4.1.3 三角形的高、中线与角平分线 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦三角形的高、中线与角平分线，通过“平分三角形地面积”的生活问题导入，以动点D的不同位置引出三种线段，搭建从实际问题到概念学习的支架，帮助学生理解概念形成脉络。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过操作归纳发展数学思维，用数学语言精准表述性质。随堂练习结合面积计算、重心确定等实例，课堂小结用表格系统对比三种线段，助力学生构建知识体系，提升应用意识，也为教师提供清晰的教学思路。

4.1 认识三角形 第3课时 三角形的高、中线与角平分线 1.认识三角形的中线、高线、角平分线的概念并掌握其性质. 2.能用工具准确画出三角形的中线、高线、角平分线. 3.能根据三角形中线、高线、角平分线的性质解决相关问题. 学习目标 有一块三角形的地，小明的爸爸想种花草，妈妈想种菜，于是想平分三角形的面积，一块种花草，一块种蔬菜，聪明的你能帮他们家把这块地分成面积相等的两部分吗? 该怎样分呢？ 新课引入 以上问题学生回答言之有理即可 B C A D1 D2 D3 当移动到点D1时，AD1⊥BC； 当移动到点D2时，∠BAD2＝∠CAD2； 当移动到点D3时，BD3＝CD3. 动手画一画，观察点D在不同的位置，你有什么发现？ 如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置. 说说你的想法，并与同伴进行交流. ＝ ＝ 新知学习 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 归纳总结 数学语言：因为AF⊥BC， 所以AF是△ABC的高. 反之，因为AF是△ABC的高， 所以AF⊥BC. ∟ A F C B 注意：在作三角形的高时，一定要标明垂直符号和垂足的字母，若在某个角中未标明垂直符号，即条件默认不垂直. 新知学习 定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 归纳总结 数学语言：因为∠1＝∠2， 所以AD为△ABC的角平分线. B C 1 2 D A 反之，因为AD为△ABC的角平分线， 所以∠1＝∠2＝ ∠BAC. 注意：三角形的角平分线与角的平分线有所不同，前者是线段，后者是射线. 新知学习 定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线. 归纳总结 A B C E 反之，因为AE是△ABC的BC的中线， 所以BE＝CE＝ BC. 数学语言：因为BE＝CE， 所以AE是△ABC的BC边上的中线. 新知学习 思考1 如图，在 △ABC 中，AE 是△ABC 的中线，AD是△ABC 的高． 试判断△ABE和△ACE 的面积有什么关系，为什么？ B C E D A 思考2 通过这个问题你能得到什么结论？ 三角形的中线能等分三角形的面积. 因为AE 是△ABC 的中线，所以BE＝CE. 因为 相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 新知学习 问题解决 前面提到，有一块三角形的地，小明的爸爸想种花草，妈妈想种菜，于是想平分三角形的面积，一块种花草，一块种蔬菜，聪明的你能帮他们家把这块地分成面积相等的两部分吗? 作三角形菜地任意一条边的中线便可把菜地面积平分. 新知学习 (1)在纸上画一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流. A B C F D E 锐角三角形有三条中线，且相交于三角形内一点. 操作·交流 新知学习 (2)钝角三角形和直角三角形的中线也有同样的位置关系吗？画一画，折一折，并与同伴进行交流. 钝角三角形和直角三角形有三条中线，且相交于三角形内一点. A B C A B C 新知学习 (3)如图，用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，怎样确定这个点的位置呢？ 支点需要在三角形纸片质量分布的重心处. 三角形的三条中线交于一点. 这一点我们称为三角形的重心. 新知学习 请你探究三角形的三条角平分线是否交于一点. 三角形的三条高呢? 你是怎么做的? 与同伴进行交流. 思考·交流 准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个，分别画出三角形的三条角平分线. 新知学习 A B C A B C A B C 锐角三角形的角平分线 直角三角形的角平分线 钝角三角形的角平分线 三角形的三条角平分线交于一点. 拓展：这一点我们称为三角形的内心. 归纳总结 新知学习 准备一个锐角三角形卡片，作出三角形的3条高. 锐角三角形的三条高相交于三角形内一点. A B C 注意：画高要标明垂直符号. 新知学习 再准备一个直角三角形和钝角三角形的卡片，分别作出三角形的3条高. A B C 如图，直角边BC上的高是AB，斜边AC上的高是BF，直角边AB上的高是BC，三条高交于直角顶点B. 直角三角形的三条高交于直角的顶点. F 新知学习 如图，边BC上的高是AE，边AC上的高是BD，边AB上的高是CF. E F D A B C O 钝角三角形的三条高所在的直线交于一点. 钝角三角形的三条高未交于一点. 三角形的三条高所在的直线交于一点. 拓展：三角形三条高的交点叫作三角形的垂心. 归纳总结 新知学习 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 在三角形内部的数量 高线之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形的三条高线的交点 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形内部 直角顶点 三角形外部 归纳总结 新知学习 1. (2024 山东)如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为( ) A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 6 B 2. 在△ABC中，AD是中线，△ACD与△ABD的周长差为7．若AB＝5，则AC＝( ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 B 随堂练习 3. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是( ) A.点G B.点D C.点E D.点F B A C E D F G B 随堂练习 4.如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线. (1)若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； 解: 因为AD是△ABC的高， 所以AD⊥BC，则∠ADB＝90°. 因为∠BAD＝65°， 所以∠ABD＝90°-65°＝25°. A E F B C D 因为CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， 所以∠ACE＝ ∠ACB＝25°. 所以∠BAC＝180°-∠ABD-∠ACB＝180°-25°- 50°＝105°， 所以∠AEC＝180°-∠BAC-∠ACE＝180°- 105°- 25°＝50°. 随堂练习 4.如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线. (2)若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长. A E F B C D 解: 因为BF是△ABC的中线，所以 AF＝FC. 因为△BCF与△BAF的周长差为 3， 所以 (BC+CF+BF) － (AB+AF+BF)＝3 或 (AB+AF+BF) － (BC+CF+BF)＝3. 所以 AB － BC＝3或 BC－ AB＝3. 因为 AB＝9，所以 BC＝12或 15. 随堂练习 5.如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，求 BP 的最小值. 解：如图，根据垂线段最短，可知当 BP⊥AC 时，BP 有最小值． 由△ABC 的面积公式可知， S△ABC＝ AD · BC＝ BP · AC. 代入数值，可解得 BP＝ . P 点拨：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，此解题方法通常称为“等面积法”． 随堂练习 重要线段 图形 定义、式子表示及重要结论 中线 高线 角平分线 A B C D A B C D 2 1 A B C D 1.三角形的相关概念及分类： 重心：三角形的三条中线的交点. 垂心：三角形的三条高线的交点 内心：三角形的三条角平分线的交点 课堂小结 $