精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期末考试 高二数学学科试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理逐项判断即可得. 【详解】对A：由是空间的一个基底，故不共面， 则不能由、表示出，故，，不共面，故A正确； 对B：有，故，，共面，故B错误； 对C：，故，，共面，故C错误； 对D：，故 ，，共面，故D错误. 故选：A. 2. 过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求斜率再由点斜式写出直线方程，最后求出截距即可. 【详解】由题知的斜率为，所以的方程为， 令，得. 故选：B. 3. 已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由根与系数的关系及等比中项的性质求. 【详解】数列为等比数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的中项性质得，则， 因为等比数列的偶数项的符号相同，，都是负数，所以. 故选：B 4. “”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先求出方程表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件，再进行判断. 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得， 所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件， 故选：A 5. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的定点，然后结合图像，确定临界条件，进而求出结果. 【详解】直线可转化为，所以直线过定点，斜率为， 又曲线可转化为：，. 画出直线与曲线图象如图所示. 数形结合可得直线在，处产生临界条件， 设直线，的斜率分别为，. 点，则，设直线的方程为， 即，圆心到直线的距离为，解得， 所以要使直线和曲线 有两个不同的交点，则. 故选：D. 6. 如图，正方体的棱长为4，G，E、F分别是，AB，BC的中点，P是四边形内一动点，若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以 为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，由直线与平面没有公共点得，代入配方求最值可得答案. 【详解】以 为原点，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    设， 则， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为直线与平面没有公共点，所以平面， 则，即，， 所以， 即当时，此时,取得最小值，最小值为. 故选：C. 7. 已知，是椭圆C：（）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据切线，三角形中位线结合椭圆定义，可以求出，，再用勾股定理找到，进而将化简为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 由题意，根据切线的性质可得，， 又为的中点，为线段的中点， 所以，所以； 所以，， 在中，，即， 则，整理得，所以， 即，所以， 当且仅当，即时，取得最小值. 故选：D. 8. 已知数列满足，，若对，，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得到，通过累加得到，再通过分参得到，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【详解】因为， 所以， 即，所以当时， ，所以，也满足， 所以，， 所以恒成立， 即， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以实数t的取值范围是， 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量线性坐标运算计算可判断A；根据空间向量模的坐标计算公式计算可判断B，根据空间向量数量积坐标运算可判断C；根据空间向量投影向量坐标运算计算可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D错误. 故选：AC 10. 分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列的性质及前项和性质进行求解． 【详解】设等差数列的公差分别为， 则， 所以是等差数列，A正确； ，故B错误； 设， 则， 又， 所以. 可设， 所以， 所以，故C正确； 成等差数列， 又， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 11. 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的弦AB过点F，点M在C的准线上，则（ ） A. 当直线AB的斜率不存在时， B. 存在三点A，B，M，使 C. 若，则直线AB的斜率绝对值为 D. 若存在点M使得为等边三角形，则直线AB的斜率绝对值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由 方程为，代入抛物线方程即可判断；对于B，由抛物线性质：以焦点弦为直径的圆与其准线相切，即可判断，对于C，由抛物线的定义以及斜率的定义，即可判断，对于D，设直线AB的方程为，联立抛物线方程，由等边三角形的性质列出等式求解即可. 【详解】依题意，抛物线C：的焦点为，准线方程为，设，，不妨设点A在第一象限， A： 方程为，则，，则，正确． B：由抛物线性质“以焦点弦为直径的圆与其准线相切”，故准线上任一点M都在以AB直径的圆外（或圆上）， 所以恒成立，错误（结论证明见下） 设AB的中点为D，A，B，D在准线上的投影分别为点，，， 由抛物线定义知，， ∴，故以AB为直径的圆（D为圆心，为半径）必与准线相切． C，如下图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作于点 ， 由，则和抛物线的定义得，， 所以，所以，此时， 根据对称性可知直线 的斜率为，即直线AB的斜率绝对值为，正确； D：设直线AB的方程为，代入抛物线方程：可得，， 设，，由韦达定理可得，，， 若为等边三角形，设A、B的中点为， 则，， 设，则，即， 则点到直线AB的距离， ∵，又， ∴，解得，即直线AB的斜率绝对值为，正确． 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 已知函数，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求出极限值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故答案为：8 13. 已知数列满足，且，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】观察递推式为分式的形式，通过取倒数将其转化为线性递推关系，构造等差数列可求得数列的通项公式，进而求解． 【详解】对的两边取倒数得， 所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式为，所以． 故答案为：． 14. 已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点 到该渐近线的距离为，过点 作倾斜角为的直线，与双曲线 交于 ，两点，记为坐标原点，则 的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求解双曲线与直线方程，联立方程求出 ，两点坐标，用向量法求解 的余弦值. 【详解】由题知，，解得， 所以双曲线，所以， 所以过点 作倾斜角为的直线方程为， 联立方程组，消去并整理得， 解得，，所以，， 所以直线与双曲线 交点的坐标为，， 所以，， 所以. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 设 . （1）求函数的定义域； （2）当时，求函数在点处的切线方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析出要使函数有意义，须满足真数，即可得解； （2）当时，确定的解析式，利用导数求出在处的斜率，即可求出切线方程. 【小问1详解】 要使函数有意义，须满足真数， 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 当时，，则， 所以，又， 所以函数在点处的切线方程为. 16. 已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【小问1详解】 依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 17. 已知圆 过点，圆心 在直线上，且圆 与轴相切． （1）求圆 的标准方程； （2）过点作圆 的切线，求此切线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用直线方程、圆的标准方程运算即可得解. （2）利用直线方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式运算即可得解. 【小问1详解】 解：由题意，圆心 在直线上，故设圆心， 由于圆 与轴相切，∴半径， 则圆 的方程为：， 又∵圆 过点， ∴，解得：， ∴圆 的标准方程为． 【小问2详解】 解：当切线斜率不存在时，因为圆心到直线的距离为 ， 所以是圆 的切线方程． 当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为， 即， 由直线与圆相切得，解得：， 因此过点与圆 相切的切线方程为，即， 综上知，过点圆 的切线方程为或． 18. 如图，已知平面四边形中， 为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为 ． （1）求直线 与平面所成角的正弦值； （2）在线段上是否存在一点 ，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）证明空间中三线两两垂直，建立空间直角坐标系，由线段长写出点坐标，然后利用空间向量的数量即求出平面法向量，由直线方向向量和平面法向量的数量积求得线面角的正弦值； （2）点 存在，设，即得到点 坐标，然后由线面垂直得到空间向量的数量积，解得即为的值. 【小问1详解】 ∵，， ∴，即，， 又∵二面角为直角，∴， ∴如图建立空间直角坐标系， ∵， 为的中点， ∴，，，，， 则，，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则， ， 设直线 与平面所成角为， 则. 【小问2详解】 存在这样的点 ， 设， ∵中点为 ，∴， 则， 当平面时，，解得， 即. 19. 已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点 在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点. （1）求双曲线 的方程； （2）过双曲线 的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点 ，使得为常数?若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，，理由： 由（1）可得，所以为 当直线 的斜率存在时，设 方程为：，， 则，所以，则 恒成立，所以， 假设在轴上是否存在定点 ，设，则 要使得为常数，则，解得,定点，； 又当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为，代入双曲线可得，不妨取， 若，则，符合上述结论； 综上，在轴上存在定点 ，使为常数，且. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率得关系，从而可得关系，即可得双曲线渐近线方程，不妨设，，确定点 为的中点代入双曲线方程可得与 的关系，再由的面积即可求得 的值，从而可得双曲线 的方程； （2）当直线 的斜率存在时，设直线方程与交点坐标，代入双曲线方程后可得交点坐标关系，设，满足为常数即可求得的值，并且检验直线 的斜率不存在时是否满足该定值即可. 【小问1详解】 由离心率，得，所以，则双曲线的渐近线方程为， 因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，，由于，则点 为的中点，所以， 又点 在双曲线上，所以，整理得： 因为的面积为8，所以，则， 故双曲线 的方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用交点坐标关系，假设在轴上是否存在定点 ，设，验证所求定值时，根据数量积的坐标运算与直线方程坐标转换可得，要使得其为定值，则与直线斜率无关，那么在此分式结构中就需满足分子分母对应系数成比例，从而可得含的方程，通过解方程确定的存在，使得能确定定点坐标的同时还可得到定值，并且要验证直线斜率不存在的情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末考试 高二数学学科试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 5. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方体的棱长为4，G，E、F分别是，AB，BC的中点，P是四边形内一动点，若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是椭圆C：（）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，若对，，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的弦AB过点F，点M在C的准线上，则（ ） A. 当直线AB的斜率不存在时， B. 存在三点A，B，M，使 C. 若，则直线AB的斜率绝对值为 D. 若存在点M使得为等边三角形，则直线AB的斜率绝对值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 已知函数，则______． 13. 已知数列满足，且，则 _____. 14. 已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点 到该渐近线的距离为，过点 作倾斜角为的直线，与双曲线 交于 ， 两点，记为坐标原点，则的余弦值为__________. 四、解答题（共77分） 15. 设 . （1）求函数的定义域； （2）当时，求函数在点处的切线方程 16. 已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和. 17. 已知圆 过点，圆心 在直线上，且圆 与轴相切． （1）求圆 的标准方程； （2）过点作圆 的切线，求此切线的方程． 18. 如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为 ． （1）求直线 与平面所成角的正弦值； （2）在线段上是否存在一点 ，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点. （1）求双曲线 的方程； （2）过双曲线 的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点 ，使得为常数?若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $