拓展02 导数与不等式含恒成立与存在问题（培优）（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第二册

本讲义聚焦导数与不等式中的恒成立、存在问题，系统梳理分离变量法（分参后最值关系）、分类讨论法（标准如导数零点、极值点大小）、等价转化法（双变量最值关系）的递进知识脉络，构建从基础方法到综合应用的学习支架。 资料特色在于分层设计知识点与题型，通过即学即练和典例变式强化应用。以分类讨论中“导数零点存在与否”的逻辑推理培养数学思维，等价转化中“双变量问题的符号表达”发展数学语言，课中助力教师系统授课，课后学生可通过综合练习查漏补缺。

拓展02 导数与不等式含恒成立与存在问题（培优） 教学目标 1.认识什么是恒成立、能成立问题。 2.运用恰当的方法解决这些问题。 3.会利用导数研究恒成立和能成立问题 教学重难点 1.重点 （1）根据恒成立或有解求解参数的取值，一般涉及含参分析讨论法，分离参数法； （2）利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2.难点 （1）利用可分离变量，直接把问题转化为函数的最值问题； （2）参变分离不易求解问题，要考虑利用分类讨论法，注意恒成立与存在性问题的区别； 知识点01 分离变量法解决恒(能)成立问题 (1)一般情况下，对于分参后的求解范围问题常有以下结论： ①a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min． ②a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max． (2)分离变量时注意不等号的方向是否发生改变． 【即学即练】 1．当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点02 分类讨论法解决恒(能)成立问题 分类讨论法解决恒成立、能成立问题时需要确定分类标准，做到不重不漏．一般情况下，分类时常考虑以下情况： (1)最高次项系数的正负情况(注意0)． (2)导数的零点存在与否(二次的一般用Δ)． (3)极值点的大小关系(分三种情况，包括相等)． 【即学即练】 1．已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； 知识点03 等价转化法解决恒(能)成立问题 (1)对条件进行变形，使变量相同(如都是x1)的在同一侧，观察是否可以构造一个函数，使左、右侧式子用该函数表示，进而转化为最值问题． (2)双变量的恒(能)成立问题 ①∀x1∈D，∀x2∈E，f(x1)≥g(x2)恒成立≥g(x)max． ②∀x1∈D，∃x2∈E，f(x1)≥g(x2)能成立≥g(x)min． ③∃x1∈D，∀x2∈E，f(x1)≥g(x2)能成立≥g(x)max． ④∃x1∈D，∃x2∈E，f(x1)≥g(x2)能成立≥g(x)min． ⑤∀x1∈D，∃x2∈E，使f(x1)＝g(x2)⇔f(x)的值域是g(x)的值域的子集． 【即学即练】 1．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型01 分离变量法解决恒成立问题 【典例1】 已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 【变式1-1】已知函数在点处的切线方程为. (1)求的值; (2)当时，，求的最大值. 【变式1-2】已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 【变式1-3】已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若对于任意总有，求实数的取值范围． 题型02 分离变量法解决能成立（有解）问题 【典例2】 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)函数，若在定义域内有解，求的范围． 【变式2-1】已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)设函数，若关于的方程在上有解，求的取值范围. 【变式2-2】已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)若有解，求的取值范围． 题型03 分类讨论法解决恒成立问题 【典例3】 已知函数. (1)讨论的单调区间和极值. (2)若，不等式的解集为，求的取值范围. 【变式3-1】已知函数. (1)若，求的最大值； (2)证明存在唯一的极大值点，且； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【变式3-2】已知函数． (1)若在处取得极值，求； (2)若当时，，求的取值范围． 题型04 分类讨论法解决能成立（有解）问题 【典例4】已知函数的图象的一条切线方程是. (1)求； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【变式4-1】已知函数 . (1)若 ，求不等式 的解集； (2)讨论函数 的单调性； (3)若不等式 在区间 上有解，求 的取值范围. 【变式4-2】已知函数的极值为. (1)求的值； (2)若，判断方程是否恒有解. 题型05 等价转化法解决问题 【典例5】 已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【变式5-1】已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式5-2】已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 一、单选题 1．设函数，若对任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．关于函数，下列判断正确的是（    ） ①是的极大值点； ②函数有且只有1个零点； ③存在正实数k，使得成立； ④对任意两个正实数，且，若，则． A．①④ B．②④ C．②③ D．③④ 3．已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 条件描述 等价最值关系 对任意，存在，使 对任意，任意，使 存在，存在，使 存在，任意，使 二、解答题 4．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：在上恒成立； 5．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； (3)对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 6．已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 7．已知函数，． (1)求在处的切线方程； (2)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； 8．已知函数的图象在处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)对，恒成立，求实数的取值范围． 9．已知函数. (1)当时，记函数的图像在处的切线与坐标轴围成的图形的面积为，求的最小值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 10．已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)若方程在上有解，求实数的取值范围. 11．已知函数，若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 12．已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 13．已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 14．已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 15．已知函数． (1)若存在实数，使得成立，求的最小整数值； (2)讨论在上的极值点个数． (3)，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围． 16．已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 17．已知函数，． (1)若函数在上的最大值为，求的值； (2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展02 导数与不等式含恒成立与存在问题（培优） 教学目标 1.认识什么是恒成立、能成立问题。 2.运用恰当的方法解决这些问题。 3.会利用导数研究恒成立和能成立问题 教学重难点 1.重点 （1）根据恒成立或有解求解参数的取值，一般涉及含参分析讨论法，分离参数法； （2）利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2.难点 （1）利用可分离变量，直接把问题转化为函数的最值问题； （2）参变分离不易求解问题，要考虑利用分类讨论法，注意恒成立与存在性问题的区别； 知识点01 分离变量法解决恒(能)成立问题 (1)一般情况下，对于分参后的求解范围问题常有以下结论： ①a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min． ②a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max． (2)分离变量时注意不等号的方向是否发生改变． 【即学即练】 1．当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式转化为不等式，构造函数，求导确定函数的单调性，从而根据不等式整数解的个数列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】当时不等式等价于： 设， 则， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以有两个正整数解2和3，则，解得， 故实数的取值范围是． 故选：C. 知识点02 分类讨论法解决恒(能)成立问题 分类讨论法解决恒成立、能成立问题时需要确定分类标准，做到不重不漏．一般情况下，分类时常考虑以下情况： (1)最高次项系数的正负情况(注意0)． (2)导数的零点存在与否(二次的一般用Δ)． (3)极值点的大小关系(分三种情况，包括相等)． 【即学即练】 1．已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求导，确定函数单调性即可求证； （2）求导，通过，，时，讨论单调性即可求解； 【详解】（1）当时，，, 则函数在单调递减 即． （2） ①当时，在上单调递减， 即，故原不等式不成立． ②当时，因为，所以， 即，显然原不等式成立． ③当时，存在，使得， 当在单调递增， 当在单调递减， 即， 由题意，可知，解得 综上所述：． 知识点03 等价转化法解决恒(能)成立问题 (1)对条件进行变形，使变量相同(如都是x1)的在同一侧，观察是否可以构造一个函数，使左、右侧式子用该函数表示，进而转化为最值问题． (2)双变量的恒(能)成立问题 ①∀x1∈D，∀x2∈E，f(x1)≥g(x2)恒成立≥g(x)max． ②∀x1∈D，∃x2∈E，f(x1)≥g(x2)能成立≥g(x)min． ③∃x1∈D，∀x2∈E，f(x1)≥g(x2)能成立≥g(x)max． ④∃x1∈D，∃x2∈E，f(x1)≥g(x2)能成立≥g(x)min． ⑤∀x1∈D，∃x2∈E，使f(x1)＝g(x2)⇔f(x)的值域是g(x)的值域的子集． 【即学即练】 1．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意的值域包含于的值域，再分别求导分析函数的单调性与最值，进而根据值域区间端点满足的不等式列式求解即可. 【详解】，，令，解得， 令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以的值域为. 当时，，所以在上单调递增， 又，所以的值域为， 又，使得，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故选：B． 题型01 分离变量法解决恒成立问题 【典例1】 已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，最大值小于等于即可. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故 . 【变式1-1】已知函数在点处的切线方程为. (1)求的值; (2)当时，，求的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据点在切线上得出及导数是切线斜率列式求解参数； （2）先应用参数分离，再构造函数，应用导函数得出函数单调性进而得出最大值. 【详解】（1）由题意知，即，得， ，，解得. （2）由题意知， 设， ， 设，， 函数在上单调递增，， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 即，故的最大值为. 【变式1-2】已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求出函数的导函数，由求出的值，再检验即可； （2）由题意在上恒成立，则，结合（1）中函数的单调性求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，依题意可得，解得. 当时，定义域为，且， 所以当或时，当时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处有极小值，所以符合题意. （2）由题意在上恒成立，所以只需， 由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 因为，所以， 即，所以. 【变式1-3】已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若对于任意总有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用极值的定义求解即可； （3）参变分离得对于恒成立，设，然后利用导数法求得的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为，所以，所以，即切线的斜率为， 又，所以所求的切线方程为，即； （2）由得， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ①当，即时，对恒成立， 此时在单调增，故没有极值点； ②当，即时，方程有两个不等正数解， ， 不妨设，则当时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点． 综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点． （3）， 由，得对于恒成立，设， 则， 因为，所以时，单调递减， 时，单调递增，所以，所以． 题型02 分离变量法解决能成立（有解）问题 【典例2】 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)函数，若在定义域内有解，求的范围． 【答案】(1) (2)函数的极大值为，极小值为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导研究函数得单调区间，进而根据单调区间确定函数的极值； （3）根据题意转化为在内有解，进而构造函数求解最大值即可. 【详解】（1）解：由题知， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为：. （2）解：由（1）知，定义域为， 令得， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数有极大值； 当时，函数有极小值. 综上，函数的极大值为，极小值为 （3）解：函数，在定义域内有解， 故在内有解， 即在内有解， 所以在内有解， 所以 令 令，，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以在上的值域为， 令，则， 显然当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 所以有最大值， 所以，即的取值范围为 【变式2-1】已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)设函数，若关于的方程在上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数式可求出； （2）将问题转化为两个函数有交点，利用值域求解. 【详解】（1）将点代入函数式得，即， 解得. （2）方程，即， 所以关于的方程在上有解，即在上有解， 即在上有解， 所以函数与在上有交点， 令，则在恒成立， 所以函数在单调递增， 又，所以的值域为， 因为函数与在上有交点， 所以，即的取值范围为. 【变式2-2】已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)若有解，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先判断函数的定义域，在求出的导数，进而对参数进行分类讨论求解单调性即可. （2）利用分离参数法并构造新函数转化为，进而求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得，的定义域为， 因为，所以， 则， 当时，，令，，令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减， 令，则，解得或， 当时，解得，令，， 令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，解得，得到， 故此时在上单调递增， 当时，解得，令，， 令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）若有解，则有解， 故有解，即有解，则有解即可， 令，则即可，而， 令，，令，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故，则. 题型03 分类讨论法解决恒成立问题 【典例3】 已知函数. (1)讨论的单调区间和极值. (2)若，不等式的解集为，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求，根据导数的正负确定函数单调性，进而可得单调区间和极值. （2）将不等式恒成立问题转化为结合函数单调性，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， ， （ⅰ）当时，，所以在上单调递增，无极值. （ⅱ）当时，令，得， 令，得. 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值， ， 综上，当时，在上单调递增，无极值； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，无极大值. （2）的定义域为， 在恒成立， ，由（1）知在单调递减，在单调递增， ，所以即. ①当时，不等式不成立，不符合题意； ②当时，设，则，所以在单调递减， 又， 等价于， ； 综上，的取值范围是. 【变式3-1】已知函数. (1)若，求的最大值； (2)证明存在唯一的极大值点，且； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）对函数求导得，令且，判断导数的区间符号确定单调性，进而求最大值； （2）设，根据零点存在性定理确定零点所在区间，进而判断的符号，求的单调性，再求其极大值点，最后证明； （3）问题化为，讨论、、，再应用导数研究不等式恒成立求参数范围. 【详解】（1）当时，，则. 易知在上单调递减，且， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此的极大值即最大值，为； （2），设， 因为，所以在上单调递减，又，时，， 因此，使得，即，即， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此存在唯一的极大值点， ， 当且仅当时等号成立，得证. （3），即，因为，所以， 当时，不等式恒成立； 当时，不等式转化为恒成立，设， 所以， 令，解得，则在上的单调性如下， 在上，单调递增，在上，单调递减， 所以在内有唯一极大值点，即，从而， 当时，不等式转化为恒成立， 令，解得，则在上的单调性如下， 在上，单调递减，在上，单调递增， 所以在内有唯一极小值点，则，从而， 综上，的取值范围是. 【变式3-2】已知函数． (1)若在处取得极值，求； (2)若当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）对函数求导，根据求得的值，验证函数的单调性可知的值符合题意； （2）利用导数对参数分类讨论，求出函数的最小值，解不等式即可求解． 【详解】（1）由题意得． 因为在处取得极值， 所以，解得， 经验证，当时，在处取得极小值，符合题意，故． （2）， 若，则当时，，即恒成立， 所以在上单调递增，， 由，得，故． 若，令，得或， 当时，，单调递减， 当时，单调递增． 所以， 由，可得，解得． 综上，的取值范围是． 题型04 分类讨论法解决能成立（有解）问题 【典例4】已知函数的图象的一条切线方程是. (1)求； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设切点，根据导数的几何意义求得，结合，构造，应用导数研究其零点，即可求参数值； （2）问题化为有解，构造研究不等式能成立求参数范围. 【详解】（1）设的图象与直线切于点，则①， ，则，即，代入①式得. 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 故，即. （2）由题意得有解，即有解. 令，则， 若，则，则，符合题意； 若，即，则，不符合题意； 若， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得. 综上，的取值范围为. 【变式4-1】已知函数 . (1)若 ，求不等式 的解集； (2)讨论函数 的单调性； (3)若不等式 在区间 上有解，求 的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)或. 【分析】（1）根据对勾函数单调性及函数值得出解集即可； （2）求得的定义域和导函数，对进行分类讨论，由此求得的单调区间. （3）求得的导函数，对进行分类讨论，由此求得的单调区间，把不等式 在区间 上有解转化为最值求解. 【详解】（1）函数的定义域为，当 ，函数 ， 由对勾函数性质可知，单调递减；单调递增； 且，所以不等式 的解集为 . （2）因为. 所以当时，当时，，单调递增； 当时，在区间上，单调递减， 在区间上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （3）由题意可得， ①时，在区间 上恒成立，故在 上单调递增， 若不等式 在区间 上有解，则，即得. ②当时，当时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以若不等式 在区间 上有解，则， 设，单调递减，所以 所以当时，单调递增，在区间单调递减； 且， 所以此时不等式 在区间 上无解， ③当时，在 上恒成立，故在间 上单调递减， 所以若不等式 在区间 上有解，则，则； 所以； 综上：若不等式 在区间 上有解，求 的取值范围或.； 【变式4-2】已知函数的极值为. (1)求的值； (2)若，判断方程是否恒有解. 【答案】(1) (2)恒有解，理由见解析 【分析】（1）分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，结合函数的极值可求得实数的值； （2）令，利用导数分析函数的单调性，数形结合可得出方程解的情况. 【详解】（1）解：因为，则， ①当时，函数的定义域为， 由，由， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，存在极大值，得； ②当时，函数的定义域为， 由，由， 此时，函数的增区间为，减区间为， 即存在极小值，得（舍去）. 综上，. （2）解：恒有解，证明如下： 由（1）得（），则， 令，则， 令，则， 所以，函数在上单调递增， 因为，， 所以，存在，使得，即， 当时，，即，此时函数单调递减， 当时，，即，此时函数单调递增， 因为，所以，， 当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，方程恒有解. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 题型05 等价转化法解决问题 【典例5】 已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求解出，然后根据的正负可求解出的单调区间； （2）根据的单调性将问题转化为“在上有解” ，然后通过分离参数、构造函数以及换元法求解出与新函数最值的关系，由此可求的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为, 则， 令，可得或，令，可得或， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由已知：在上有解， 在上有解，在上有解， ，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故. 的取值范围为. 【变式5-1】已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单调性可确定最小值点，由此可得最小值； （2）将问题转化为，令，利用导数可求得的单调性，由此可求得，进而得到结果； （3）将问题转化为，根据单调性可求得，分离变量可得，令，利用导数可求得单调性，进而求得最小值，由此可得取值范围. 【详解】（1）由题意知：； 与在上均为增函数，在上单调递增， . （2）当时，由得：， 若存在，使得成立，则； 令，则， 当时，，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. （3）由得：， 若对于任意的，总存在，使得成立，则； 在上单调递增，，，， 当时，，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 【变式5-2】已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数几何意义直接求解即可； （2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到结论； （3）将问题转化为，由二次函数性质可求得，采用参变分离的方式可得，利用导数可求得的最小值，进而得到结果. 【详解】（1）当时，，则， ，在处切线的斜率为. （2）由题意知：的定义域为，， ①当时，，，， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 一、单选题 1．设函数，若对任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，就、分类讨论导数的符号后，验证对任意能否恒成立，由此可求参数的取值范围. 【详解】因为，则， 则函数在上为增函数， 考虑到，，因此讨论分界点为． 当时，则对任意实数，， 此时，函数在上为增函数，则对任意的，，合乎题意； 当时，因为函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在，使得， 且当时，，即函数在上单调递减， 所以，，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 2．关于函数，下列判断正确的是（    ） ①是的极大值点； ②函数有且只有1个零点； ③存在正实数k，使得成立； ④对任意两个正实数，且，若，则． A．①④ B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】对于①：求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得极值点；对于②：构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断；对于③：整理得，构建，利用导数分析其单调性，进而可得结果；对于④：分析可得原题意等价于即证，令，利用导数判断其单调性，进而分析判断. 【详解】对于①：由题意可得：函数的定义域为，且， 当时，0；当时，； 则在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，故①错误； 对于②：令， 则函数的定义域为，且恒成立， 可知在上单调递减，且， 函数有且只有1个零点，故②正确； 对于③：若，整理得， 令，则， 令，则， 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减， 可得，即， 所以在上单调递减，且当趋近于时，趋近于， 所以不存在正实数，使得恒成立，故③错误； 对于④：由①可知：若，则， 要证，即证， 且在上单调递增，即证， 又因为，所以证，即证. 令， 则，所以在上单调递减， 所以，所以，④正确； 故选：B. 【点睛】 方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 3．已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确“任意-存在”型不等式的转化逻辑，再利用导数判断函数的单调性并求出其最值解决问题. 【详解】，令，解得或， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为对任意，存在，使， 所以在上有解，整理得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为，所以， 所以. 故选：B 【点睛】 条件描述 等价最值关系 对任意，存在，使 对任意，任意，使 存在，存在，使 存在，任意，使 二、解答题 4．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：在上恒成立； 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）若，，求导可得的切线方程； （2）令，求导后判断导函数的单调性，并根据零点存在性定理确定存在唯一的，使得，判断函数的单调性，并利用单调性证明即可； 【详解】（1）当时，，， 所以， 切线方程为 （2）当时，， 要证，即证在上恒成立； 令，，则在上单调递减， 因为，，所以存在唯一的，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立； 5．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； (3)对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）当时，求出、的值，即可得出所求切线的方程； （2）求得，分、两种情况讨论，利用函数单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （3）由参变量分离可得，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，， 当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为； 当时，由可得，由可得， 此时函数的单调递增区间为，单调减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调减区间为. （3）对任意的，，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. 6．已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为； (2) 【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间； （2）等价于在有解，结合（1）求出的值域，从而得到答案. 【详解】（1）定义域为R，， 令得或，令得， 故单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）等价于在有解， 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 其中，，， ，故， 在有解，故. 7．已知函数，． (1)求在处的切线方程； (2)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数求导，计算切线的斜率以及切点，根据点斜式方程，可得答案； （2）利用参变分离整理不等式，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，可得答案； 【详解】（1）由，求导可得， 则函数在处的曲线斜率为， 切点的纵坐标为， 所以切线方程为，整理可得. （2）当时，等价于. 令，则，. ①当，时，， 故，在上单调递增，因此， 即不等式恒成立，. ②当时，令，得，， 由及得，故当时，，在上单调递减， 因此，不满足题意. 综上，的取值范围是. 8．已知函数的图象在处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）分离参数，将恒成立问题转化为求函数的最值问题. 【详解】（1）因为，所以. 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，解得． （2）由（1）知， 则，即恒成立， 等价于对恒成立. 令，则条件等价于， 则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，， 所以的取值范围为． 9．已知函数. (1)当时，记函数的图像在处的切线与坐标轴围成的图形的面积为，求的最小值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）求函数的导函数，从而得到函数在处的切线方程，然后求得切线与坐标轴的交点坐标，得到面积的表达，然后由基本不等式求得最小值； （2）代入表达式然后化简，从而转换为求不等式某一边的最值，构造函数后借助导函数，然后得到函数的单调区间，从而得到其最小值.然后得到实数的取值范围. 【详解】（1）因为）， 所以，所以2，又， 所以函数在处的切线方程为， 令，得，令，得， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时 ，所以的最小值为4. （2）因为在上有解， 即在上有解， 等价于在上有解，所以. 设， 则. 令，得或， 列表如下： 0 1 2 3 + - + 递增 极大值 递减 极小值 递增 因为，，所以在上的最小值为，所以. 10．已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)若方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)最小值为，没有最大值 (2) 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性进行求解； （2） 在上有解，整理，得.因为，所以.令，求导，求出单调性求解． 【详解】（1）当时，，求导，得， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，取得极小值，也是最小值， 所以函数的最小值为，没有最大值. （2）方程在上有解， 即在上有解，整理，得. 因为，所以. 令，求导，得. 因为，所以当时，， 所以当时，单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围是. 11．已知函数，若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 【答案】． 【分析】将问题转化为，再求导并分、、讨论求其最大值即可. 【详解】因关于的不等式在上有解，则， 由题意得，，， ①当时，可得，所以在上单调递增， 则有，解得； ②当时，列表如下． － 0 ＋ 减 最小值 增 则有与条件矛盾，舍去； ③当时，可得，所以在上单调递减， 可得，不满足题意． 综上所述，的取值范围为． 12．已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由在上恒成立，得到，即可求解； （2）参变分离得到，构造函数，求导确定最大值即可. 【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． （2）由，可得． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故的取值范围为． 13．已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】(1)最大值为 ，最小值为 (2) 【分析】（1）先利用导数可得函数 在 上单调递增，在上单调递减，从而可求函数 在 上的最大值和最小值； （2）不等式 可化为 ，记 ，则原不等式有解可转化为 ，再利用导数求函数的最大值，即可求实数 的取值范围. 【详解】（1）因为函数 ， 所以 ， 令 ，则 或 (舍去). 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在上单调递减， 所以当 时， 取得最大值，最大值为 ， 又 ， ， 所以 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 ， 故 在 上的最大值为 ，最小值为 . （2）易知 的定义域为 ， 故不等式 可化为 . 记 ，则原不等式有解可转化为 . 易得 ，时，，时，， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 ，所以 ， 解得 . 所以实数 的取值范围为 . 14．已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； (2) 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）不等式变形为在上有解，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【详解】（1）当时，，所以， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； （2）在上有解， 即在上有解， 即在上有解， 令，， 则 由（1）知时，即， 所以当时，当时； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是. 15．已知函数． (1)若存在实数，使得成立，求的最小整数值； (2)讨论在上的极值点个数． (3)，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)0 (2)1 (3) 【分析】（1）求出，通过得，利用导数求出的最小值，即可求得的最小整数值； （2）利用导数讨论的单调性和区间端点值，可得在上的极值点个数． （3）问题转化为，结合二次函数性质可求得的最大值，由 的单调性，求得，即可求解. 【详解】（1）函数，， 由得， 令，，则， 所以在上单调递减， 所以， 所以，所以的最小整数值为0. （2）由（1）， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， ， 所以当时，，即，单调递减， 存在，使得， 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增， 所以在上有1个极值点. （3）由题意可知：， 因为的图象开口向上，对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 得，则， 由（2）可知在区间上只有一个零点， 设为， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，可得当时，， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 16．已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性； （2）根据题意可得，分别求最大值即可得不等式，解不等式即可求解. 【详解】（1）由，， 得. 令，解得. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）因为对任意，均存在，使得， 所以， 当时，取得最大值，最大值为0. 由（1）得，当时，在]上单调递增， 即当时，取得最大值， 所以，解得，即. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值. 设， 则，单调递增， 所以成立，所以无解. 综上所述，的取值范围为. 17．已知函数，． (1)若函数在上的最大值为，求的值； (2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数进行求导，分与两种情况求解函数最大值即可得到答案； （2）将题意转化为，易求得，再结合（1）分与两种情况求解，进而求解即可． 【详解】（1）依题意可得， ①当时，，此时在上单调递增， 所以，（舍去）， ②当时，令，得， ⅰ）当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，则， ⅱ）当时，即时，，此时在上单调递增， 所以，（舍去）， 综上，若函数在上的最大值为，则， （2）由已知转化为， 又时，， 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意（或举出反例：存在，不合题意，舍去）， 当时，在上单调递增，在上单调递减， ∴，∴，解得， 综上，的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $