精品解析：江西省南昌市第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

南昌一中2025-2026学年度上学期高三数学月考(一) 命题人：刘斌伟 考试时长：120分钟 试卷总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知实数a，b，c，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知两复数，，则（    ） A. B. C. D. 4. 已知定义域上的函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，，，则解的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 6. 已知，则（    ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（    ） A. B. C. D. 8. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为常数，则下列关于数列的说法正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 使得为等差数列 C. 为摆动数列 D. ，为递增数列 10. 等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（ ） A. B. C. D. 11. 已知平面向量满足，且的最小值为，则下列选项正确的是（    ） A. 的取值范围是 B. C. D. 在上的投影向量的模长最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数在复平面内对应的点为，则满足的复数为________ 13. ， 恒成立，则 ______． 14. 已知函数，在8行8列的矩阵中， （且），则这个矩阵中所有数之和为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设 ，曲线 在点 处的切线垂直于 轴. （1）求的值； （2）求函数 的极值. 16. 已知数列是等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 如图，在中，，，点在上，， . （1）求； （2）求. 18. 一个轴截面顶角为 的圆锥被某平面所截，得到如图所示的几何体， 为圆锥的顶点，截面为一个椭圆， 是椭圆长轴的两个端点， 是椭圆短轴的两个端点，椭圆的离心率为 ， 为线段 上一动点. （1）证明 平面 ； （2）若 为线段 上靠近 的四分之一点，求二面角 的余弦值. 19. 某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌一中2025-2026学年度上学期高三数学月考(一) 命题人：刘斌伟 考试时长：120分钟 试卷总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可对和分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果. 【详解】由可知或； 当时，即，此时，不能满足题意； 当时，解得或（舍）， 时，，满足题意， 故. 故选：D 2. 已知实数a，b，c，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，当时，无论，为何值，成立，此时无法判断，的大小，则充分条件不成立， 若，两边同乘以大于等于零的数，根据不等式的性质可知，则必要性成立， 故选：. 3. 已知两复数，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值和复数乘法运算直接求解即可. 【详解】，， . 故选：B. 4. 已知定义域上的函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的周期，利用周期函数的性质求解即可. 【详解】由，可得， 所以是周期为4的周期函数， 所以. 故选：B. 5. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，，，则解的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】 根据余弦定理求出，有两个值，由此可得答案. 【详解】在中，由余弦定理得， 所以，即， 解得或， 所以解的个数是2. 故选：C 【点睛】本题考查了利用余弦定理判断三角形的解得个数，属于基础题. 6. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知利用商数关系化弦为切求出，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由，得， 所以. 故选：D. 7. 已知，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求导确定其单调性，得到，再结合中间值即可求解. 【详解】由已知，， ， 令， 则， 即在时，单调递增， 则，即 所以， 故选：B. 8. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解. 【详解】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为常数，则下列关于数列的说法正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 使得为等差数列 C. 为摆动数列 D. ，为递增数列 【答案】BC 【解析】 【分析】当时可判断A；当时可判断B；根据数列的单调性可判断CD. 【详解】时，为常数列，是等差数列，但不是等比数列，故A错误； 时，，为常数列，是等差数列，故B正确； 时，为摆动数列；故C正确； 时，为递增数列，时， 为递减数列，时，为常数列，故D错误. 故选：BC 10. 等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积. 【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边， 所以所形成的几何体的表面积是. 如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1， 所以写成的几何体的表面积. 综上可知形成几何体的表面积是或. 故选：AB. 11. 已知平面向量满足，且的最小值为，则下列选项正确的是（    ） A. 的取值范围是 B. C. D. 在上的投影向量的模长最大值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，可由入手，利用的范围即可解决；对于B，由入手，可将看作关于的二次函数，根据在上有最小值的条件即可求出，进而求出；对于C，可利用三角形不等式求解即可判断；对于D，结合向量的几何意义可以判断. 【详解】对于A，因为 所以 即，即. 则，故A正确； 对于B，因为， 所以令，， 又因为的最小值为，所以， 所以，则， 因为，所以或，故B错误； 对于 C ，因为， 其中或 所以 或，故C错误； 对于 D ，设，且，分别为在上的投影向量， 当时，结合图形（图1）可知，当同向共线时，有最大值； 当时，结合图形（图2）可知，当反向共线时，有最大值； 而；故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数在复平面内对应的点为，则满足的复数为________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数的几何意义求得，从而得到，然后运用复数四则运算法则即可解得，最后求得. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为： 13. ， 恒成立，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式，化简函数，再根据函数的性质求，最后代入求的值. 【详解】，令，得，， 由 恒成立，可知，，， 则. 故答案为： 14. 已知函数，在8行8列的矩阵中， （且），则这个矩阵中所有数之和为________ 【答案】 【解析】 【详解】对任意的，有， 则对任意的：， 由排列组合知识可得，满足上述等式的共有对， 则对任意的：， 这样的有：对， 据此可得：这个矩阵中所有数之和为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设 ，曲线 在点 处的切线垂直于 轴. （1）求的值； （2）求函数 的极值. 【答案】（1）1 （2）极大值 ，无极小值. 【解析】 【分析】（1）由，即可求解； （2）由，确定单调区间即可求解. 【小问1详解】 ， 由题可知 ， ; 【小问2详解】 由 (1) 知， ， 当 时， 在单调递增， 当 时， 在单调递减， 故有极大值 ，无极小值. 16. 已知数列是等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及等比数列的通项公式求基本量，进而写出等比数列的通项公式； （2）应用分组求和及等差等比的前n项和公式求和. 【小问1详解】 由，得，， 因为是等比数列， 设的公比为，所以，得， 则，则； 【小问2详解】 记的前项和为，则 . 17. 如图，在中，，，点在上，， . （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和差余弦公式可求得，根据余弦定理可求得结果； （2）利用两角和差正弦公式可求得，采用面积桥，结合三角形面积公式可构造方程求得结果. 【小问1详解】 ，，， ， . 【小问2详解】 由（1）得：； ，， 即，解得：. 18. 一个轴截面顶角为 的圆锥被某平面所截，得到如图所示的几何体， 为圆锥的顶点，截面为一个椭圆， 是椭圆长轴的两个端点， 是椭圆短轴的两个端点，椭圆的离心率为 ， 为线段 上一动点. （1）证明 平面 ； （2）若 为线段 上靠近 的四分之一点，求二面角 的余弦值. 【答案】（1） 由题意， ，又 ， ， ， ， 又由题意设椭圆中心点为 ，离心率为 ， 即 ， 可得: ， ，， 又 平面 ， 平面 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理证明，再由勾股定理证明，由线面垂直的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，建立以 为原点， ， ，过 垂直于平面 的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系 . 则 ， ， . 设平面 的法向量为 ，则 ， 则令 为平面 的一个法向量. 同理设平面 的法向量为 ， 则 ，令 ， 为平面 的一个法向量. 由为线段 上靠近 的四分之一点，二面角 显然为钝角， 设二面角 为 ， 则 . 19. 某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 【答案】（1） （2）的分布列为： -3 1 5 9 数学期望为 （3），理由如下： 当时，为甲校友答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 所以， 因为，所以，即， 所以甲校友应选． 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望， （3）对和求解对应的概率，利用作差法比较大小即可求解. 【小问1详解】 设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”， 则，且两两互斥． 根据题意得，，，， 则， 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为． 【小问2详解】 的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $