拓展03 导数与函数的零点问题（培优）（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第二册

拓展03 导数与函数的零点问题（培优） 教学目标 1.能够利用导数分析函数的单调性、极值(最值)，来确定函数的零点的存在区间及数量。 教学重难点 1.重点 （1）确定函数的零点的存在区间及个数； 2.难点 （1）会根据零点的个数求参数的范围； （2）利用根据极值(最值)求参数的范围。 知识点01 函数的零点与函数零点的判定 函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【即学即练】 1．若函数 在区间 上有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型01 判断（证明、讨论）函数零点的个数 【典例1】 函数的零点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1-1】已知在处取得极大值2，极小值点与相邻的零点的距离为1，则函数与图象的交点个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式1-2】已知函数，． (1)若函数与在处的切线平行，，求的极值； (2)当时，讨论函数零点的个数； 【变式1-3】已知函数，， (1)判断在上零点的个数并证明 题型02 已知零点（个数）求参数 【典例2】 已知函数，若函数至少存在2个不同的零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【变式2-2】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有三个不同的零点. （i）求实数的取值范围； 题型03 数形结合法研究函数的零点 【典例3】 设函数. (1)若，求函数的极值点； (2)设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）. 【变式3-1】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)判断的零点个数，并说明理由. 【变式3-2】已知函数． (1)讨论的单调性． (2)已知，函数，且仅有两个零点． ①求的取值范围； 题型04 利用极值（最值）研究函数的零点 【典例4】 已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【变式4-1】已知. (1)若，求函数的单调区间. (2)若在上存在零点，求实数的最大值. 【变式4-2】已知函数.当时，若函数有两个不同的零点，. (1) 求m的取值范围； 一、单选题 1．已知函数，若函数恰有三个零点时，（其中，为正实数），则的最小值为（    ） A．3 B．7 C． D．9 2．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象有公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．已知函数，，是自然对数的底数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的零点的个数； 5．已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 6． 已知，，，判断的零点个数． 7． 当时，讨论函数的零点个数． 8．已知函数，. (1)当时，求函数的值域； (2)当，时. ①判断函数的零点个数； 9．已知函数的导函数为. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若有三个不同的零点，求实数的取值范围. 10．已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数． (1)若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求a的取值范围； 11．已知，，是自然对数的底数. (1)当时，求函数的极值； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； 12．已知函数 . (1)当时，求曲线在处的切线方程 (2)证明： 有唯一零点 13．设二次函数，且函数图象与轴交于. (1)求函数的解析式； (2)求的图象在点处的切线方程； (3)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围； 14．设，，．已知函数的极小值为1． (1)求的值； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 15．已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上有1个零点，求证：； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展03 导数与函数的零点问题（培优） 教学目标 1.能够利用导数分析函数的单调性、极值(最值)，来确定函数的零点的存在区间及数量。 教学重难点 1.重点 （1）确定函数的零点的存在区间及个数； 2.难点 （1）会根据零点的个数求参数的范围； （2）利用根据极值(最值)求参数的范围。 知识点01 函数的零点与函数零点的判定 函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【即学即练】 1．若函数 在区间 上有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，判断的单调性和极值，根据有两解得出的范围. 【详解】令，则， 令，则由知， 在上，单调递减， 在上，，单调递增， 且，，， ∵，，∴， 所以若函数在上有两个零点， 则实数m的取值范围为． 故选：B． 题型01 判断（证明、讨论）函数零点的个数 【典例1】 函数的零点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】利用导数确定单调性，再利用零点存在性定理求得答案. 【详解】函数的定义域为，求导得， 函数在上单调递减，而， 所以函数有唯一零点，即零点个数为1. 故选：C 【变式1-1】已知在处取得极大值2，极小值点与相邻的零点的距离为1，则函数与图象的交点个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合求得答案. 【详解】依题意，，函数的最小正周期，解得，由， 得，而，解得，， 在同一坐标系内作出函数与图象，如图， 观察图象知，当时，，函数与图象的交点个数为8. 故选：C 【变式1-2】已知函数，． (1)若函数与在处的切线平行，，求的极值； (2)当时，讨论函数零点的个数； 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求解可得a的值，再根据极值与函数导数的关系，即可求解极值； （2）利用函数的导数判断函数的单调性，确定极值点，继而分类讨论a的取值范围，结合零点存在定理，即可判断函数的零点个数； 【详解】（1）由题意知，故，则， 由，得，则， 由函数与在处的切线平行，得， 此时，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得极小值，无极大值； （2）由（1）知， 因为，故时，，时，， 则在上均单调递增，在上单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，知在上有一个零点； 当时，在上无零点， 故在上仅有一个零点； 当时，在上有一个零点， ，故在上有一个零点， 此时在上有3个零点； 当时，在上有一个零点， 此时在上有2个零点； 综上，当时，在上仅有一个零点； 当时，在上有2个零点； 当时，在上有3个零点； 【变式1-3】已知函数，， (1)判断在上零点的个数并证明 【答案】(1)1个，证明见解析； 【分析】（1）首先得到的解析式，并通过导数研究它在上的单调性，判断值的正负，由零点存在性定理即可得到在上零点的个数； 【详解】（1）因为， 所以，则. 令，得或，由，得或； 故当在上变化时，，的变化情况如下表： 1 + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 根据上表知的极大值为， 又因为， ， 所以由零点存在性定理可知，函数g在上零点的个数为1个； 题型02 已知零点（个数）求参数 【典例2】 已知函数，若函数至少存在2个不同的零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究函数的极值，结合三次函数的图象与性质建立不等式组计算即可. 【详解】由，则， 若存在至少2个零点，由函数单调性可知，要同时存在极大值和极小值，故， 当时，令可得或， 令得，即在上单调递增， 在上单调递减，所以的极大值为，极小值为， 若要存在至少2个零点，则，解得. 故选：A． 【变式2-1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)的取值范围是. 【分析】（1）先确定函数定义域，求导并将导函数因式分解为，找到临界点和；再以临界点的大小关系和临界点是否在定义域内为分类依据，分，，，四种情况；最后分别判断导函数在各区间的符号，进而确定函数的单调区间； （2）结合（1）的单调性，求出不同参数范围下函数的极值，再分析和时的函数趋势（由主导项、决定），并根据“两个零点需满足极小值且两端点趋势为”的条件，筛出符合要求的参数范围；最后对，，的情况，通过分析极值符号排除不符合的参数范围，最终确定的取值. 【详解】（1）的定义域为， ， 若，恒成立，令，得， 则当时，；当时，． 若，令，得或（）， 则当时，；当时，． 若，，当且仅当时取等号， 则在上单调递增. 若，令，得或（）， 则当时，；当时，． 综上：当时，在单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无减区间； 当时，在，单调递增，在上单调递减． （2）由（1）得， ①当时，在单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 又因为当时，当时，所以符合； ②当时，，在上只有一个零点2，所以不符合； ③当时，在单调递增， 在上单调递减，， 令，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，则，所以， 则在上没有两个零点，所以不符合； ④当时，在单调递增，无减区间，不符合； ⑤当时，在，单调递增，在上单调递减， 因为，所以不符合． 综上：当时，有两个零点． 故的取值范围是. 【变式2-2】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有三个不同的零点. （i）求实数的取值范围； 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求，按照，，讨论求解； （2）（i）当时，函数有三个零点需要满足极大值且极小值，联立不等式组求解实数的取值范围. 【详解】（1）， ，， ，或， 当时，，的解为或， 的解为， 的单调递增区间为，单调递减区间； 当时，，的解为或， 的解为， 的单调递增区间为，单调递减区间； 当时，，的增区间为. 综上可知， 当时， 的单调递增区间为，单调递减区间； 当时， 的单调递增区间为，单调递减区间； 当时， 的单调递增区间为. 题型03 数形结合法研究函数的零点 【典例3】 设函数. (1)若，求函数的极值点； (2)设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）. 【答案】(1)函数的极大值点为，函数没有极小值点； (2). 【分析】（1）由题可得单调性，据此可得的极值点； （2）由，可得.令，由导数知识可得 大致图像，随后由图象与有2个交点可得答案. 【详解】（1）， 则. . 则在上单调递增，在上单调递减. 则在时取极大值； 所以函数的极大值点为，函数没有极小值点； （2）令，因， 则.令，则. 令，则， 从而在上递增，又注意到， 则， 则， 从而在上单调递减，在上单调递增， 又，可画出大致图象. 又在上有两个零点等价于图象与有2个交点. 则由图可得. 【变式3-1】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)判断的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用导数的正负，结合函数定义域，即可判断单调性； （2）利用分离参变量与数形结合，即可得到零点个数的判断. 【详解】（1）由，求导得：， 当时，，当或时，， 所以在,上单调递减，在上单调递增; （2）由得，，根据（1）的单调性结合极小值点， 可作出函数图象， 所以当，即时，可判断的零点个数为2； 当或，即或时，可判断的零点个数为1； 当，即时，可判断的零点个数为0， 综上可得：当时，的零点个数为2； 当时的零点个数为0；当或时，的零点个数为1. 【变式3-2】已知函数． (1)讨论的单调性． (2)已知，函数，且仅有两个零点． ①求的取值范围； 【答案】(1)答案见解析； (2)①； 【分析】（1）分类讨论m的取值结合导数研究函数的单调性即可； （2） ①通过同构将问题化为的零点个数，分别用导数研究的单调性，计算参数范围即可； 【详解】（1）由可知， 对于方程，若，即或， ①当时，有两个不等正实根， 此时在上，在上， 当，有两个不等负实根，此时在上， ②若时，恒成立，此时在上， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减； （2）当时，， 记，则， 显然时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，则， ①令，则， 记，则，所以在上单调递增， 所以，要与有交点，需， 又时，，时，， 所以时，与只有一个交点， 若，此时，则，不符合题意， 若，此时有两个解记为， 所以； 题型04 利用极值（最值）研究函数的零点 【典例4】 已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是. (2) 【分析】（1）利用导数求出函数在处的切线方程后结合其过点可求实数的值，再利用导数求出极值即可； （2）转化为方程有三个实数根，利用函数的单调性和极值，从而可求实数的取值范围. 【详解】（1）因为，故， 令，得，， 曲线在点处的切线方程为， 因为切线与轴相交于点， 将代入切线方程得， 即，. 即，， ，令，得或， 当或时，，故在，上单调递增； 当时，，故在上单调递减. 所以函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是； （2）由（1）知函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 故函数在处取得极大值，在处取得极小值， 因为函数有三个零点，即方程有三个实数根， 且当时，，当时，， 故，所以， 即实数的取值范围是. 【变式4-1】已知. (1)若，求函数的单调区间. (2)若在上存在零点，求实数的最大值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间即可； （2）问题化为与在上有交点，应用导数研究的单调性并求出值域，即可得范围. 【详解】（1）由题设，则， 当或，即在上单调递增， 当，即在上单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； （2）在上，令， 所以在上有解， 即与在上有交点， 由且， 所以，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当或，有，且， 所以，故最大的为. 【变式4-2】已知函数.当时，若函数有两个不同的零点，. (1)求m的取值范围； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，可化为，令，求导得，求其单调性，找到最小值，根据题意求m的取值范围即可； 【详解】（1）当时，可化为， 令，求导得， 令，因为，所以，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以的最小值为， 当时，；当时，， 函数有两个不同的零点，， 即与在上有两个不同交点， 所以的取值范围是； 一、单选题 1．已知函数，若函数恰有三个零点时，（其中，为正实数），则的最小值为（    ） A．3 B．7 C． D．9 【答案】D 【分析】将函数写成分段函数的形式，利用导数判断出函数的单调性，根据函数的图象与零点的关系可得的值，最后由基本不等式即可得结果. 【详解】， 当时，恒成立， ∴在上单调递减， ∴， 当时，为偶函数，在上单调递增，在上单调递减， ∴，即， 当时，恒成立，∴在上单调递增， ∴， 由此作出函数的草图如下所示， 由函数恰有三个零点，即与恰有三个交点， 所以，即， 又，， 所以 ， 即的最小值为9，当且仅当，时，等号成立， 故选：D. 2．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过求导确定函数的单调区间与唯一最小值点，将最小值用最小值点表示后，分析最小值的符号条件，结合最小值点的范围推导得实数的取值范围. 【详解】函数定义域为，求导得. 与均在上单调递增，故在上单调递增. 当时，；当时，， 故存在唯一零点，即，两边取对数得， 即. 在上单调递减，在上单调递增， 其最小值为. 令（），求导得， 故在上单调递减，且. 因为当时，；当时，， 所以恰有两个零点的充要条件是，即， 结合的单调性，得. 由，且在上单调递增，得. 故选：D 3．函数的图象有公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：函数图象有公共点得出方程有实根，再应用导函数得出单调性及最小值进而得出参数；法二：先设变量构造新函数，再应用导数得出最小值结合有解求参. 【详解】法一：函数，与图象有公共点，即关于x的方程有实根， 令，则， 令得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以； 为使关于x的方程有实根，只需，所以， 故选:C． 法二：由于，故令，即有解，等价于有解， 令，， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以， 故. 故选：C． 二、解答题 4．已知函数，，是自然对数的底数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的零点的个数； 【答案】(1)； (2)讨论见解析； 【分析】（1）代入，求导，求出，由导数的几何意义得到切线方程； （2）先讨论与，再讨论时，设，转化为与图像交点个数，对求导研究其单调性、图像，数形结合讨论零点个数； 【详解】（1）当时，，， ， 故曲线在点处的切线方程为. （2） 令，即， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当当时，，单调递减， 则极大值，极小值， 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 则当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点. 5．已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数计算研究函数的单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性及零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以当时，，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减， （2）易知，，， 当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增， 又， 所以当时，，所以； 又， 所以在上有零点． 又因为在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点. 6．已知，，，判断的零点个数． 【答案】 【分析】由可得，整理可得，令，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】由， 因为，，则，可得出，即，其中， 令，其中，则对任意的恒成立， 故函数在上单调递增， 因为，，即， 由零点存在定理可知函数在区间存在唯一的零点， 故函数在上有且只有一个零点，即函数只有一个零点. 7．当时，讨论函数的零点个数． 【答案】1 【分析】利用导数求得的单调性，再利用函数零点的判定规则即可求得的零点个数． 【详解】因为，当时，在上单调递增，故函数至多有一个零点． ，当时，有，故， 所以取，， 所以使有唯一零点. 即函数零点个数为1. 8．已知函数，. (1)当时，求函数的值域； (2)当，时. ①判断函数的零点个数； 【答案】(1) (2)①有且只有一个零点；②证明见解析 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的值域. （2）①把代入，利用导数，结合零点存在性定理判断得解； 【详解】（1）当时，，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，且当时，，当时，， 所以函数的值域为. （2）①当，时，，求导得， 函数在上单调递增，而， 所以函数有且只有一个零点； 9．已知函数的导函数为. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再参变分离，转化为与曲线有三个不同的交点，利用导数分析函数的图象和性质，最后数形结合计算求参； 【详解】（1）当时，，则， 所以，则， 所以的图象在点处的切线方程为，即. （2）由题知，， 因为有三个不同的零点， 所以方程有三个不等实根， 化简可得方程有三个不等实根， 即可看成直线与曲线有三个不同的交点， ， 所以当或时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图1所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为. 10．已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数． (1)若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，令，求得，对实数a的取值进行分类讨论，由题意可知，函数在内存在极值点，可得出关于实数a的不等式，解之即可； （2）分析可知，不满足，由可得，由题意可知，直线与的图象有2个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数a的不等式，解之即可； 【详解】（1）由，得， 记，所以， 当时，恒成立，为增函数，不符合题意； 当时，令，得，令，得， 即在上单调递增，在上单调递减， 因为在区间上不是单调函数，所以，解得， 即a的取值范围为． （2）方程， 当时，方程不成立，所以，则， 由方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点，且， 当或时，，在区间和上单调递减， 当时，，在区间上单调递增． 当时，，当时，， 则当时，且当时，取得极小值， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，，即， 故a的取值范围为． 11．已知，，是自然对数的底数. (1)当时，求函数的极值； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； 【答案】(1)极小值为0，无极大值. (2) 【分析】（1）把代入函数中，并求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的极值. （2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可. 【详解】（1）当时，，定义域为，求导可得， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为0，无极大值. （2）方程， 当时，显然方程不成立， 所以，则， 方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点， ， 当或时，， 在区间和上单调递减， 并且时，，当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得最小值，， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，， 故的取值范围为. 12．已知函数 . (1)当时，求曲线在处的切线方程 (2)证明： 有唯一零点 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求，根据导数的几何意义即可求切线方程； （2）分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理即可判断零点； 【详解】（1）由题意有，所以，时， 所以，即， 所以切线方程为； （2）当时，，所以在上无零点， 因为，所以在上单调递增， 所以在上至多一个零点， 当时，有一个零点1， 当时，因为， 所以有唯一的零点； 13．设二次函数，且函数图象与轴交于. (1)求函数的解析式； (2)求的图象在点处的切线方程； (3)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围； 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题意建立等式计算即可求解； （2）求导，根据导数的几何意义求解即可； （3）根据二次函数在闭区间上有解列不等式计算即可求解. 【详解】（1）由函数的图象与轴交于可得， 由可得，解得， 所以函数； （2）由（1）可知， 求导可得， 所以函数在点切线斜率为， 故切线方程为； （3），在上有两个不同零点， 需满足：① 判别式；② 对称轴在区间内；③ 区间端点函数值非负； 所以，解得或； 对称轴为，故，即； （恒成立）；，解得； 综上，. 14．设，，．已知函数的极小值为1． (1)求的值； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）求导之后，讨论单调性，再根据题设条件列式即可求解; （2）研究的单调性，极值的符号，再结合零点存在性定理的推论即可求解. 【详解】（1）的定义域为，． 当时，恒成立，在上单调递增，无极小值； 当时，令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的极小值为，即． 综上，． （2）． 当时，，在上单调递增，至多有一个零点． 当时，． 令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的最小值为． 设，． 令，；令，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以的最大值为． 当时，，只有一个零点； 当时，，又，． 所以有两个零点； 当时，， 由①知，当时，对，恒成立，又， 所以有两个零点； 综上：或 【点睛】方法点睛：用导数处理含参函数零点问题应从三方面入手，一是研究函数的单调性，二是极值（或最值）的符号，三是如果在区间端点处无定义或端点是无穷大趋向于端点时的变化趋势，此时通常要结合零点存在性定理来说明零点的个数 15．已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上有1个零点，求证：； 【答案】(1)的单调增区间为，减区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）求导函数，判断导数的正负可得解； （2）求导，分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数的图象，即可得证； 【详解】（1）当时，，，则， 令，得，令，得， 所以的单调增区间为，减区间为. （2）由， 当时，由，得， 所以，在上是单调增函数，且图象不间断， 又，所以当时，， 所以函数在区间上没有零点，不合题意. 当时，令，得， 若，则，故在上是单调减函数， 若，则，故在上是单调增函数， 当时，， 又， 所以函数在区间上有1个零点，符合题意．      综上所述，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $