利润是多少？（利润=销售收入-成本） （2）写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润多少？ 18. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）函数的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值； （3）函数，若对于任意，当时，都有成立，求实数的最大值. 19. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围； （3）若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鸡西市第一中学2025—2026学年度第一学期高一学年期末考试 数学学科试卷 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.本试卷分第I卷和第II卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡指定位置上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接进行三角函数求值． 【详解】， 故选：C 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意. 故选：C 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的单调性，再计算，根据零点存在性定理确定零点存在的区间即可. 【详解】因为函数，在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又，， ，，， 所以函数的零点所在的区间是 故选：D 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将函数中的与正切函数的无意义点进行关联，列出关于不等式求解即可. 【详解】由，可得． 所以函数的定义域为. 故选：A. 5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意，为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，故选D. 【考点】三角函数图象的平移 【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数的图象平移变换中要注意“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得的图象，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，再向左平移个单位得的图象． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合已知条件，利用二倍角公式可求得，再根据诱导公式计算即可. 【详解】由题意，因为，所以， 所以. 故选：A 7. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】引入中间量，利用函数的单调性，可得的大小关系. 【详解】因为在上单调递增，所以，即； 因为在上单调递增，所以，即； 因为在上单调递增，所以，即. 综上. 故选：B 8. 函数，若方程有四个不等的实根，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图象，根据正弦函数的性质结合图象分析即可得解. 【详解】当时，，则， 易得在上单调递减，且， 当时，，则， 易得在上单调递增，且，即， 当时，， 则由正弦函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 且，，，，， 从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示， 因为方程有四个不等的实根，所以与的图象有四个交点， 所以，， 所以，则，由正弦函数的性质结合图象可知与关于对称， 所以，， 而，所以， 又因，可得， 而，， 所以. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】运用正弦、余弦、正切的二倍角公式进行求解即可. 【详解】因为，所以选项A不符合题意； 因为，所以选项B符合题意； 因为，所以选项C符合题意； 因为，所以选项D不符合题意， 故选：BC 10. 随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到哈尔滨赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各种冰上项目，如大滑梯､摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面的高度为，最低点离地面的高度为，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周的时间约为.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面高度为与的关系可以用如下解析式体现：，则下列说法正确的是（ ） A. 摩天轮的轮盘直径为 B. 关于的函数解析式为 C. 关于的函数解析式为 D. 游客乘坐摩天轮一周的过程中，有离地面高度超过 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知及正弦型函数的性质求中的参数判断A、B、C，再解正弦不等式求离地面高度超过的时间范围判断D. 【详解】对于A，因为摩天轮最高点离地面的高度为130m，最低点离地面的高度为10m， 所以摩天轮的轮盘直径为，故A正确； 对于B、C，因为，则， 令，则，由，解得， 所以，故B正确，C错误； 对于D，， 当离地面的高度超过40m时，即，则， 即，解得，又， 所以，所以游客有16min时间离地面的高度超过40m，故D正确. 故选：ABD 11. 已知在区间上恰有三个零点，则下列命题正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 在恰有四条对称轴 C. 在恰有两个最高点 D. 在单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】先化简，利用换元法结合正弦函数图像可判断ABC三个选项，通过A中的的取值范围结合正弦型函数的单调性判断D选项. 【详解】， 对于A，在区间上恰有三个零点，故， 如图可得，解得，故A正确； 对于BC，由图知在存在两个最高点，有三个或者四个对称轴，故B错误，C正确； 对于D：令，得递增区间为, 当时增区间为，由A知，故， 故在不一定单调递增，故D错误. 故选：AC. 第II卷 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角，半径为4，则该扇形的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】圆心角转换为弧度制，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】因为，所以扇形面积. 故答案为：. 13. 若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数的定义和复合函数的单调性，即可得出结果. 【详解】令，则，因为在定义域内是单调递减函数， 故在区间上也必为单调递减函数，根据二次函数易知对称轴才能得到在区间上单调递增， 又在上要恒大于零， 则有，解得． 故答案为： 14. 已知对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先，根据已知条件，等价转化成恒成立，然后，换元法令，，设函数，对其对称轴进行讨论． 【详解】因为对任意实数，不等式恒成立，， 所以对任意恒成立． 令，，则在上恒成立． 令，此为二次函数的动轴定区间问题，分类讨论如下． ①当时，，得，所以； ②当时，，得，所以； ③当时，，得，不符合，舍去． 综上，． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算： （2）已知是第二象限角，求： ①； ②. 【答案】(1)6 ， (2) ①，，②． 【解析】 【分析】(1)由对数及指数幂运算进行求解； (2) ①由同角函数的基本关系求解；②由诱导公式及弦化切进行求解． 【详解】(1)原式． (2) ①由是第二象限角，得， 得， ②原式． 16. 已知函数. （1）求的图象的对称轴､单调递增区间； （2）当时，求的值域. 【答案】（1）函数的图象的对称轴为：，.单调增区间为：，. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合正弦函数的对称轴求解即得. （2）先由给定区间求出整体角的范围，结合正弦函数的单调性即可求得函数的值域. 【小问1详解】 因为. 由，，. 由，，. 所以函数的图象的对称轴为：，. 单调增区间：，. 【小问2详解】 因为. 根据的图象和性质可得：， 所以，即函数的值域为. 17. 2025年成都运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元.若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. （1）当购进产品数量为25万件时，利润是多少？（利润=销售收入-成本） （2）写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润多少？ 【答案】（1）450万元； （2）； （3）40万件，910万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用“利润销售收入成本”列式计算. （2）根据给定条件，按、、分段求出函数关系即可. （3）由（2）分段，结合函数单调性、二次函数及基本不等式求出最大值并比较大小即得. 【小问1详解】 依题意，当购进产品数量为25万件时，利润是万元. 【小问2详解】 当时，； 当时，不妨设降价元，则，， 因此； 当时，， 所以. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元， 而，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 18. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）函数的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值； （3）函数，若对于任意，当时，都有成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可得及周期，即可求得，再利用待定系数法求出即可； （2），令，由题意可得，再根据正弦函数的对称性求出即可得解； （3）先求出，令，由题意可得函数在上单调递增，再根据正弦函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 由图象可知则， 则， 又，所以， 所以， 又，所以， 所以的解析式为； 【小问2详解】 ，令， 由可得， 令， 由对称性可知，两式相加可得， ， 所以； 【小问3详解】 ， 令， 则 ， 因为对于任意，当时，都有成立， 所以对于任意，当时，都有成立， 即对于任意，当时，都有成立， 所以函数上单调递增， 由，得， 所以，解得， 所以的最大值为. 【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 19. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围； （3）若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义取特指解得，并代入检验； （2）根据题意整理可得对于任意实数x恒成立，结合指、对数函数性质分析判断； （3）根据题意整理可得，换元令，可知在内存在零点，结合二次函数性质分析求解. 【小问1详解】 因为，可知函数的定义域为， 若函数为偶函数，则， 即，可得，即， 此时， 则，即函数为偶函数， 所以. 【小问2详解】 因为，即， 可得， 即对于任意实数x恒成立， 因为，则，可得， 所以实数t的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）可知：， 若存在，使得成立， 即， 整理可得， 则， 令，当且仅当，即时，等号成立， 可得， 构建，可知在内存在零点， 因为的图象开口向上，对称轴为， 若，可知在内单调递增， 则，解得； 若，可知在内单调递减，在内单调递增， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $