精品解析：山东省淄博市淄川区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷（五四制）

2025-2026学年山东省淄博市淄川区九年级（上）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的三视图，从正面看得到的图形是主视图，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、主视图是圆，故该选项正确； B、主视图是长方形，故该选项错误； C、主视图是三角形，故该选项错误； D、主视图是正方形，故该选项错误， 故选：A． 2. 若，则锐角的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值． 根据已知正弦值，即可得锐角的度数． 【详解】解：∵ ， 锐角， ∴ ． 故选：B． 3. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项D中的图形比较符合题意． 故选：D． 4. 反比例函数的图象可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质，根据知反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，故可得答案． 【详解】解：∵中， ∴反比例函数图象的两支分布在第一、三象限， 所以，选项C符合题意， 故选：C． 5. 如图，在中，弦，连接交半径于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再由，得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选A． 6. 二次函数(、、均为常数，且)中、的部分对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 则关于这个二次函数的结论正确的是( ) A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象与轴的交点坐标为和 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质(开口方向、对称轴、与x轴交点、增减性)，解题的关键是利用表格中x、y的对应值，结合二次函数的对称性和顶点性质分析各选项． 根据表格中和时，确定对称轴；结合顶点处的函数值判断开口方向；根据对称轴分析增减性，逐一验证选项． 【详解】解：B、∵ 和时， ∴对称轴为直线，此选项不符合题意； A、由对称轴为可知，顶点为，取图象上另一点，因其函数值大于顶点的函数值，故抛物线开口向上，此选项不符合题意； C、已知时，由对称轴为直线，得另一交点为，此选项不符合题意； D、∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故时也成立，此选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，若将绕点按逆时针方向旋转后，得到，且，则的长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的旋转，等腰三角形的性质，解直角三角形，连接，过点作于点，根据旋转的性质可得，，根据，进而得出的长． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 旋转的性质可得 ∴， ∴ ∴ 故选：A． 8. 如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点到门框的距离为，且，当开门时，提起门把手绕点顺时针旋转点到达点的位置，此时点到门框的距离为，则门把手划过的区域面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式，熟练掌握矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式是解题的关键；过点B分别作，，垂足分别为点C，D，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点B分别作，，垂足分别为点C，D，如图所示： 由题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 9. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程和二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或函数． ①若的长是，求出，然后求出，即可判断①； ②设矩形菜园的边的长为，则，根据题意列出方程求解判断即可； ③根据题意表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：①若的长是 ∴ ∴，不符合题意，故①错误； ②设矩形菜园的边的长为，则， 根据题意得， 解得或10 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意 ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故②错误； ③设矩形菜园的边的长为，则，面积为， ∴ ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，，符合题意， ∴矩形菜园的面积的最大值为，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是1． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则，由切线的性质，得到，故当最小时，均取得最小值，此时的值最小，设直线与轴，轴分别交于两点，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，等积法求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小， 设直线与轴，轴分别交于两点， ∵动点P在直线上， ∴当时，的值最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 当时，，即， 解得， ∴的最小值为，的最小值为， ∴的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查切线的性质，圆外一点到圆上一点的最值，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 【详解】解：连接CD． 则CD=，AD=，AC=， ∴， ∴CD⊥AB， 则tanA= 故答案是： 12. 将抛物线向左平移个单位，向下平移个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”进行解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，所得解析式为；再向下平移个单位，所得解析式为， 故答案为：． 13. 如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高，他的影长，再测出旗杆落到地面上的影长，则旗杆的高度为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长的比值一定可得，据此代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：8． 14. 如图，分别与相切于点三点．若，则的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 根据的周长为：，结合，，，代换计算即可． 【详解】解：直线、、分别与相切于点、、，， ，，， 的周长为： ， ． 故答案为：10． 15. 如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，．给出下列5个结论： ①； ②； ③若m为任意实数，则； ④； ⑤若方程（t为实数）的两个根为和，且，则． 其中，正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质（对称轴、交点、系数关系、最值等），以及数形结合与代数推理能力。解题的关键是依据对称轴和交点坐标得出系数关系，再结合函数性质与不等式分析各个结论，利用交点式设抛物线解析式，结合对称轴确定系数关系；根据系数关系和函数特征（如最值、增减性）逐一分析5个结论；对含参数的结论，通过特殊值或代数变形判断正误． 【详解】由题意，抛物线与轴交于、，对称轴为直线 设抛物线为，展开得： 对应一般式，比较系数得： ， ①将点代入抛物线得，故①正确； ②将，代入得 ∵图像开口向下，∴ ∴，故②正确； ③若m为任意实数，则 考虑对称轴处的取值：当时， 左边，右边， 此时左右相等，不满足“小于”，故③错误； ④将，代入不等式， ∵ ∴ 即，故④正确； ⑤方程等价于与水平线的交点横坐标 ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，最大值：， 又∵， ∴当时，方程即为，解得，，此时，不满足，故⑤错误 故答案为①②④． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，含特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法解方程，即可作答； （2）先化简特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解：（1）； ， 或， ∴，； （2） ． 17. 如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看到的三视图． （1）该几何体的名称是_______； （2）若，，，，求该几何体的体积． 【答案】（1）三棱柱； （2）该几何体的体积为． 【解析】 【分析】（1）由三视图可知该几何体名称； （2）作交于点，结合锐角三角函数和勾股定理求出，，，继而求出，即可求得该几何体的体积． 【小问1详解】 解：根据三视图可知，该几何体为三棱柱， 故答案为：三棱柱； 【小问2详解】 解：作交于点， ， ， 在中，， ，， ， ， ， 该三棱柱的体积为． 【点睛】本题考查的知识点是三棱柱的三视图、体积、锐角三角函数、勾股定理，解题关键是熟练掌握以上知识点． 18. 草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】（1）15； （2）所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长和面积． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出即可． 【小问1详解】 解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为， 故答案为：15；； 小问2详解】 解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 19. 如图，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1． （1）求k的值及点B的坐标； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集； （4）已知点D在x轴上，的面积为8，求点D的坐标． 【答案】（1）； （2）4 （3）或 （4）点D坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求三角形的面积，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． （1）先求出，然后求出反比例函数解析式，再联立，求出； （2）设直线与x轴的交点为C，求出，根据求出结果即可； （3）根据函数图象求出不等式的解集即可； （4）根据，得出，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1， ∴把代入得， ∴， ∴； 解析式联立， 解得或， ∴； 【小问2详解】 解：设直线与x轴的交点为C， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：观察图象，不等式的解集为或； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为或． 20. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，但不能亏本且降价不低于5元．经调查发现：每顶降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的成本为每顶50元． （1）当每顶头盔降价多少元时，每月的利润为5250元？ （2）当每顶头盔降价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元 （2）当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元 【解析】 【分析】本题考查二次函数应用和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． （1）设每顶头盔的售价为x元，根据利润公式列出一元二次方程求解即可； （2）设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元，然后根据题意建立起二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， 解得，（舍）， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元； 【小问2详解】 解：设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， ∵，且不能亏本且降价不低于5元，即, ∴当时，w取得最大值6250， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元． 21. 如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） （1）求此时该展板点B到地面的距离； （2）该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大，则当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，属于中档题，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． （1）通过构造直角三角形，利用角的正弦值求出对应的竖直高度，再加的长度，得到B到地面的距离为； （2）分和两种情况，用对应角度的三角函数求的竖直高度，结合B到地面的距离算出A的高度，作差得增加了． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， 由图可得：B到地面的距离为， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故B到地面的距离为； 【小问2详解】 解：最高点A到地面的高度为， 当时，， 在中， ∵，， ∴， ∴， 当时，， 同理得， ∴， ∴． 故当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了． 22. 已知是的弦，于点E，且，连接． （1）如图1，若是的直径，求的度数． （2）如图2，若，求证：． （3）如图3，连接，延长至F，记，，求，满足的关系式． 【答案】（1） （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定定理，圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理解答即可； （2）利用圆周角定理求得，，再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的判定定理解答即可； （3）利用圆的内接四边形的性质，圆周角定理解答即可． 【小问1详解】 解：连接，如图， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ，满足的关系式为． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在第一象限内，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积． （3）在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），最大面积 （3）存在，，，， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件将点B、C代入抛物线中，解得抛物线的解析式； （2）先求出点A的坐标和直线的解析式，设点P的坐标为，把的面积转化为，得到关于x的新的二次函数表达式，根据二次函数的性质，求出面积最大值，进而得到P点坐标； （3）设，，分两种情况讨论： ①当点P在x轴上方：过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标； ②当点P在x轴下方（或）：过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标，综上所述，得到所有满足条件的P点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A与关于直线对称， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入可得，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为， 如图，过点P作轴交于点D，则点D的坐标为， ∴， ∴， 对于二次函数，其中，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值， ∵对称轴为， ∴当时，有最大值为， 将代入得：， 即当点P坐标为时，的面积最大，最大面积为． 【小问3详解】 解：设，， ①当点P在x轴上方时，， 过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），，（舍）， ∴，； ②当点P在x轴下方时，或， 如图，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），（舍），， ∴，， 综上所述，点P的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，包括求抛物线解析式、求抛物线对称轴及最值等，利用三角形面积公式的和差关系求解，全等三角形的判定与性质及绝对值方程的求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省淄博市淄川区九年级（上）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象可能是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，弦，连接交半径于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数(、、均为常数，且)中、的部分对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 则关于这个二次函数的结论正确的是( ) A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象与轴的交点坐标为和 D. 当时，随的增大而增大 7. 如图，若将绕点按逆时针方向旋转后，得到，且，则的长（ ） A. B. C. D. 8. 如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点到门框的距离为，且，当开门时，提起门把手绕点顺时针旋转点到达点的位置，此时点到门框的距离为，则门把手划过的区域面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，用一段长为篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值为__． 12. 将抛物线向左平移个单位，向下平移个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是______． 13. 如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高，他的影长，再测出旗杆落到地面上的影长，则旗杆的高度为___________． 14. 如图，分别与相切于点三点．若，则的周长为________． 15. 如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，．给出下列5个结论： ①； ②； ③若m为任意实数，则； ④； ⑤若方程（t为实数）的两个根为和，且，则． 其中，正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看到的三视图． （1）该几何体的名称是_______； （2）若，，，，求该几何体的体积． 18. 草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 19. 如图，直线与反比例函数图象交于A、B两点，点A的横坐标为1． （1）求k的值及点B的坐标； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集； （4）已知点D在x轴上，的面积为8，求点D的坐标． 20. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，但不能亏本且降价不低于5元．经调查发现：每顶降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的成本为每顶50元． （1）当每顶头盔降价多少元时，每月的利润为5250元？ （2）当每顶头盔降价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21. 如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） （1）求此时该展板点B到地面的距离； （2）该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大，则当从增大到后，展板最高点A到地面的高度增加了多少？ 22. 已知是的弦，于点E，且，连接． （1）如图1，若是的直径，求的度数． （2）如图2，若，求证：． （3）如图3，连接，延长至F，记，，求，满足的关系式． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在第一象限内，连接，，当面积最大时，求点P的坐标及最大面积． （3）在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $