精品解析：黑龙江省绥化市望奎县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末测试 初三数学试题 一、选择题（每小题3分，满分36分） 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ） A. 稳定性 B. 灵活性 C. 对称性 D. 全等性 4. 平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 5. 下列因式分解正确的一项是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，E为的中点，若，，长为（ ）cm． A. 6 B. 7 C. 12 D. 13 7. 若，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 10 8. 某校组织名学生去外地参观，现有两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆型客车比每辆型客车多坐人，单独选择型客车比单独选择型客车少租辆．设型客车每辆坐人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 45° 11. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 12. 已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、仔细想一想，用心填一填（每小题3分，满30分） 13. 计算：______． 14. 如果分式有意义，那么的取值范围是____． 15. 将一副三角尺按如图的方式拼摆，的度数为________． 16. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，若，则的度数为______． 17. 多项式分解因式的结果为________． 18. 如果关于的二次三项式是完全平方式，那么的值是______． 19. 若关于x的多项式展开后不含有x一次项，则实数k的值为________． 20. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是，则底角的度数是_______． 21. 若关于x的分式方程无解，则m的值是__________． 22. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书上，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”，请计算的展开式中从左起第三项的系数为__________． 三、解答题（满分54分） 23. 计算： （1） （2） （3）． 24. 解方程． （1） （2） 25. 先化简，再求值：，其中． 26. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移3个单位长度，得到，画出． （2）将沿着y轴翻折，得到，画出． （3）在x轴上求一点D，使的值最小． 27. 如图，在中，，，点D是的中点，点M在上，连接，以为边向右作等边三角形，连接，．求证： （1）． （2）． 28. 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘2000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘1100毫克所需的槐树叶的片数相同，求一片槐树叶一年的平均滞尘量． 29. 已知：在中，，点在上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为的中点，过点作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点，，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点分别作于点，于点，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末测试 初三数学试题 一、选择题（每小题3分，满分36分） 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A. 不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合， 即不满足轴对称图形的定义，不符合题意； B. 是轴对称图形，符合题意； C. 不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合， 即不满足轴对称图形的定义，不符合题意； D. 不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合， 即不满足轴对称图形的定义，不符合题意． 故选：B． 2. 袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示小于1的正数，一般形式为，其中，为正整数．熟练掌握其形式，确定的值是解题关键．确定的值时，根据把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解： ， 用科学记数法表示为． 故选：D． 3. 如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ） A. 稳定性 B. 灵活性 C. 对称性 D. 全等性 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，理解三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性,即得答案． 【详解】解：该做法利用了三角形的稳定性． 故选A． 4. 平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，直接利用关于y轴对称点的性质得出的值，进而得出答案，熟练掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解决此题的关键． 【详解】∵点与点关于y轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 5. 下列因式分解正确的一项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； B、符合因式分解的定义，且因式分解正确，故本选项符合题意； C、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； D、，原因式分解错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义及因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义，提公因式法、平方差公式和完全平方公式． 6. 如图，已知，E为的中点，若，，长为（ ）cm． A. 6 B. 7 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握平行线的性质、全等三角形的性质和判定是解题的关键．先根据平行线的性质得，利用全等三角形的判定方法证出，根据全等三角形对应边相等得，再结合即可解答． 【详解】解：， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 7. 若，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式得到，再由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， 则， ∴， 故选：B． 8. 某校组织名学生去外地参观，现有两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆型客车比每辆型客车多坐人，单独选择型客车比单独选择型客车少租辆．设型客车每辆坐人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型客车每辆坐人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设型客车每辆坐人， 由题意得，， 故选：． 9. 如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键． 过D作于E，根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵在中，，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即点D到的距离为， 故选：B． 10. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】连接AE．根据ASA可证△ADE≌△CBA，根据全等三角形的性质可得AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，根据等边三角形的判定可得△ACE是等边三角形，根据等腰三角形的判定可得△DCE是等腰三角形，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可求解． 【详解】如图所示，连接AE． ∵AB=DE，AD=BC ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，可得AE=DE ∵AB=AC，∠BAC=20°， ∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°， 在△ADE与△CBA中， ， ∴△ADE≌△CBA（ASA）， ∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°， ∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°， ∴△DCE是等腰三角形， ∴∠CDE=∠DCE， ∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°， ∴∠DCE=∠CDE=（180-40°）÷2=70°． 故选B． 【点睛】考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质，综合性较强，有一定的难度． 11. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，，        ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 12. 已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：D． 二、仔细想一想，用心填一填（每小题3分，满30分） 13. 计算：______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，零指数幂，有理数的加减混合运算．利用负整数指数幂，零指数幂计算即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 14. 如果分式有意义，那么的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件．根据“要使分式有意义，则分母不能为”，即可求解． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：， 故答案为：． 15. 将一副三角尺按如图的方式拼摆，的度数为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角板的知识，三角形的内角和定理， 根据题意可知，即可求出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 在中，． 故答案为：． 16. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了四边形的内角和以及折叠的性质，熟练掌握知识点并学会综合运用是解题得关键． 根据折叠的性质得，根据四边形的内角和，以及平角等于求解即可得出的度数． 【详解】解：， ∴在四边形中，， 又∵，， ． 故答案为． 17. 多项式分解因式的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 18. 如果关于的二次三项式是完全平方式，那么的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握：如果一个二次三项是完全平方式，则满足如下特征：两项符号相同且为平方形式，第三项为前面两项（在平方的形式下）的底数积的倍且符号不限．据此解答即可． 【详解】解：∵关于的二次三项式是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或， ∴的值是或． 19. 若关于x的多项式展开后不含有x一次项，则实数k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据展开后不含有一次项，即含一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式展开后不含有x一次项， ∴， ∴， 故答案为：2． 20. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是，则底角的度数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分等腰三角形的顶角是钝角或锐角两种情况，分别根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵，， ∴， ∴ ∴三角形的底角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴三角形的顶角为， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 21. 若关于x的分式方程无解，则m的值是__________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于x的分式方程无解，分最简公分母为0分式方程有增根和化简后的整式方程无解两种情况可求得m． 【详解】解： 去分母，得， ． ∵关于x的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， 当最简公分母， ， 当时，得， 综上m的值为1或， 故答案为：1或． 22. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书上，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”，请计算的展开式中从左起第三项的系数为__________． 【答案】28 【解析】 【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）10的展开式中第三项的系数． 【详解】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2； （a+b）4的第三项系数为6=1+2+3； （a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4； ∴（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1）， ∴第三项系数为1+2+3+…+7=28， 故答案为：28． 【点睛】本题考查数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 三、解答题（满分54分） 23. 计算： （1） （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，多项式乘以多项式，乘法公式，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可； （2）计算单项式乘以多项式即可； （3）先利用乘法公式展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 24. 解方程． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）（2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 25. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 26. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移3个单位长度，得到，画出． （2）将沿着y轴翻折，得到，画出． （3）在x轴上求一点D，使的值最小． 【答案】（1） 解：如图所示： （2） 解：如图所示： （3） 解：点D如图所示． 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，作轴对称图形，最短路径，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平移的性质，得点，再依次连接，即可作答． （2）根据将沿着y轴翻折，得出与关于y轴对称，据此找出点，再依次连接，即可作答． （3）先得出点关于x轴的对称点，再把与连接，与x轴的交点，即为点D，故，此时的值最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 27. 如图，在中，，，点D是的中点，点M在上，连接，以为边向右作等边三角形，连接，．求证： （1）． （2）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 即； （2） 证明：∵，， ∴为的垂直平分线，， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质； （1）由直角三角形的性质和D是的中点得到，再结合为等边三角形证明得到，即； （2）由，得到，为的垂直平分线，则，再由，得到． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 28. 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘2000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘1100毫克所需的槐树叶的片数相同，求一片槐树叶一年的平均滞尘量． 【答案】一片槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克 【解析】 【分析】设一片槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶的一年的平均滞尘量为毫克，然后根据一年滞尘2000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘1100毫克所需的槐树叶的片数相同列出方程求解即可． 【详解】解：设一片槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶的一年的平均滞尘量为毫克， 由题意得：， 解得， 经检验是原方程的解， ∴一片槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克， 答：一片槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于能够正确理解题意找到等量关系列出方程求解． 29. 已知：在中，，点在上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为的中点，过点作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点，，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点分别作于点，于点，若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图1， 设，则，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图2，过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）设，根据题意用表示出，根据三角形内角和定理求出，结合图形证明； （2）过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R，证明，得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论； （3）连接，证明，得到，求出AG，根据三角形的面积公式求出，得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，连接， 在△AFG和△AFH中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $