精品解析：浙江省台州市 临海市 2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

临海市2025学年第一学期初中教学质量监测试题 九年级数学 亲爱的考生： 欢迎参加测试！请你认真审题，积极思考，仔细答题，答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．祝你成功！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是四款常见的人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 从只有红球的袋子中摸出黄球 3. 若一元二次方程有一个根是，则的值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 4. 已知的半径为3，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法判断 5. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 6. 模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某个研发阶段，模型的初始训练数据量为500万亿个标记．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，求每次数据扩容的平均增长率．设每次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在边上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 元旦来临，小海在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（ ） A B. C. D. 9. 如图，某游乐园里的滑草赛道由坡道和缓冲道组成，小临在坡道上的滑行路程（单位：m）与滑行时间（单位：s）满足函数关系：；在缓冲道上的滑行路程（单位：m）与在缓冲道上的滑行时间（单位：s）满足函数关系：，小临从坡道上滑下，在缓冲道上停止，共用时，则他在坡道上的滑行路程为（ ） A. B. C. D. 10. 数学探究课上，小明用画图软件画出了图1所示，其中，，小明将点D固定在边上，构造动点P，使点P从点A开始沿折线A→B→C运动，到达点C后停止．连接，令为y，点P的运动路程为x，画图软件生成图2所示的y关于x的函数图象，由图象可知点T的纵坐标为12．小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足，则这三个点的纵坐标n的值为（ ） A. 5 B. 5.25 C. 5.5 D. 6 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，若点与关于原点对称，则_____． 12. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 13. 一个不透明的盒子中装有2个红球，3个白球（两种小球除颜色外，其余特征都相同），从盒子中随机摸出一个小球，摸出红球的概率为_____． 14. 如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，在上取一点E，使，连接．若，则度数为_____． 15. 若二次函数（a，k为常数）与的图象交于点，则关于x 的方程的解为_____． 16. 如图，在正方形中，以边上的点O为圆心，的长为半径画弧，分别与边，交于点E，F．若，则的值为_____． 三、解答题（共8小题，第17~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程：． 18. 在平面直角坐标系中，的顶点分别是． （1）画出绕点O逆时针旋转所得的，并写出点的坐标； （2）在（1）的旋转过程中，求线段扫过的图形面积． 19. 在校运动会中，为确定A，B，C，D四个班级在“4×100m接力”决赛时的赛道，采用以下方式抽签，在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有道次：1，2，3，4（四个小球除所标数字外都相同），四个班级按A，B，C，D的次序依次从盒中随机摸出一个小球． （1）A班抽到1号道次概率是 ； （2）若A班从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀后B班再从盒中随机摸出一个小球．请画树状图或列表，求A，B两班决赛时赛道相邻的概率． 20. 如图，在中，． （1）求作，使经过B，C两点，且圆心O落在边上；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：是（1）中所作切线． 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求a，b满足的数量关系； （2）若点在该函数图象上，无论m为何值，始终有．求a的值． 22. 如图，在中，，，点D在线段的延长线上，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，过点E作于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，在中， ，点D为底边BC上一点，是的外接圆，交AC于点F，过点A作，交于点E，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当时， ①求的半径； ②求的面积． 24. 素材1：小明家共有长的篱笆，小明爸爸准备用这些篱笆围成一个长方形菜地，并设计了如下三种方案（如图1）供选择，其中乙、丙两种方案分别围出了2个、6个小长方形，每种方案的篱笆总长均为．爸爸已经算出方案丙中，当时，所围的菜地面积最大． 任务1：（1）在方案甲中，长为 m时，所围菜地面积最大，最大面积为 ； 任务2：（2）请帮忙计算方案乙所围菜地面积的最大值； 素材2：爱思考的小明发现，当三种方案的菜地面积分别达到最大值时，每种方案横向的篱笆总长（即，，）存在某种特殊的规律． 任务3：（3）①请猜想各方案中，当菜地面积最大时横向的篱笆总长所存在的规律； ②小明为了证明上述猜想具有一般性，设计了如图2所示的方案：用总长为l的篱笆围成长方形菜地，其中横向篱笆m条，纵向篱笆n条．请利用该方案证明上述猜想具有一般性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临海市2025学年第一学期初中教学质量监测试题 九年级数学 亲爱的考生： 欢迎参加测试！请你认真审题，积极思考，仔细答题，答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．祝你成功！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是四款常见的人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，符合题意； B．该图形不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 从只有红球的袋子中摸出黄球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析． 【详解】解：、投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，故选项不符合题意； 、射击运动员射击一次，可能命中靶心，也有可能脱靶，是随机事件，故选项不符合题意； 、任意画一个圆，它轴对称图形，因为任何圆都是轴对称图形，所以该事件是必然事件，故选项不符合题意； 、从只有红球的袋子中不可能摸出黄球，属于不可能事件，故选项符合题意． 故选：． 3. 若一元二次方程有一个根是，则的值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程的根求参数，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 将已知根代入一元二次方程，解关于的一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得， 即， ∴， 解得， 故选：A． 4. 已知的半径为3，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系．若圆半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 判断圆的半径与大小即可解答． 【详解】解：∵的半径，，且， ∴点P在外． 故选B． 5. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的对称轴，掌握二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选B． 6. 模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某个研发阶段，模型的初始训练数据量为500万亿个标记．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，求每次数据扩容的平均增长率．设每次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，设每次数据扩容的平均增长率为x，根据初始训练数据量为500万亿个标记．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，进行列方程，得，即可作答． 【详解】解：∵ 初始数据量为500万亿，每次增长率为x， 经过第一次增长后为， 经过第二次增长后为， ∴ 故选：C． 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在边上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，，证明是等腰三角形，即可求得，即可解答． 【详解】解：绕点A逆时针旋转得到， ，， 是等腰三角形， ， ， 故选：B． 8. 元旦来临，小海在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长计算公式是解题的关键；根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长可进行求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴的长为， ∴圆锥底面圆的周长为， ∴底面圆的半径为； 故选：D． 9. 如图，某游乐园里的滑草赛道由坡道和缓冲道组成，小临在坡道上的滑行路程（单位：m）与滑行时间（单位：s）满足函数关系：；在缓冲道上的滑行路程（单位：m）与在缓冲道上的滑行时间（单位：s）满足函数关系：，小临从坡道上滑下，在缓冲道上停止，共用时，则他在坡道上的滑行路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得当函数在对称轴上取得最大值时，小临在缓冲道上停止，此时，然后可得，进而代入进行求解即可． 【详解】解：由题意得：当函数在对称轴上取得最大值时，小临在缓冲道上停止，此时， ∴， ∴把代入函数得：； 故选B． 10. 数学探究课上，小明用画图软件画出了图1所示的，其中，，小明将点D固定在边上，构造动点P，使点P从点A开始沿折线A→B→C运动，到达点C后停止．连接，令为y，点P的运动路程为x，画图软件生成图2所示的y关于x的函数图象，由图象可知点T的纵坐标为12．小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足，则这三个点的纵坐标n的值为（ ） A. 5 B. 5.25 C. 5.5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，由图象可知：当时，，即，此时点A与点P重合，所以，然后可分当时，当时，进而得出二次函数解析式，最后问题可求解． 详解】解：∵，， ∴，， 由图象可知：当时，，即， 此时点A与点P重合，所以， 当时，过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该函数的对称轴为直线， 由小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足，可知：M，N关于该函数的对称轴对称， 设点，则， ∴， ∴点R的横坐标为，即， 当时，如图所示： ∴，， ∴， ∴， 解得：； 故选B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，若点与关于原点对称，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ． 故答案为：5． 12. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握此知识点；根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个相等的实数根时，判别式等于零． 【详解】方程 的判别式为 ．由于方程有两个相等的实数根，故 ，即 ，解得 ． 故答案为1． 13. 一个不透明的盒子中装有2个红球，3个白球（两种小球除颜色外，其余特征都相同），从盒子中随机摸出一个小球，摸出红球的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率；摸出红球的概率等于红球数量与总球数的比值即为所求概率． 详解】解：盒子中总共有个小球，其中红球有2个， 因此摸出红球的概率为； 故答案为：． 14. 如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，在上取一点E，使，连接．若，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键 ． 连接，先求得，再求得，根据，可得，即可求得，利用圆周角定理即可求得． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 若二次函数（a，k为常数）与的图象交于点，则关于x 的方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．方程的解即为二次函数的图象与直线交点的横坐标．已知两函数图象交于点，可先求出的值，再利用二次函数的对称性求得另一个解． 【详解】解：∵二次函数与的图象交于点， ∴且， 两式相减得， ∵， ∴， 即， 解得， ∵方程的解是函数的图象与直线交点的横坐标，已知一个交点为， 且二次函数的对称轴为直线， ∴点关于二次函数对称轴的对称点为， ∴另一个交点为． 故方程的解为． 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，以边上的点O为圆心，的长为半径画弧，分别与边，交于点E，F．若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理、圆的基本性质、正方形的性质及勾股定理，熟练掌握垂径定理、圆的基本性质、正方形的性质及勾股定理是解题的关键；连接，过点O作于点G，由题意易得，，则有，设，则有，然后根据勾股定理可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：连接，过点O作于点G，如图所示： 由题意得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则有， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 三、解答题（共8小题，第17~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程：． 【答案】 , 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．利用因式分解法解答即可． 【详解】解： ∴或， ∴． 18. 在平面直角坐标系中，的顶点分别是． （1）画出绕点O逆时针旋转所得的，并写出点的坐标； （2）在（1）的旋转过程中，求线段扫过的图形面积． 【答案】（1）图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，勾股定理，求扇形的面积， 对于（1），将点A，B绕点O逆时针旋转得到点，再依次连接，可得答案，然后确定点的坐标； 对于（2），先根据勾股定理求出，再根据扇形的面积得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，； 【小问2详解】 解：， ∴． 19. 在校运动会中，为确定A，B，C，D四个班级在“4×100m接力”决赛时的赛道，采用以下方式抽签，在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有道次：1，2，3，4（四个小球除所标数字外都相同），四个班级按A，B，C，D的次序依次从盒中随机摸出一个小球． （1）A班抽到1号道次的概率是 ； （2）若A班从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀后B班再从盒中随机摸出一个小球．请画树状图或列表，求A，B两班决赛时赛道相邻的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可进行求解； （2）根据列表法可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸出“1号道次”的结果有1种． ∴A班抽到1号道次的概率是； 【小问2详解】 解：由题意可列表如下： 1 2 3 4 1 ／ 2 ／ 3 ／ 4 ／ 共有12种等可能的结果，其中A，B两班决赛时赛道相邻的结果有：，，，，，，共6种， ∴A，B两班在决赛时赛道相邻的概率为． 20. 如图，在中，． （1）求作，使经过B，C两点，且圆心O落在边上；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：是（1）中所作的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、 （1）作线段的垂直平分线，交于点O，然后问题可求解； （2）连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求证． 【小问1详解】 解：所作如图所示： 小问2详解】 证明：连接，如图所示： ∵， 由作图可知：， ， ，即， ∵是的半径， ∴是的切线． 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求a，b满足的数量关系； （2）若点在该函数图象上，无论m为何值，始终有．求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质． （1）把点代入二次函数，即可得到a，b满足的数量关系； （2）由题意可得点是二次函数图象的顶点，则对称轴直线，再结合，即可求解a的值． 【小问1详解】 解：把点代入二次函数， 得， ∴； 【小问2详解】 解：点在该函数图象上，无论m为何值，始终有，则点是二次函数图象的顶点， ∵对称轴直线 ∴ ∵ ∴ ∴． 22. 如图，在中，，，点D在线段的延长线上，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，过点E作于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，全等三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）由旋转的性质可知，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，设，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 证明：∵线段绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ， ∵， ， ， 在中，， ∴， 设，则有， ∴， 解得， ∴ ∴． 23. 如图，在中， ，点D为底边BC上一点，是的外接圆，交AC于点F，过点A作，交于点E，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当时， ①求的半径； ②求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了90度角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，平行四边形的判定，含30度直角三角形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质等知识，熟练运用圆的相关知识是关键． （1）由等腰三角形的性质、平行线的性质及同弧对的圆周角相等得，从而，则两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形为平行四边形； （2）①连接，则得是直径；由同弧对的圆周角相等得，从而得；设, 则，由勾股定理建立方程求得x的值，求得，即可求得圆的半径； ②过点F作交的延长线于点H，由同弧对的圆周角相等得，再由得，在中可求得，再由含30度角直角三角形的性质及勾股定理可求得，进而求得，则由三角形面积公式即可计算出的面积． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：①连接，如图， ， ∴为直径， ， ∵， ， 在中，设, 则， 由勾股定理得：， ， ， ∵， ， ∴， ， ∴的半径为； ②过点F作交的延长线于点H，如图， ∵， ， ∵， ∴， ∵， ， 在中，，， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ， ． 24. 素材1：小明家共有长的篱笆，小明爸爸准备用这些篱笆围成一个长方形菜地，并设计了如下三种方案（如图1）供选择，其中乙、丙两种方案分别围出了2个、6个小长方形，每种方案的篱笆总长均为．爸爸已经算出方案丙中，当时，所围的菜地面积最大． 任务1：（1）在方案甲中，长为 m时，所围菜地面积最大，最大面积为 ； 任务2：（2）请帮忙计算方案乙所围菜地面积的最大值； 素材2：爱思考的小明发现，当三种方案的菜地面积分别达到最大值时，每种方案横向的篱笆总长（即，，）存在某种特殊的规律． 任务3：（3）①请猜想各方案中，当菜地面积最大时横向的篱笆总长所存在的规律； ②小明为了证明上述猜想具有一般性，设计了如图2所示的方案：用总长为l的篱笆围成长方形菜地，其中横向篱笆m条，纵向篱笆n条．请利用该方案证明上述猜想具有一般性． 【答案】（1）30，900；（2）；（3）①横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半；②见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设，该长方形的面积为，则该长方形的宽为，由题意得，然后根据二次函数的性质可求解； （2）设菜地面积为，横向长为，则纵向长为，由题意得：，然后根据二次函数的性质可进行求解； （3）①根据（1）（2）可进行求解；②设菜地面积为，横向篱笆长为，则纵向长为，由题意得：，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：（1）设，该长方形的面积为，则该长方形的宽为， 由题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为900； 故答案为30，900； （2）设菜地面积为，横向长为，则纵向长为，由题意得： ； ∵， ∴当时，面积； 答：方案乙所围菜地面积的最大值为． （3）①猜想：横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半，理由如下： 由（1）（2）可知：方案甲：当菜地面积最大时横向的篱笆总长为，所以横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半； 方案乙：当菜地面积最大时横向的篱笆总长为，所以横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半； 方案丙：当菜地面积最大时横向的篱笆总长为，所以横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半； 综上所述：横向篱笆的总长度是篱笆总长的一半； ②设菜地面积为，横向篱笆长为，则纵向长为，由题意得： ， ∴当横向篱笆长时，菜地面积， 此时横向篱笆的总长度为， ∴猜想成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $