专题09 解三角形综合大题（题型专练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题09 解三角形综合大题目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 正弦定理的应用 题型02 余弦定理的应用 题型03 三角形周长定值与最值 题型04 三角形面积定值与最值 题型05 角平分线问题 题型06 中线问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 正弦定理的应用 【例1-1】（2026·天津滨海新·月考）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 【例1-2】（2026·天津·月考）在中，角所对的边分别为，已知，，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． （1）已知两角及一边求解三角形； （2）已知两边一对角；. （3）两边一对角，求第三边. 【变式1-1】（2026·天津武清·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【变式1-2】（2026·天津·调研）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【变式1-3】（2026·天津·月考）在中，已知，且，则 ． 题型02 余弦定理的应用 【例2-1】（2026·天津滨海新·月考）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求的值； (2)若，求 （ⅰ）的值； （ⅱ）的值. 【例2-2】（2026·天津西青·月考）在中，角，，所对的边分别为，，.已知. (1)求的大小； (2)当，时， （i）求边长； （ii）求的值. (1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边. (2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值， 若余弦值 【变式2-1】（2026·天津南开·联考）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积. 【变式2-2】（2026·天津·开学考试）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若，求． 【变式2-3】在中，角所对的边分别为，且. (1)求角： (2)若的面积为，求的周长. 题型03 三角形周长定值与最值 【例3-1】（2025·天津滨海新·调研）在中，的内角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若，且，求周长； (3)如图，若，动点分别在线段上运动，且，求的最小值. 【例3-2】（2025·天津·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若的面积为，且，求的周长. 1、基本不等式 核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围； 2、利用正弦定理化角 核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围. 【变式3-1】（2026·天津红桥·开学考试）在中， 内角，，所对的边分别是，，， 已知. (1)求的值； (2)求； (3)若，的周长为， 求的面积． 【变式3-2】（2025·天津南开·模拟预测）在中，． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 【变式3-3】（2025·天津河北·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 题型04 三角形面积定值与最值 【例4-1】（2026·天津·月考）已知． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)已知锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值． 【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知且. (1)求； (2)若的外接圆半径为，周长为，且，求. (3)若，求面积的最大值 1、三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 2、三角形面积最值： 核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式. 3、三角形面积取值范围： 核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围. 【变式4-1】（2026·天津西青·调研）在中，角所对的边分别为．已知，． (1)求的值； (2)当时， （i）求的值和的面积； （ii）求的值． 【变式4-2】（2026·天津河北·调研）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的面积； (3)求的值. 【变式4-3】（2025·天津河北·调研）在中，内角所对的边分别为．已知，，． (1)求的值； (2)求c的值和的面积. 题型05 角平分线问题 【例5-1】（2025·天津南开·一模）已知点是双曲线的图象上第一象限的任意一点，、分别为的左右焦点.直线，直线交轴于点. (1)已知轴，求直线方程； (2)求证：直线为的角平分线； (3)若直线交于另一点，且，求直线和直线斜率之积. 【例5-2】（2025·天津滨海新·联考）在中，是的中点，.则的大小为 ；为的角平分线，在线段上，则的长度为 . 1.角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， 内角平分线定理： 核心技巧：或 2，等面积法 核心技巧 3.角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 【变式5-1】（2025·天津·一模）已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【变式5-2】（2025·天津·联考）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【变式5-3】（2025·天津·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小： (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 题型06 中线问题 【例6-1】（2026·天津滨海新·月考）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求角C的大小； (2)若，求； (3)若，，求边上中线的长. 【例6-2】（2025·天津·月考）已知锐角的内角所对的边分别为，向量 ，，且 . (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值； (3)若，边上的中线长为，求的值. 1、中线： 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， 1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： 1.2角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 【变式6-1】（2025·天津滨海新·联考）在中，角的对边分别为 (1)求； (2)若，，且，边上的两条中线，相交于点G，求的余弦值； (3)若为锐角三角形，，且外接圆圆心为O，求和面积之差的最大值． 【变式6-2】（2024·天津河西·模拟预测）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． (1)求中线AM的长； (2)求的余弦值； (3)求面积． 【变式6-3】（2025·天津·模拟预测）在中，满足． (1)求； (2)若，边BC上的中线，设点为的外接圆圆心． ①求的周长和面积： ②求的值． 1．（2025·天津武清·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求C的值； (2)求的值； (3)求的值. 2．（2025·天津·二模）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且面积， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 3．（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 4．（2025·天津北辰·三模）在中，角所对的边分别为.满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为. ①求的值； ②求的值. 5．（2025·天津河西·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，，． （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求的值． 6．（2025·天津·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. (1)求边b的长； (2)求C的正切值； (3)求的值. 7．（2025·天津和平·三模）在中，角、、所对的边分别为、、，，， (1)求角的大小； (2)求的值与的面积； (3)求的值． 8．（2025·天津滨海新·三模）在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 9．（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求c的值； (2)求的值； (3)求的值． 10．（2025·天津·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为． (1)求a的值； (2)求； (3)求的值． 11．（2025·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 12．（2025·天津红桥·二模）在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 若 且 (1)求cosB； (2)求a的值; (3)求 的值. 学科网（北京）股份有限公司10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 解三角形综合大题目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 正弦定理的应用 题型02 余弦定理的应用 题型03 三角形周长定值与最值 题型04 三角形面积定值与最值 题型05 角平分线问题 题型06 中线问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 正弦定理的应用 【例1-1】（2026·天津滨海新·月考）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）将两边平方，得，由余弦定理可得，进而求得； （2）①由三角形面积公式，结合正弦定理可求得，代入，可得，从而得到的周长. ②根据正弦定理、同角三角函数平方关系和三角形边角关系得到，的值，利用二倍角公式和两角和的正弦公式计算得到答案. 【详解】（1）由两边平方，得， 由余弦定理得，又，所以. （2）①由，得. 由及正弦定理，得，所以， 所以，又，所以. 所以的周长为. ②根据上述分析可知，，， 由正弦定理，因为，所以是锐角， 所以，可得 ， 计算可得. 【例1-2】（2026·天津·月考）在中，角所对的边分别为，已知，，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和，诱导公式，正弦定理即可求解； （2）利用余弦定理即可求解； （3）利用正弦定理，余弦定理，同角的商数关系，正切和角公式即可求解． 【详解】（1）已知，由三角形内角和， 得，代入得： 由正弦定理，即，代入上式： ，又，故，即， 又，得； （2）已知，则，且，， 由余弦定理，代入得： ，化简： ，解得： ，故； （3）由，得， 由正弦定理，即， 由余弦定理， 故， 又，则，由正切和角公式：， 代入， 得 （1）已知两角及一边求解三角形； （2）已知两边一对角；. （3）两边一对角，求第三边. 【变式1-1】（2026·天津武清·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据题设，由正弦定理及两角和的正弦公式化简可求得，进而求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理，得， 则， 则， 在中，，则，即， 又，所以，则. 故答案为：. 【变式1-2】（2026·天津·调研）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理及诱导公式化简等式，即可求得； （2）由余弦定理即可解得，然后得到； （3）由正弦定理求得，判断的范围求得，从而求得，，由和角公式求得的值. 【详解】（1）因为 由正弦定理有①. 又因为，所以代入①式有. 又因为三角形内角，因此，所以. （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得或（舍去），故； （3）由正弦定理，且，，， 得， 由于，则为锐角，故， 故， ， 故 . 【变式1-3】（2026·天津·月考）在中，已知，且，则 ． 【答案】2 【分析】利用正弦定理得，结合数量积的定义即可求解. 【详解】由正弦定理得：，由， 所以，即，所以， 故答案为：2. 题型02 余弦定理的应用 【例2-1】（2026·天津滨海新·月考）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求的值； (2)若，求 （ⅰ）的值； （ⅱ）的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）将条件变形可得，根据余弦定理代入求解，即得答案. （2）（ⅰ）由（1）得，根据同角三角函数的关系，可得的值，由条件计算即得答案. （ⅱ）由（ⅰ）得，由二倍角公式求得的值，结合角A的范围，可得的值，根据两角和的余弦公式，展开代入计算即得. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得. （2）（ⅰ）由（1）得，且， 所以， 因为，所以； （ⅱ）由（ⅰ）得，所以， 因为，所以， 由正弦定理可得，可得，故， 因，则，，故， 所以. 【例2-2】（2026·天津西青·月考）在中，角，，所对的边分别为，，.已知. (1)求的大小； (2)当，时， （i）求边长； （ii）求的值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解. （2）（i）利用余弦定理直接求解；（ii）利用正弦定理、二倍角公式及和角的正弦求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 即，而，则， 所以. （2）（i）由（1）知，，而，， 由余弦定理得， 所以. （ii）由正弦定理，得， 而为锐角，则，，， 所以. (1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边. (2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值， 若余弦值 【变式2-1】（2026·天津南开·联考）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式化简即可。 （2）余弦定理求出的值即可. 【详解】（1）由题可知， 所以， 即， 又因为 所以. （2）由余弦定理且，， 得. 所以. 【变式2-2】（2026·天津·开学考试）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先分析题意，利用正弦定理进行边角互化，进而通过特殊角的余弦值求解即可. （2）通过余弦定理列出方程，求解关键边长，进而求出三角形面积即可. （3）通过正弦定理判断角为锐角，利用二倍角公式结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得， 可得， 得到，即， 显然，则， 又，可得. （2）， 由余弦定理可得，整理可得， 又，解得， . （3）由正弦定理得，则， ，即，则，故为锐角， ， ，， . 【变式2-3】在中，角所对的边分别为，且. (1)求角： (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，再利用两角和的正弦公式进行化简即可求解； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得. 因为， 所以，即. 又，所以，即， 因为，所以. （2）因为，所以. 由余弦定理得，即， 即，可得， 所以的周长为. 题型03 三角形周长定值与最值 【例3-1】（2025·天津滨海新·调研）在中，的内角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若，且，求周长； (3)如图，若，动点分别在线段上运动，且，求的最小值. 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式的逆运用可求得； （2）由已知条件可得，在中利用余弦定理可得，再由，可知为正三角形，可求得其周长； （3）建立平面直角坐标系，得出关于的表达式，并根据二次函数性质计算可得其最小值. 【详解】（1）由和正弦定理，可得； 即， 又，所以， 可得，故. （2）由可得，又，， 所以，； 在中，由余弦定理可得， 整理可得，解得或（舍）； 在中，由，可知为正三角形， 故周长为9. （3）由可得，且； 以点为坐标原点，所在直线为轴，过点作垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 设与轴交于点，因可得，因此，； 则，可得 因为动点分别在线段上运动，所以， 因； 则； 所以 ， 显然当时，取得最小值. 【例3-2】（2025·天津·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若的面积为，且，求的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解法1：根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式化简求解即可.解法2：根据余弦定理化角为边，然后再利用余弦定理求解即可. （2）由得，然后根据正弦定理得，然后利用二倍角公式求得，最后利用两角和的正弦公式求解即可. （3）利用面积公式求得，再由余弦定理得，结合已知求得，即可求得周长. 【详解】（1）解法1：因为， 由正弦定理得 即， 因为，则，故； 解法2：因为， 由余弦定理得， 整理得，可得， 由余弦定理可得. （2）因为，且，则， ， ， . ， ， . （3）， 因为由余弦定理得， 于是， 因为，则，所以， 因此，于是的周长. 1、基本不等式 核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围； 2、利用正弦定理化角 核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围. 【变式3-1】（2026·天津红桥·开学考试）在中， 内角，，所对的边分别是，，， 已知. (1)求的值； (2)求； (3)若，的周长为， 求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系及三角恒等变换公式计算即可得； （3）借助余弦定理及面积公式计算即可得. 【详解】（1）， 则，故； （2）由，则，则， ； （3）由余弦定理可得， 又，则， 即，则. 【变式3-2】（2025·天津南开·模拟预测）在中，． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用商数关系得到，再利用三角形的性质和正弦的和角公式，即可求解； （2）根据条件，利用三角形面积公式，得，再由余弦定理可得，即可求解. 【详解】（1）由，可得， 整理得． 则， 即， 所以．由，故， 又，所以． （2）设的内角所对的边分别为， 由（1）知，则的面积，得到， 因为，由余弦定理， 得，得到，所以， 所以的周长为． 【变式3-3】（2025·天津河北·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理的边角互化并化简得，结合角的范围即可求解； （2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从而可得，即可得到结果. 【详解】（1），由正弦定理可得， 因为，所以，则，即， 因为，所以. （2）因为，所以，所以. 由余弦定理可得， 即，所以. 所以. 则的周长为. 题型04 三角形面积定值与最值 【例4-1】（2026·天津·月考）已知． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)已知锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用诱导公式先化简，再利用三角恒等变换化简得，利用正弦型函数求周期和单调减区间即可求解； （2）先求，再利用余弦定理和基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意有：， 所以， 令，解得， 所以的单调递减区间； （2）由，即， 又，所以， 所以，即， 由余弦定理得：，即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的面积的最大值为. 【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知且. (1)求； (2)若的外接圆半径为，周长为，且，求. (3)若，求面积的最大值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由切化弦及和角正弦公式得，再利用正弦定理化简求解. （2）利用正弦定理边化角求得，再利用三角恒等变换求解. （3）利用余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，进而求出面积最大值. 【详解】（1）在中，， 依题意，，由正弦定理得． 而，则，又，所以. （2）的外接圆半径为，由正弦定理得，，， 由，得，而， 于是， 则，由，得，因此，所以. （3）由余弦定理得，当且仅当时取等号， 的面积， 所以面积的最大值为. 1、三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 2、三角形面积最值： 核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式. 3、三角形面积取值范围： 核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围. 【变式4-1】（2026·天津西青·调研）在中，角所对的边分别为．已知，． (1)求的值； (2)当时， （i）求的值和的面积； （ii）求的值． 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理角化边可直接求得； （2）（i）利用余弦定理可构造方程求得的值，结合三角形面积公式可求得； （ii）利用余弦定理可得，由同角三角函数关系可得，结合二倍角公式、两角和差正弦公式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：，又，. （2）（i）由余弦定理得：， ，即，解得：（舍）或， ，， . （ii）由余弦定理得：， ，， ，， . 【变式4-2】（2026·天津河北·调研）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理即可求解， （2）根据同角三角函数关系，结合正弦定理和面积公式即可求解， （3）根据二倍角公式以及和差角公式即可求解. 【详解】（1）因为，，，由余弦定理得，，解得. （2）因为，，， 由正弦定理得，，， 所以的面积. （3）因为，所以是锐角，，， ，， 所以. 【变式4-3】（2025·天津河北·调研）在中，内角所对的边分别为．已知，，． (1)求的值； (2)求c的值和的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据平方关系可得，进而结合正弦定理求解即可； （2）由余弦定理可得，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意，， 由，则，解得. （2）由， 解得或（舍去）， 则. 题型05 角平分线问题 【例5-1】（2025·天津南开·一模）已知点是双曲线的图象上第一象限的任意一点，、分别为的左右焦点.直线，直线交轴于点. (1)已知轴，求直线方程； (2)求证：直线为的角平分线； (3)若直线交于另一点，且，求直线和直线斜率之积. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由条件可得点的坐标，代入直线的方程，即可得到结果； （2）分别表示出以及，然后在与中由正弦定理可得，即可证明； （3）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，再由可得，由斜率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题知， 因为轴，在第一象限，所以，将代入双曲线方程可得， 所以直线方程为，整理可得， （2）因为， ， ， 又直线，所以，则，， 所以，，所以， 在中，①， 在中，②， 又，联立①②可得， 因为， 所以，所以直线为的角平分线. （3） 设点，则，设直线方程为， 联立直线与双曲线方程可得，消去可得， 由韦达定理可得， 则，则， 所以， 由已知， 即，解得（舍）或， 代入双曲线，则， 由可得， 所以. 【例5-2】（2025·天津滨海新·联考）在中，是的中点，.则的大小为 ；为的角平分线，在线段上，则的长度为 . 【答案】 【分析】以为基底表示出向量，再由以及向量数量积的运算律计算可得，由角平分线利用等面积法列方程即可解得. 【详解】如下图： 由是的中点可得， 又， 所以 ， 解得，又， 所以； 因此可得， 由可得； 即，解得. 故答案为：； 1.角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， 内角平分线定理： 核心技巧：或 2，等面积法 核心技巧 3.角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 【变式5-1】（2025·天津·一模）已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. （2）①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 【变式5-2】（2025·天津·联考）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用向量性质得，平方后求得，再由余弦定理求得，由角平分线定理求得，然后由余弦定理求得后在中计算出． 【详解】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，， 故选：B． 【变式5-3】（2025·天津·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小： (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理，边化角，然后化简计算即可： （2）先利用余弦定理解出，，然后利用正弦定理计算出角与角，然后利用两角和差公式计算即可； （3）先利用等面积法得到，因为，再由正弦定理可知，然后计算出的值即可. 【详解】（1）由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； （3）因为，是角平分线，即， 因为， 所以，由正弦定理可知， 所以，所以， 整理可得， 又因为，且， 即，解得. 题型06 中线问题 【例6-1】（2026·天津滨海新·月考）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求角C的大小； (2)若，求； (3)若，，求边上中线的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后借助两角和的正弦公式计算即可得； （2）借助正弦定理计算可得，即可得，再利用两角差的余弦函数及二倍角公式计算即可得解； （3）由正弦定理可得，余弦定理可得，再利用中线性质结合向量数量积公式计算即可得. 【详解】（1）由， 则 ， 故， 又，故，则， 故，又，故； （2）由，则，则， 由，则，故，则， 则 ； （3）， 则， ，则， 又， 则， ，故. 【例6-2】（2025·天津·月考）已知锐角的内角所对的边分别为，向量 ，，且 . (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值； (3)若，边上的中线长为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理角化边可得结果. （2）利用面积公式可得，根据余弦定理结合基本不等式可得结果. （3）根据条件可得，等式两边同时平方可求得的值. 【详解】（1）∵，，且 ， ∴，故， ∵，∴，故， ∵，∴. （2）∵的面积为，∴，即，故. 由余弦定理得，， 当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，符合题意， ∴，即的最小值为. （3）    ∵为边上的中线，∴， ∴，即， ∴，即，解得或（舍）， 此时，为等边三角形，符合题意， ∴. 1、中线： 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， 1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： 1.2角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 【变式6-1】（2025·天津滨海新·联考）在中，角的对边分别为 (1)求； (2)若，，且，边上的两条中线，相交于点G，求的余弦值； (3)若为锐角三角形，，且外接圆圆心为O，求和面积之差的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先利用平方关系，再利用正弦定理角化边，再由余弦定理求角即可； （2）先利用正弦定理求角，再用内角和定理求角，然后再由正弦定理求，这样就可以用余弦定理直接求两条中线长，再借助重心性质和余弦定理求角余弦值即可； （3）先利用圆心角性质，结合外接圆半径，来表达面积之差，最后转化到角的正切值上来，构造出一个二次型函数来求最大值即可. 【详解】（1）由变形得： ， 再由正弦定理角化边得：， 再由余弦定理可得，即， 因为，则； （2）由正弦定理得：， 由于，所以，即， 根据内角和定理可得：， 再由正弦定理可得， 由余弦定理得：， ， 又由为三角形的重心，所以有，， 又由中位线可知， 再由余弦定理得：； （3）设三角形外接圆半径为，则有， 由圆的性质可知 由和面积之差为 ， 当时，和面积之差取到最大值. 此时，仍满足锐解三角形条件. 【变式6-2】（2024·天津河西·模拟预测）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． (1)求中线AM的长； (2)求的余弦值； (3)求面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用中线长的向量表达式，结合数量积定义可解； （2）转化为向量夹角余弦值可解； （3）运用重心的性质，结合面积公式可解. 【详解】（1）因为为BC的中点，， ， . （2）因为 , ， . （3）为中线的交点，为重心， ， ，， . 【变式6-3】（2025·天津·模拟预测）在中，满足． (1)求； (2)若，边BC上的中线，设点为的外接圆圆心． ①求的周长和面积： ②求的值． 【答案】(1)； (2)①周长为，面积为；②13. 【分析】（1）由已知及正弦定理边化角，借助和角的正弦理解即得. （2）①由中点向量公式、余弦定理、三角形面积公式列式计算即得；②边的中点分别为，利用数量积的运算律并结合圆的性质计算即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则， 显然，因此，， 则，得，解得， 所以. （2）①由边BC上的中线，得，两边平方得， 则，即， 在中，由余弦定理，得，解得， 因此，所以的周长为，面积为. ②令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心，得， ， ， 所以.    1．（2025·天津武清·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求C的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由余弦定理可得答案； （2）由正弦定理可得答案； （3）由平方关系求出，再利用两角和的余弦展开式化简可得答案. 【详解】（1）由余弦定理， 得， 又因为，所以； （2）因为，由正弦定理，得； （3）因为，所以，所以， 所以, . 2．（2025·天津·二模）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且面积， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围，可求的值． （2）（ⅰ）由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而可求的值，根据余弦定理可得的值；（ⅱ）由余弦定理求得，进而可得，再根据两角差余弦及二倍角公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，可得：， 由正弦定理可得：， 可得：， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以 （2）（ⅰ）因为，且， 解得：，， 由余弦定理可得：，解得： ； （ⅱ）由余弦定理可得， 所以，，， 所以. 3．（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简可得，再由同角三角函数的基本关系即可得出答案； （2）由正弦定理可求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由正弦定理即可得出答案. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即． 因为，，所以，． 由，得， 因为，所以． （2）由正弦定理，可得． 又， 由正弦定理，可得． 4．（2025·天津北辰·三模）在中，角所对的边分别为.满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为. ①求的值； ②求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）①利用余弦定理及三角形面积公式列出方程组求解；②利用余弦定理、二倍角及和角的正弦公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，又， 所以. （2）①在中，， 由（1）及余弦定理得，即， 又，即，而， 所以. ②由余弦定理得 而，则， ， . 5．（2025·天津河西·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，，． （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ） 【分析】（1）根据正、余弦定理化简计算可得，即可求解； （2）（i）根据三角形的面积公式和余弦定理计算可得、，即可求出；（ii）根据正弦定理求出，结合同角的平方关系和二倍角的正弦公式计算即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，， 由，得， 由正弦定理，得， 则，又，所以， 又，所以． （2）（ⅰ）由（1）知，，得①． 由余弦定理，所以②． 由①②，得，解得， 由，解得，． （ⅱ）由正弦定理，所以， 为锐角，， ． 6．（2025·天津·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. (1)求边b的长； (2)求C的正切值； (3)求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由余弦定理求解即可； （2）构造直角三角形，计算边长即可求解C的正切值； （3）由（2）可求出C的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1）由余弦定理得 （2）过点作于点，在中， ， 在中，， （3）由（2）可知 因为，， 7．（2025·天津和平·三模）在中，角、、所对的边分别为、、，，， (1)求角的大小； (2)求的值与的面积； (3)求的值． 【答案】(1)(2)，(3) 【分析】（1）利用辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由正弦定理得出，结合余弦定理求出、的值，再利用三角形的面积公式即可求出的面积； （3）利用余弦定理求出的值，结合同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的正弦公式可求出的值. 【详解】（1）由可得，可得， 因为，则，所以，解得. （2）由正弦定理，有，所以， 由（1）知，由余弦定理得， 解得，， 所以的面积为. （3）由余弦定理可得， 所以， 所以 . 8．（2025·天津滨海新·三模）在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）方法一：结合题设，根据余弦定理及正弦定理求解即可； 方法二：结合题设，根据正弦定理及两角和的正弦公式求解即可； （2）由余弦定理先求出，再结合平方关系求解即可； （3）结合二倍角公式先求出，，结合正弦定理求出，再结合平方关系求出，进而根据两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）方法一：由， 根据余弦定理可得，， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. 方法二：由， 根据正弦定理可得，，则， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. （2）由余弦定理可得， 又因为，可得. （3）由（2）知，，， 则，， 由正弦定理，则，即， 又，则，所以， 所以. 9．（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求c的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）应用正弦边角关系及已知可得，再由余弦定理求边长； （2）根据已知得，再由正弦定理求； （3）由（2）及已知有，再应用二倍角正余弦公式及和角正弦公式求. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系得，又，则， 由余弦定理有，则； （2）由且，则， 由正弦定理，则； （3）由上，故为锐角，则， 所以，， 所以. 10．（2025·天津·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为． (1)求a的值； (2)求； (3)求的值． 【答案】(1)的值为6(2)(3) 【分析】（1）由已知利用余弦定理可得，解方程即可得解的值． （2）由正弦定理即可得解的值． （3）由已知利用余弦定理可求的值，利用二倍角公式可求，，进而根据两角差的余弦公式即可求解的值． 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理，可得， 可得，解得，或（舍去）， 即a的值为6． （2）由正弦定理，可得； （3）因为， 所以，， ． 11．（2025·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用正弦定理化简，得，再利用余弦定理进行计算即可求解； （2）由（1），结合，解得，再利用正弦定理计算即可求解； （3），进而利用倍角公式和和差公式进行求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得， 又，故． （2）由（1）知，又，得， 由正弦定理可得， 又，解得． （3）因为，所以，故． 所以． 所以 ． 12．（2025·天津红桥·二模）在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 若 且 (1)求cosB； (2)求a的值; (3)求 的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由题意可得出，再由正弦定理和二倍角的正弦公式求解即可； （2）由余弦定理可得，解方程即可得出答案； （3）利用同角的正余弦公式可求得，再求得，进而利用两角差的正弦公式可求得. 【详解】（1）因为所以 由正弦定理可得：所以. （2）由余弦定理可得：， 所以，解得：或， 因为所以. （3）因为，所以，所以， ， ， 所以. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $