精品解析：陕西省榆林市高新区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025～2026学年度第一学期期末质量检测九年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则锐角（ ） A. 30° B. 45° C. 50° D. 60° 4. 如图，四边形内接于，若，则度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E），若轴，点D的坐标为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知点、是反比例函数（为常数，且）的图象上的点，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，点E在边上，连接并延长交的延长线于点F．若，，则的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 24 8. 如图，抛物线（a、b、c为常数，且）与x轴交于点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、是抛物线上的点，则；④若关于x的一元二次方程没有实数根，则．其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 孙敬是成语悬梁刺股中典故人物之一，孙敬“悬梁”在灯下读书影子是_____投影．（填“中心”或“平行”） 10. 正九边形的中心角等于______度． 11. 如图，某试验小组要在长25米，宽22米的矩形试验田中开辟一横一纵两条等宽的小道，使得剩余部分（即阴影部分）的面积是460平方米，若设每条小道的宽为x米，则根据题意可列方程为____． 12. 如图，是直径，弦于点E，连接，若，，则的面积为____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点C、D在x轴负半轴上，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，且的面积为4，则k的值是_____． 14. 如图，在正方形中，点是边上的动点（不与端点重合），连接，以为边在右侧作矩形，使得点在边上，若，则线段的最大值是______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算；． 16. 解方程：2x2﹣5x﹣7＝0． 17. 将抛物线（m为常数）向左平移2个单位长度，得到的新抛物线经过点，求m的值． 18. 如图，已知是的直径，请你用尺规作图法在上找一点C，使得劣弧所对的圆周角为，且点C在的上方．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，正方形对角线交于点O，点E、F分别在上，连接，，求证：． 20. 陕北说书既有浓厚的地方色彩，又具有广泛的社会影响力，堪称民间艺术的瑰宝.娜娜和晓月计划去观看陕北说书节目，她们制作了一个如图所示的可自由转动的转盘，将转盘平均分成四份，并在扇形中分别标上曲目A.《观灯记》、B.《杨家将》、C.《翻身记》、D.《宜川大胜利》，娜娜先转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的曲目，然后晓月再转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的曲目，根据两人转到的曲目名称一起观看节目．（若指针指在分割线上，则重转） （1）娜娜转到曲目B.《杨家将》的概率为_____； （2）请用列表法或画树状图法，求她们最终观看曲目A.《观灯记》和D.《宜川大胜利》概率． 21. 某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防受伤．已知本次可采购的护腕数量y（单位：副）与每副护腕的采购费用x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当每副护腕的采购费用为8元时，本次可采购的护腕数量为20副． （1）求y关于x的函数表达式； （2）为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用为10元，请问可以采购多少副护腕? 22. 项目式学习． 背景 文昌阁，俗称“四方台”，位于陕西省榆林市，始建于清代乾隆十九年（1754年）．小华在假期利用所学知识测量了文昌阁的高度（如图）． 素材 首先，小华在地面上的点C处用测角仪（高度忽略不计）测得文昌阁顶端A的仰角；随后，小华从点C处沿方向移动7.5米到达点D处（即米），在点D处竖立一根高为1.6米的标杆，某一时刻，文昌阁在太阳光下的影子顶端与标杆在太阳光下的影子顶端重合于地面上的点F处，用皮尺测得米． 说明 点B、C、D、F在同一直线上，，，图中所有点均在同一平面内． 问题 求出文昌阁的高度．（参考数据：，，） 23. 如图，在中，，平分交边于点D，点E在线段上，延长至点F，使得，连接． （1）四边形是菱形吗?请说明理由； （2）若，，，求的长． 24. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，延长至点F，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 蔬菜大棚是一种具有保温性能的框架结构，某劳动基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和支柱构成（如图），抛物线最高点E到地面的距离为，以所在直线为x轴．过点E且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，已知点是的中点，，，，． （1）求图中抛物线的函数表达式； （2）为了安全，需要对大棚进行加固，工作人员准备在大棚上安装矩形“支撑架”，点P、Q在抛物线上，点M、N在x轴上．当时，求“支撑架”的总长度（即矩形的周长）． 26. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，，于点D，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，点E为矩形内一点，连接，，过点E作于点F，连接，，过点E作于点H，若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，某城市中心有一个正方形市政广场，以广场的边为直径规划了一个圆形地下管线区域（即），负责广场的电力与通信传输.工程队在广场边上设置了电力接口点E，沿铺设地下电缆，该电缆与圆形管线区域交于点F.广场的对角线是主要的地下综合管廊，这条管廊分别与电缆、圆形管线区域相交于H、G两点．经工程测量，，且管廊段的长度为600米，请你帮助工程队计算管廊段的长度，以确定后续管线铺设的工程量．（电力接口的大小以及地下电缆、管廊的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末质量检测九年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由方程根的定义，将代入方程即可得代数式的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴代数式的值为5． 故选：B． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，的俯视图是， 故选：C． 3. 若，则锐角（ ） A. 30° B. 45° C. 50° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】根据解答即可． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴60°． 故选：D． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况，要熟练掌握特殊锐角的三角函数值是解答的关键． 4. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答． 【详解】解：根据圆的内接四边形对角互补可知：， 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E），若轴，点D的坐标为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握以上性质和定义． 根据位似图形的性质得出相等的角，根据点坐标确定直角边的长度，然后根据锐角三角函数比求解即可． 【详解】解： ∵与关于原点O位似， ∴， 又∵轴， ∴， ∵点D的坐标为， ∴， ∴， 故选：B． 6. 已知点、是反比例函数（为常数，且）的图象上的点，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查比较反比例函数值的大小，反比例函数 （为常数，且）在时，y随x增大而减小，因此通过比较x值大小即可判断y值大小． 【详解】解：∵点、是反比例函数（为常数，且）的图象上的点，且在时，y随x增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 7. 如图，在菱形中，点E在边上，连接并延长交的延长线于点F．若，，则的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质得出相等的边和平行线，证明，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，抛物线（a、b、c为常数，且）与x轴交于点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、是抛物线上的点，则；④若关于x的一元二次方程没有实数根，则．其中所有正确结论的序号为（ ） A ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，比较函数值的大小，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数图像和性质．①根据函数图象确定参数的取值范围即可；②根据对称轴确定参数之间的数量关系；③根据抛物线的图象特征确定函数值的大小即可；④根据对称轴和交点坐标确定参数之间的数量关系，然后借助函数图象确定一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴位于轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴，的对称点为， ∴， 当时，，故②正确； ③∵抛物线开口向上， ∴距离对称轴越远的点的纵坐标越大， 点距离对称轴的距离为， 点距离对称轴的距离为， ∵， ∴，故③错误； ④当时，， ∴， 当时，， 当时，一元二次方程没有实数根， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确选项为①②④， 故选：C． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 孙敬是成语悬梁刺股中典故人物之一，孙敬“悬梁”在灯下读书的影子是_____投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题主要考查了中心投影，解题的关键是掌握中心投影的定义． 点光源发出的光线形成的投影是中心投影． 【详解】解：灯作为点光源，光线从一点发散，因此孙敬在灯下读书的影子是中心投影． 故答案为：中心． 10. 正九边形的中心角等于______度． 【答案】40 【解析】 【分析】用度除以边数，即可求解． 【详解】解：正九边形中心角等于：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了正多边形中心角的计算，理解正多边形的中心角相等是关键． 11. 如图，某试验小组要在长25米，宽22米的矩形试验田中开辟一横一纵两条等宽的小道，使得剩余部分（即阴影部分）的面积是460平方米，若设每条小道的宽为x米，则根据题意可列方程为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，是解题的关键．设每条小道的宽为x米，根据长方形面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设每条小道的宽为x米，根据题意得： ， 故答案为：． 12. 如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，则的面积为____． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上定理． 根据垂径定理和勾股定理求出直角三角形的两直角边长度，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵于点E，且是的直径， ∴， 由勾股定理得，， ∴的面积为， 故答案为：30． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点C、D在x轴负半轴上，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，且的面积为4，则k的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 过点作轴于点，证明，得出四边形的面积等于的面积，然后根据面积确定参数即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴四边形的面积等于的面积， ∴， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，点是边上的动点（不与端点重合），连接，以为边在右侧作矩形，使得点在边上，若，则线段的最大值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】因得，在中，根据同角的余角相等得，可证明，由相似三角形的性质和二次函数可求线段的最大值． 【详解】解：四边形是正方形，四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 设，则， 即， 整理得：， ，且， 当时，， 线段的最大值是1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数求最值等相关知识，重点掌握三角形相似的判定与性质，难点是将相似三角形的相似比相等转化为二次函数解析式求最值． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算；． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，再根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 16. 解方程：2x2﹣5x﹣7＝0． 【答案】x1＝，x2＝﹣1． 【解析】 【分析】把方程左边进行因式分解（2x﹣7）（x+1）＝0，方程就可化为两个一元一次方程2x﹣7＝0或x+1＝0，解两个一元一次方程即可． 【详解】解：2x2﹣5x﹣7＝0， ∴（2x﹣7）（x+1）＝0， ∴2x﹣7=0或x+1＝0， ∴x1＝，x2＝﹣1． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确使用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键. 17. 将抛物线（m为常数）向左平移2个单位长度，得到的新抛物线经过点，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移规律，先理解题意，结合平移规律得新抛物线为，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度得到的新抛物线为， 将点代入中，得， 解得. 18. 如图，已知是的直径，请你用尺规作图法在上找一点C，使得劣弧所对的圆周角为，且点C在的上方．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—过一点作垂线，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理． 过点作即可，交于点． 【详解】解：如图，点C即为所求.（作法不唯一）， 此时，劣弧的度数为，根据圆周角定理即可得出劣弧所对的圆周角为． 19. 如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在上，连接，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据四边形是正方形，得，，又因为，故，得，即可作答． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴． 20. 陕北说书既有浓厚的地方色彩，又具有广泛的社会影响力，堪称民间艺术的瑰宝.娜娜和晓月计划去观看陕北说书节目，她们制作了一个如图所示的可自由转动的转盘，将转盘平均分成四份，并在扇形中分别标上曲目A.《观灯记》、B.《杨家将》、C.《翻身记》、D.《宜川大胜利》，娜娜先转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的曲目，然后晓月再转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的曲目，根据两人转到的曲目名称一起观看节目．（若指针指在分割线上，则重转） （1）娜娜转到曲目B.《杨家将》的概率为_____； （2）请用列表法或画树状图法，求她们最终观看曲目A.《观灯记》和D.《宜川大胜利》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求简单概率，通过列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法． （1）通过简单概率计算公式进行求解即可； （2）通过列表法进行求概率即可． 小问1详解】 解：娜娜转到曲目B.《杨家将》的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 晓月 娜娜 A B C D A B C D 由上表可知，一共有16种等可能的结果，其中她们最终观看曲目A.《观灯记》和D.《宜川大胜利》的结果有2种， ∴P（她们最终观看曲目A《观灯记》和D.《宜川大胜利》）． 21. 某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防受伤．已知本次可采购的护腕数量y（单位：副）与每副护腕的采购费用x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当每副护腕的采购费用为8元时，本次可采购的护腕数量为20副． （1）求y关于x的函数表达式； （2）为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用为10元，请问可以采购多少副护腕? 【答案】（1）y关于x的函数表达式为 （2）可以采购16副护腕 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质和应用，利用待定系数法求函数表达式，求函数值等，解题的关键是掌握反比例函数的性质． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据函数表达式求出函数值即可． 【小问1详解】 解：设y关于x函数表达式为， 由题意可知，当时，， 将代入中，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，则， ∴可以采购16副护腕． 22. 项目式学习． 背景 文昌阁，俗称“四方台”，位于陕西省榆林市，始建于清代乾隆十九年（1754年）．小华在假期利用所学知识测量了文昌阁的高度（如图）． 素材 首先，小华在地面上的点C处用测角仪（高度忽略不计）测得文昌阁顶端A的仰角；随后，小华从点C处沿方向移动7.5米到达点D处（即米），在点D处竖立一根高为1.6米的标杆，某一时刻，文昌阁在太阳光下的影子顶端与标杆在太阳光下的影子顶端重合于地面上的点F处，用皮尺测得米． 说明 点B、C、D、F在同一直线上，，，图中所有点均在同一平面内． 问题 求出文昌阁的高度．（参考数据：，，） 【答案】文昌阁的高度为19米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的判定与性质，先证明，得出，再解得，两式联立可求出为19米． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，① ∵，， ∴在中，，即，② 联立①②得， ∴文昌阁的高度为19米． 23. 如图，在中，，平分交边于点D，点E在线段上，延长至点F，使得，连接． （1）四边形是菱形吗?请说明理由； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）四边形AECF是菱形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和解直角三角形，掌握等腰三角形的性质，菱形的判定、直角三角形的边角关系及勾股定理等知识点是解决本题的关键． （1）先利用等腰三角形的性质，再利用“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”得结论； （2）先利用求出，再根据得结论． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵，平分， ∴，， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴． 24. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，延长至点F，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】本题主要考查了直径定理，圆的切线的判定和性质，等边对等角，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据等边对等角和圆周角定理得出相等的角，然后根据直径定理和角的等量代换得出直角，最后根据切线的定义即可得出结论； （2）根据两个相等角得出，得出对应边成比例，然后代数求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的半径为． 25. 蔬菜大棚是一种具有保温性能的框架结构，某劳动基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和支柱构成（如图），抛物线最高点E到地面的距离为，以所在直线为x轴．过点E且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，已知点是的中点，，，，． （1）求图中抛物线的函数表达式； （2）为了安全，需要对大棚进行加固，工作人员准备在大棚上安装矩形“支撑架”，点P、Q在抛物线上，点M、N在x轴上．当时，求“支撑架”的总长度（即矩形的周长）． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为 （2）“支撑架”的总长度为 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意得，点E，B坐标分别为，，利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）分别求出、的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：顶点E的坐标为，点B的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入中，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点P在第二象限，， ∴令，则， ∵点P的坐标为， 由抛物线的对称性可知：点Q的坐标为，， ∴，， ∴， ∴“支撑架”的总长度为． 26. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，，于点D，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，点E为矩形内一点，连接，，过点E作于点F，连接，，过点E作于点H，若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，某城市中心有一个正方形市政广场，以广场的边为直径规划了一个圆形地下管线区域（即），负责广场的电力与通信传输.工程队在广场边上设置了电力接口点E，沿铺设地下电缆，该电缆与圆形管线区域交于点F.广场的对角线是主要的地下综合管廊，这条管廊分别与电缆、圆形管线区域相交于H、G两点．经工程测量，，且管廊段的长度为600米，请你帮助工程队计算管廊段的长度，以确定后续管线铺设的工程量．（电力接口的大小以及地下电缆、管廊的宽度均忽略不计） 【答案】（1）证明见解析；（2）AB的长为；（3）的长度为 【解析】 【分析】（1）根据条件证明，利用对应边成比例即可得出结论； （2）借助（1）的结论求出，证明四边形为矩形，得出相关线段的长度，设，则，利用勾股定理，列方程求解即可； （3）连接，根据直径定理得出直角，根据正方形的性质得出直角和相等的边，设，利用勾股定理及（1）的结论表示出相关线段的长度，证明，利用对应边成比例进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴同（1）得：， ∵，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴的长为； （3）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， 设，则， ∵，， ∴同（1）得：， ∴（负值已舍去）， ∴由勾股定理得，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长度为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，直径定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $