精品解析：黑龙江省大兴安岭地区加格达奇区两校联考2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年上学期八年级期末数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，单项式乘以单项式，合并同类项和积乘方等计算，根据相关计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 2. 剪纸艺术是中国传统文化宝库中的优秀瑰宝，每一个作品设计独特，都体现文化传承和艺术之美，下列剪纸中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，理解其定义是解题的关键． 根据轴对称的定义解题即可． 【详解】解：A：不是轴对称图形，故该选项不合题意； B：不是轴对称图形，故该选项不合题意； C：不是轴对称图形，故该选项不合题意； D：是轴对称图形，故该选项符合题意． 故选：D． 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、是多项式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 4. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，分母中必须含有字母的代数式是分式．据此可得答案． 【详解】解：根据分式的定义可知，四个式子中，只有是分式， 故选：D． 5. 已知三角形的两边长分别为3和8，则此三角形的第三边的长可能是（　　　） A. 13 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设第三边长为，根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围． 【详解】设第三边长为，根据三角形的三边关系可得： ， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键． 6. 若是完全平方式，则m的值为（ ） A. B. 5 C. D. 或5 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征得到关于m的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得：或， 故选D． 【点睛】本题考查了完全平方式，解一元一次方程，熟练掌握完全平方式的特点是解题关键． 7. 将分式中的的值同时扩大倍，则扩大后分式的值（ ） A. 扩大倍 B. 扩大倍 C. 缩小倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，将原分式中的和同时替换为和，然后化简新分式，与原分式比较即可求解，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，将替换为为，将替换为，可得新分式为， ∴新分式与原分式相等，值不变， 故选：． 8. 若关于方程解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围． 【详解】解： ∵方程的解为正数，且分母不等于0 ∴， ∴，且 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键． 9. 如图△ABC，AB=7，AC=3,AD是BC边上的中线则AD的取值范围为（ ） A. 4<AD<10 B. 2<AD<5 C. 1<AD< D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先延长AD到E，且AD=DE，并连接BE，由于∠ADC=∠BDE，AD=DE，利用SAS易证△ADC≌△EDB，从而可得AC=BE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得4＜AE＜10，从而易求2＜AD＜5． 【详解】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，如图所示： ∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC， ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴BE=AC=3， 在△AEB中，AB-BE＜AE＜AB+BE， 即7-3＜2AD＜7+3， ∴2＜AD＜5， 故选：B． 【点睛】此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 10. 如图，在中．，，平分交于E，于D．下列结论：①；②点E在线段的垂直平分线上：③；④；⑤，其中正确的有（ ）． A. ①②③⑤ B. ①②③ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的定义、等角对等边、线段的垂直平分线的判定及含30°角的直角三角形的性质，勾股定理逐个选项分析即可． 【详解】解：∵平分交于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的判定定理、勾股定理，等腰三角形的判定与性质定理、含30°角的直角三角形的性质定理等知识点，属于中档题． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，用科学记数法表示为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，已知，请添加一个条件使得≌，______（不添加辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：①添加：；理由如下： 在和中， ∴≌； ②添加：；理由如下： 在和中， ∴≌； ③添加：；理由如下： 在和中， ∴≌ 故答案为：或或 ． 13. 使分式有意义，则x取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 点关于轴的对称点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称，理解轴对称的定义是解题的关键． 根据点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数解题即可． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 15. 若，则___________． 【答案】 16 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘，幂的乘方的逆用，代数式求值． 由已知可得，将 转化为 ，，代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 由 得 ， ∴ ． 故答案为：． 16. 若，则_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，当时，需考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0，且底数不为0这三种情况，据此讨论求解即可． 【详解】解：当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，符合题意； 综上所述，x的值为或或， 故答案为：或或． 17. 如图，在中，，平分与相交于点I，于点H，若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理．根据角平分线性质定理得到，再求出，，由求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，于点， ∴， ∵，，， ∴，， ∵ ∴ 解得， 故答案为：． 18. 如图，在四边形中，，，的面积为21，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了轴对称、平行线的性质、线段的垂直平分线的性质、最短路径，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，过点作于，利用三角形的面积公式求出，由题意，进而解题． 【详解】解：连接，过点作于， ∵的面积为21，， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为7． 故答案为：7 ． 19. 如图，，平分，如果射线上点E满足是等腰三角形，那么的度数为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用， 求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】∵平分， ∴， 分三种情况：①当时，如图， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， 综上，的度数为：或或． 故答案为：或或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点D，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形…，按此规律进行下去，则点的横坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可． 【详解】解：延长交y轴于点C，交y轴于点D，作轴于点E， ∵轴，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴的横坐标为； ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的横坐标为； 同理可得：， ∴， ∴的横坐标为； .....． ∴的横坐标为； ∴点的横坐标为：． 故答案为：． 三、解答题（60分） 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式乘法及因式分解，熟悉掌握公式是关键． （1）根据整式乘法公式计算即可； （2）根据公式法因式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 22. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法，先把原方程转化为整式方程，然后解分式方程求出x的值，最后再检验即可； （2）根据解分式方程的方法，先把原方程转化为整式方程，然后解分式方程求出x的值，最后再检验即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 23. 先化简，再求值： 其中 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出向右平移7个单位后的； （2）画出关于x轴对称的； （3）直接写出的面积． 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查作图﹣平移变换、轴对称、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用平移的性质即可解答； （2）利用轴对称的性质即可解答； （3）利用正方形面积减去三角形的面积计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 如图所示： 【小问3详解】 由题意可得：． 25. 如图，中，点D在直线上，点F在直线延长线上，，，． （1）如图①，求证：； （2）图②和图③中线段、、之间有怎样的数量关系，请直接写出，不需证明． 【答案】（1）见解析 （2）图②中；图③中 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证，再证明≌，即可得出结论； （2）先证，再证明≌，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：图②：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ∴； 图③：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ∴． 26. “散发乘夕凉，开轩卧闲敞．”炎炎夏日，为了消暑贝贝佳商场准备购进A，B两种凉席，每个A种凉席比B种凉席的进价少元，用 元购进A种凉席和用元购进B种凉席的数量相同，A种凉席每个售价是元，B种凉席每个售价是元．请解答下列问题： （1）A，B两种凉席每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进B种凉席的个数比A种凉席的2倍还多5个，购进A，B两种凉席的总费用不少于元且不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ （3）该商场按（2）中获利最大的方案购进凉席，在销售前拿出5个凉席赠送给泰乐老年公寓，剩余的凉席全部售出，其中两种凉席有4个样品（两种凉席均有样品），每个样品都打五折销售，售完后商场仍获利元．请直接写出赠送的凉席和样品凉席中，B种凉席各有几个． 【答案】（1）每个A种凉席的进价为元，每个B 种凉席的进价为元 （2）有3种方案如下：①购进 A 种凉席个，B种凉席个；②购进 A 种凉席个，B种凉席个；③购进 A 种凉席个，B种凉席个 （3）赠送的凉席中 B种凉席有4个，样品中B种凉席有2个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式，二元一次方程的实际应用，难度较大，解题时务必理解题意，得到相应的等量关系和不等关系. （1）设A种凉席每个进价是元，则B种凉席每个进价是元，由题意得：，即可求解； （2）设购进A种凉席个，则购进B种凉席个，由题意得：，即可求解； （3）设获利元，则，可推出当购进A种凉席个，B种凉席个时，获利最大；设赠送的凉席中， A种凉席有个，样品中A种凉席有个，则赠送的凉席中，B种凉席有个，样品中B种凉席有个， 由题意得： 即可求解； 【小问1详解】 解：设A种凉席每个进价是元，则B种凉席每个进价是元， 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； ∴每个A种凉席的进价为元，每个B 种凉席的进价为元； 【小问2详解】 解：设购进A种凉席个，则购进B种凉席个， 由题意得：， 解得：； ∴有3种方案如下：①购进A种凉席个，B种凉席个；②购进A种凉席个，B种凉席个；③购进A种凉席个，B种凉席个； 【小问3详解】 解：设获利元，则， ∵， ∴当购进A种凉席个，B种凉席个时，获利最大； 设赠送的凉席中， A种凉席有个，样品中A种凉席有个，则赠送的凉席中，B种凉席有个，样品中B种凉席有个， 由题意得： 整理得：； ∵两种凉席均有样品， ∴且； ∴， ∴， 即：赠送的凉席中 B种凉席有4个，样品中B种凉席有2个； 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒． （1）求、的长； （2）连接，设的面积为S，用含t的式子表示S； （3）过点P作直线的垂线，垂足为D，直线与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用非负数的性质求出m，n的值即可； （2）利用三角形面积公式求解； （3）只要，即可求证，推出或，可得结论． 【小问1详解】 解：   即， ，， ，， ，， 点，点， ，； 【小问2详解】 解：连接，t秒后，，， ； 【小问3详解】 解：存在． ∵， ∴， ∴，，， ， 只要，即可求证， 或， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级期末数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸艺术是中国传统文化宝库中的优秀瑰宝，每一个作品设计独特，都体现文化传承和艺术之美，下列剪纸中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式是分式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知三角形的两边长分别为3和8，则此三角形的第三边的长可能是（　　　） A. 13 B. 6 C. 5 D. 4 6. 若是完全平方式，则m的值为（ ） A. B. 5 C. D. 或5 7. 将分式中的的值同时扩大倍，则扩大后分式的值（ ） A. 扩大倍 B. 扩大倍 C. 缩小倍 D. 不变 8. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图△ABC，AB=7，AC=3,AD是BC边上的中线则AD的取值范围为（ ） A. 4<AD<10 B. 2<AD<5 C. 1<AD< D. 无法确定 10. 如图，在中．，，平分交于E，于D．下列结论：①；②点E在线段的垂直平分线上：③；④；⑤，其中正确的有（ ）． A. ①②③⑤ B. ①②③ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，用科学记数法表示为_______________． 12. 如图，已知，请添加一个条件使得≌，______（不添加辅助线） 13. 使分式有意义，则x取值范围是_______． 14. 点关于轴的对称点的坐标是_______． 15. 若，则___________． 16. 若，则_______． 17. 如图，在中，，平分与相交于点I，于点H，若，，，则的长为______． 18. 如图，在四边形中，，，的面积为21，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为_____． 19. 如图，，平分，如果射线上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为_______． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点D，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形…，按此规律进行下去，则点横坐标是______． 三、解答题（60分） 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 22. 解分式方程： （1）； （2）． 23. 先化简，再求值： 其中 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出向右平移7个单位后； （2）画出关于x轴对称的； （3）直接写出的面积． 25. 如图，中，点D在直线上，点F在直线延长线上，，，． （1）如图①，求证：； （2）图②和图③中线段、、之间有怎样的数量关系，请直接写出，不需证明． 26. “散发乘夕凉，开轩卧闲敞．”炎炎夏日，为了消暑贝贝佳商场准备购进A，B两种凉席，每个A种凉席比B种凉席进价少元，用 元购进A种凉席和用元购进B种凉席的数量相同，A种凉席每个售价是元，B种凉席每个售价是元．请解答下列问题： （1）A，B两种凉席每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进B种凉席的个数比A种凉席的2倍还多5个，购进A，B两种凉席的总费用不少于元且不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ （3）该商场按（2）中获利最大的方案购进凉席，在销售前拿出5个凉席赠送给泰乐老年公寓，剩余的凉席全部售出，其中两种凉席有4个样品（两种凉席均有样品），每个样品都打五折销售，售完后商场仍获利元．请直接写出赠送的凉席和样品凉席中，B种凉席各有几个． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒． （1）求、的长； （2）连接，设的面积为S，用含t的式子表示S； （3）过点P作直线的垂线，垂足为D，直线与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $