精品解析：山东省淄博市淄川区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

初四数学试题 本试题共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，如只有一个是符合题目要求的． 1. 在中心投影下，一条线段的投影不可能是（ ） A. 比原线段长的线段 B. 一段圆弧 C. 比原线段短线段 D. 一个点 2. 下列函数：（a为常数，）．其中能表示y是x的反比例函数的共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，若另取一个相同的小正方体，按照图中的摆放方法放在标有数字的某一个正方体上，则主视图不发生变化的是（ ） A. 放在1的上面 B. 放在2的上面 C. 放在3的上面 D. 放在4的上面 4. 如图，在中，，．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（ ） A. 6 B. C. D. 3 6. 二次函数y＝x2＋2x－5有 A. 最大值－5 B. 最小值－5 C. 最大值－6 D. 最小值－6 7. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，，OC＝OD，则∠ABD的度数为（　　） A 90° B. 95° C. 100° D. 105° 8. 如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边上，若，，则的长度是（ ） A B. C. D. 9. 如图，，，分别是半径为r的的切线，切点分别A为点A，B，C．已知的周长为，则的正切值为（ ）． A. B. C. D. 10. 已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 已知∠A为锐角，，则______． 12. 二次函数的图象经过点，且不经过第一象限，写出一个满足上述条件的一个二次函数的表达式______． 13. 已知二次函数（，为常数，且），当时的函数值与当时的函数值相等，则当时的函数值为______． 14. 如图，有一张半径为的圆形制片，打算从这张纸片上裁剪出一个扇形，用它制作圆锥的侧面，再用剩下的部分剪出一个最大的圆，作为这个圆锥的底面，则制作出的圆锥的表面积为______（结果保留）． 15. 如图，中，，，，点P，Q分别是边，上的动点，且，则的最小值是______． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2） 17. 下面的两幅图是由若干个同样大小的正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的正方体的个数，请画出相应几何体的主视图和左视图． 18. 已知如图，中，，，． （1）请用尺规作图的方法，在上找一点O，以O为圆心作圆，使得该圆与、两边都相切．（保留作图痕迹，不写作法） （2）填空：的半径 ． 19. 学校组织学生参加实践活动，教师要求学生测量学校附近的电线杆的高度，具体有以下条件： 工具：测角仪（可测水平角、倾斜角等），米尺，标杆（长度小于）等； 为了安全，不允许到距离电线杆约的范围内； 电线杆周围比较平坦． 请你按下列要求设计一个测量电线杆高度的方案： （1）简述测量方法； （2）画出示意图（标出有关的角及线段）； （3）求出电线杆的高（用字母表示）． 说明：角度用字母，，等表示，距离（线段长度）用字母，，等表示． 20. 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为．当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到） 21. 如图，中，点O在边上，经过点A与边相切于点D，与边交于点E，射线交的延长线于点F，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并加以证明； （2）若，求的长． 22. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直x轴于点，为坐标原点，四边形的面积为38． （1）求反比例函数及一次函数的解析式； （2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值． 23. 如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． （1）求抛物线M的表达式和点A的坐标； （2）点F是线段上一动点，求周长的最小值； （3）平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初四数学试题 本试题共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，如只有一个是符合题目要求的． 1. 在中心投影下，一条线段的投影不可能是（ ） A. 比原线段长的线段 B. 一段圆弧 C. 比原线段短的线段 D. 一个点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心投影，解题的关键是理解中心投影的定义，根据中心投影的性质，进行判断即可． 【详解】在中心投影下，一条线段的投影可能是线段或点，一条线段的投影不可能是一段圆弧； 故选：B． 2. 下列函数：（a为常数，）．其中能表示y是x反比例函数的共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数判断，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，反比例函数的解析式也可以写成的形式，据此进行判断即可． 【详解】解：（a为常数，）中，（a为常数，）为反比例函数，共3个； 故选B． 3. 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，若另取一个相同的小正方体，按照图中的摆放方法放在标有数字的某一个正方体上，则主视图不发生变化的是（ ） A. 放在1的上面 B. 放在2的上面 C. 放在3的上面 D. 放在4的上面 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图有3列，从左到右分别有3个，2个和1个小正方形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，主视图有3列，从左到右分别有3个，2个和1个小正方形， 当小正方形放在1，2，3的上面时，主视图均发生变化，只有放在4上面时，主视图不发生变化； 故选D． 4. 如图，在中，，．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义以及互余两角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据直角三角形的边角关系进行判断即可． 【详解】解：在中，，，设所对边分别为， ，，，，，， ，选项A正确，不符合题意； ， ，选项B正确，不符合题意； ，选项C错误，符合题意； ，选项D正确，不符合题意； 故选C． 5. 等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆，根据三角形的面积与三角形的周长和内切圆半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】解：如图，，为的内切圆，与三边相切于点，连接，连接， 则：点是三条角平分线的交点， ， ∴，， ∴三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴，即的半径为； 故选C． 6. 二次函数y＝x2＋2x－5有 A. 最大值－5 B. 最小值－5 C. 最大值－6 D. 最小值－6 【答案】D 【解析】 【分析】求得二次函数的对称轴和开口方向，从而求得二次函数的最值. 【详解】解：y＝x2＋2x－5的图像为抛物线开口向上．则只有最小值，没有最大值，排除A、C． 而抛物线顶点对应x值为，则把x=-1代入原函数y=-6.故最小值为-6. 故选：D. 【点睛】本题难度中等，主要考查学生对二次函数图像抛物线性质分析．代入顶点坐标公式求出最小值即可． 7. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，，OC＝OD，则∠ABD的度数为（　　） A. 90° B. 95° C. 100° D. 105° 【答案】D 【解析】 【分析】连接OB，即得出OB＝OD，从而得出∠OBD＝∠ODB．根据含30度角的直角三角形的性质结合题意可判断∠OBC＝30°，再利用平行线的性质可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，从而根据三角形内角和求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可． 【详解】如图：连接OB， ∴OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB． ∵OC＝OD， ∴OC＝OB． ∵OC⊥AB， ∴, ∴∠OBC＝30°． ∵， ∴∠BOD＝∠OBC＝30°， ∴∠OBD＝∠ODB＝75°， ∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°． 故选D． 【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用．连接常用的辅助线是解题关键． 8. 如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边上，若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于是等边三角形，还给出，所有考虑直接把转移到一个直角三角形中求解，那么这个角度如何利用，恰好想到过点A作的垂线直接得到了，可求，再利用正切，可求,最后在求． 【详解】∵是等边三角形； ∴； 过点作的垂线，垂足为； ∴； ∴； ∵； ∴； ∵； ； ∴； 在中， ； 在中； ； ∴； ∴； ∴； ∴； ∵； ∴； 故选． 9. 如图，，，分别是半径为r的的切线，切点分别A为点A，B，C．已知的周长为，则的正切值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，切线长定理，勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键．连接并且延长交的延长线于点，连接，根据题意证明，得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接并且延长交的延长线于点，连接， ，，分别是半径为r的的切线，切点分别A为点A，B，C， ， ， 的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ． 故选A． 10. 已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为 联立 解得：或 ∴， 由，则，对称轴为直线， 设，则点在上， ∵且， ∴点在点的左侧，即，， 当时， 对于，当，，此时， ∴， ∴ ∵对称轴为直线，则， ∴的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 已知∠A为锐角，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．设是直角三角形中的锐角，，根据题意求出三角形的三边的比例关系，即可得到答案． 【详解】解：设是直角三角形中的锐角，， 即， ， ． 故答案为：． 12. 二次函数的图象经过点，且不经过第一象限，写出一个满足上述条件的一个二次函数的表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线不经过第一象限，可以写抛物线的对称轴在轴左侧，与轴交于负半轴的一个二次函数，图象经过点，故可以写一个以为顶点的，开口向下的抛物线即可． 【详解】解：由题意，满足上述条件的一个二次函数的表达式可以为：； 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知二次函数（，为常数，且），当时的函数值与当时的函数值相等，则当时的函数值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到是解答本题的关键． 由当时的函数值与当时的函数值相等可得，即，从而得到函数解析式为，继而即可求得时的函数值． 【详解】解：当时的函数值与当时的函数值相等， 二次函数图象的对称轴，即， 则二次函数的解析式为， 当时，， 故答案为：． 14. 如图，有一张半径为的圆形制片，打算从这张纸片上裁剪出一个扇形，用它制作圆锥的侧面，再用剩下的部分剪出一个最大的圆，作为这个圆锥的底面，则制作出的圆锥的表面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥表面积的计算，一次函数的性质，解决本题的关键是理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 设小圆直径为x，若扇形弧长与底面圆的周长相等，则，得到，可知时，，即当底面小圆的直径恰好等于大圆的半径时，小圆与大圆的直径相切，扇形的弧长恰好与小圆的周长相配套，此时圆锥的表面积为：． 【详解】解：设小圆的直径为x， 若扇形弧长与底面圆的周长相等， 则， ∴， ∵随着的增大而增大， 且当时，， 即当底面小圆的直径恰好等于大圆的半径时，小圆与大圆的直径相切，扇形的弧长恰好与小圆的周长相配套，此时圆锥的表面积为：， 故答案：． 15. 如图，中，，，，点P，Q分别是边，上的动点，且，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是得到以为直径的圆与相切于点时，最小． 根据，得到，解直角三角形求出的长，根据，以为直径作，则点在上，连接，则，当与相切于点时，此时最小，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上， 以为直径作，当与相切与点时，最小，连接，如图，则：， ， 设，则：， 在中，， ∴，即：， ∴， ∴； 即：的最小值为； 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 17. 下面的两幅图是由若干个同样大小的正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的正方体的个数，请画出相应几何体的主视图和左视图． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据所给的俯视图画出图形即可． 【详解】解：根据俯视图（），和（）可知 （）主视图第一列有个，第二列有个，左视图第一列有一个，第二列有个； （）主视图第一列有个，第二列有个，左视图第一列有个，第二列有个； ． 18. 已知如图，在中，，，． （1）请用尺规作图的方法，在上找一点O，以O为圆心作圆，使得该圆与、两边都相切．（保留作图痕迹，不写作法） （2）填空：的半径 ． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线交于点D，再以点D作为圆心，为半径画圆，问题即可作答； （2）先求出，设半径为r，根据切线长定理可得，则有，，在中，，即有，解方程即可求解． 【小问1详解】 如图， 即为所做； 证明：过O点作于点D，如图， 根据作图可知：平分， ∵，， ∴，， ∴， ∴点D在上， ∵，， ∴与、相切； 【小问2详解】 ∵在中，，，， ∴， 设半径为r， ∴， ∵与、相切， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，角平分线的尺规作图，角平分线定理，勾股定理，切线长定理等知识，灵活利用角平分线的性质定理作图，是解答本题的关键． 19. 学校组织学生参加实践活动，教师要求学生测量学校附近的电线杆的高度，具体有以下条件： 工具：测角仪（可测水平角、倾斜角等），米尺，标杆（长度小于）等； 为了安全，不允许到距离电线杆约的范围内； 电线杆周围比较平坦． 请你按下列要求设计一个测量电线杆高度的方案： （1）简述测量方法； （2）画出示意图（标出有关的角及线段）； （3）求出电线杆的高（用字母表示）． 说明：角度用字母，，等表示，距离（线段长度）用字母，，等表示． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，列代数式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）根据测量底部不可以到达的物体的高度的方法，即可解答； （2）根据测量方法即可画出示意图； （3）根据题意可得：，，，设，则，在中，利用锐角三角函数的定义表示出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义表示出的长，从而列出关于的方程进行计算可求出的长，进而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：测量方法：在离电线杆大于米的测点处安置测角仪，测得此时电线杆顶部的仰角；再在测点与电线杆之间的处安置测角仪（，与电线杆底部在同一直线上且到电线杆的距离大于米），测得此时的仰角，量出测角仪的高度，以及测点和测点之间的水平距离，即可求出电线杆的高； 【小问2详解】 解：示意图如图所示： 【小问3详解】 解：由题意得：，，， 设， ， 在，， ， 在中，， ， ， 解得：， ， ， 电线杆的高． 20. 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为．当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到） 【答案】当x约为时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积约为 【解析】 【分析】先设圆半径、矩形的宽和窗户的面积，再根据给出的已知条件列出它们的函数关系式，根据函数关系式来求最大值． 【详解】解：∵， ∴． ∵，且， ∴． 设窗户的面积是，则 ． ∴当时，． 因此，当x约为时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积约为． 【点睛】本题主要考查二次函数在实际生活中的应用，其中涉及圆的周长、矩形周长的计算和求最值的问题． 21. 如图，中，点O在边上，经过点A的与边相切于点D，与边交于点E，射线交的延长线于点F，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并加以证明； （2）若，求的长． 【答案】（1）直线与相切，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质和判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，证明，得到，根据与相切，得到，即可得出结论； （2）勾股定理求出，证明，设⊙O半径为r，列出比例式求出的值，勾股定理求出的长，用进行求解即可． 【小问1详解】 解：直线与相切， 证明如下：如图，连接，则． ∴，， ∴，， ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 由（1）知：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设⊙O的半径为r，则， ， ∴． 在中， ， ∴． 22. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直x轴于点，为坐标原点，四边形的面积为38． （1）求反比例函数及一次函数的解析式； （2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再利用四边形的面积为38．求出，进一步利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）平移一次函数与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：，联立，解得：，进一步求出：，即，连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，根据以及点的坐标即可求出的面积． 【小问1详解】 解：∵在上， ∴，即反比例函数解析式为：， 设， ∵四边形的面积为38． ∴，整理得：， 解得：（舍去），， ∴， 将和代入可得：解得：， ∴一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：平移一次函数到第三象限，与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小， 设平移后的一次函数解析式为：，联立可得：，整理得：， ∵有唯一交点P， ∴，解得：或（舍去）， 将代入得：，解得： 经检验：是分式方程的根， ∴， 连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C， 则：， ∵，，， ∴， ， ， ∴． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握平行线之间的距离，解分式方程，解一元二次方程知识点． 23. 如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． （1）求抛物线M的表达式和点A的坐标； （2）点F是线段上一动点，求周长的最小值； （3）平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）最小值为 （3）P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可； （2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可； （3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可． 【小问1详解】 ∵顶点D的坐标为， 设二次函数表达式为 将点代入得 ∴抛物线M的表达式为： 当时，或1， ∵点A在点B左侧， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 当时，， ∴点C的坐标为 ∴设直线的表达式为： 故解得 ∴， ， ， ， 作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点 ， ∴所在直线垂直于y轴， 关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴点G的横坐标为 将代入得， ∴点G的坐标为， ∵，， ∴， ∴ 即周长的最小值为； 【小问3详解】 ∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为 将点代入得：， ∴抛物线N的表达式为 ∴顶点P的坐标为， 将代入，， ∴， 作于H，则， ∵ ∴点H为点P和点Q的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴， ∴ 或 ∴解第一个方程可得（舍）， 解第二个方程可得（舍）， 将代入P点坐标， P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$