专题01 平行线的判定与性质（专项训练）数学新教材青岛版七年级下册

专题01 平行线的判定与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一 同位角、内错角、同旁内角 1 题型二 同位角相等两直线平行 5 题型三 内错角相等两直线平行 10 题型四 同旁内角互补两直线行 17 题型五 根据平行线的性质探究角的关系 23 题型六 根据平行线的性质求角的度数 29 题型七 平行线的性质在生活中的应用 36 题型八 根据平行线判定与性质求角度 45 题型九 根据平行线判定与性质证明 53 B综合攻坚・能力跃升 题型一 同位角、内错角、同旁内角 1．（24-25七年级下·河北唐山·月考）胡同文化是京津冀地区的一大特色，承载着丰富的历史和文化内涵．如图为某胡同的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点G和“丁字路口”点F，经过测量已知． (1)请说明的理由； (2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的同位角，内错角，同旁内角 【思路引导】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，同位角、内错角、同旁内角的定义，以及对顶角和邻补角的性质的计算，是基础知识，比较简单． （1）根据垂线的定义，结合平角与，可以得到，由此确定与的位置关系； （2）根据可得，结合三线八角的同位角，内错角以及同旁内角的定义，可以确定的同位角，内错角以及同旁内角，由此可以解答本题． 【规范解答】（1）解：∵是直线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴的同位角，内错角，同旁内角． 2．（24-25七年级下·河南濮阳·月考）我们已经学习了“三线八角”中的内错角，类比内错角，我们给出如下定义： 如图，直线，被所截，和分别在直线，的外侧（在直线上方，在直线下方），且分别在直线两侧（在直线左侧，在直线右侧），具有这种位置关系的一对角叫作外错角． (1)【初步理解】请在图中找出另一对外错角：________； (2)【理解应用】若的度数是它的外错角度数的2倍，，求，的度数． 【答案】(1)和 (2)， 【思路引导】本题考查几何图形中角度计算，相交及所成的角，一元一次方程的应用，理解外错角的定义是解题的关键． （1）根据外错角的定义，结合图形即可得出答案； （2）根据外错角的定义可得，结合，列一元一次方程，求出，再根据，，即可求解． 【规范解答】（1）解：图中另一对外错角为：和， 故答案为：和； （2）解：因为的外错角是，且的度数是它的外错角度数的2倍， 所以， 因为，， 所以， 解得， 所以， 因为，， 所以，． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 【答案】(1)与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 (2)与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 (3)，和互补，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．也考查了同位角、内错角和同旁内角的定义． （1）回忆内错角、同位角和同旁内角的定义：在两被切直线的内侧，且在切线异侧的两个角叫作内错角，在被切直线同一侧， 而且在切线同侧的两个角叫作同位角，在两被切直线的内侧，且在切线同侧的两个角叫作同旁内角．再根据图形中角的位置关系，即可得到答案； （2）根据图形中和的位置关系，可知和不在一条直线的两侧，即可判断答案； （3）根据同旁内角互补两直线平行，可得到再根据平行线的性质，即可得到答案． 【规范解答】（1）∵与两个角都在两直线的中间， 截线的两侧， ∴与是内错角， ∵与两个角都在两直线的中间， 截线的同旁， ∴与是同旁内角， ∵与两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置， ∴与是同位角． 故答案为：与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 （2）∵内错角必须在两条被截直线之间， ∴与不是内错角． 故答案为：与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 （3）理由: ∵，而， ， ∵和互补，， ∴和也互补． 故答案为：，和互补 4．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图，已知四边形，点在的延长线上，连接、，下列说法中正确的是（   ） A．和是同旁内角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了同旁内角的定义、平行线的判定定理等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解题的关键． 根据同旁内角的定义可判断A选项，根据平行线的判断定理可判断B、C、D选项． 【规范解答】解：A、和不是同旁内角，故该选项说法错误，不符合题意； B、若，则，故该选项说法错误，不符合题意； C、若，则，故该选项说法正确，符合题意； D、若，则，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 题型二 同位角相等两直线平行 5．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）判断两条直线平行有多种方法，老师在黑板上画出了下面的图形，让同学们添加一个条件，使，下面是甲、乙、丙、丁四个学生的方法，错误的是（   ） A．甲同学： B．乙同学： C．丙同学： D．丁同学： 【答案】D 【思路引导】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键； 根据题意，利用平行线的判定对选项进行判定即可求解； 【规范解答】解：A、根据，可以判定；满足题意； B、根据，可以判定，满足题意； C、根据，可以判定，满足题意； D、根据，可以判定，不满足题意； 故选：D 6．（24-25七年级下·河南安阳·月考）如图，下列条件中，能判断直线的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论． 【规范解答】解：①由，内错角相等，可得，符合题意； ②由，不能得到，不符合题意； ③由，同位角相等，可得，符合题意； ④由，不能得到，不符合题意； ⑤由，得，内错角相等，即可得到，符合题意； ⑥由，同旁内角互补，即可得到，符合题意； 综上，能判断直线的有4个． 故选：C． 7．（21-22七年级下·湖北十堰·期末）在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，D为直线BC上一点，DE⊥AB于点E，∠CDE的平分线交直线AC于点F．    (1)如图①，当点D在边BC上时，判断DF与AM的位置关系，并说明理由； (2)①如图②，当点D在边BC延长线上时，则DF与AM的位置关系是______； ②如图③，当点D在边CB延长线上时，则DF与AM的位置关系是______； (3)请就（2）中①或②中的一种情况，给出证明． 【答案】(1)DF//AM，理由见解析 (2)①DF⊥AM；②DF⊥AM． (3)选①证明见解析；选②证明见解析． 【思路引导】（1）先判断出∠BAC +∠CDE = 180°，可得∠C AM + ∠CDF= 90°，进而判断出 ∠CDF=∠CMA即可得出结论； （2）①，先判断出∠BAC =∠CDE，可得∠CAM =∠CDF,进而判断出∠CDF + ∠AMC= 90°,即可得出结论解答;选②，先判断出∠BAC= ∠CDE，可得∠CAM=∠CDF，进而判断出∠CAM + ∠F = 90°,即可得解答； （3）（2）中任选一个进行证明即可． 【规范解答】（1）解：（1）DF//AM．理由如下： ∵∠C=90°，DE⊥AB， ∴∠BAC+∠CDE=360°﹣90°×2=180°， ∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE， ∴∠CAM=∠BAC，∠CDF=∠CDE， ∴∠CAM+∠CDF=（∠BAC+∠CDE）=90°， 又∵∠CAM+∠CMA=90°， ∴∠CDF=∠CMA， ∴BD//MF． （2）①∵∠C=90°，DE⊥AB， ∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°， ∴∠BAC=∠CDE， ∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE， ∴∠CAM=∠CDF， ∵∠CAM+∠AMC=90°， ∴∠CDF+∠AMC=90°， ∴DF⊥AM． 故答案为DF⊥AM． ②∵∠C=90°，DE⊥AB， ∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°， ∴∠BAC=∠CDE， ∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE， ∴∠CAM=∠CDF， ∵∠CDF+∠F=90°， ∴∠CAM+∠F=90°， ∴DF⊥AM． 故答案为DF⊥AM． （3）解：选②证明． 证明如下： ∵∠C=90°，DE⊥AB， ∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°， ∴∠BAC=∠CDE， ∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE， ∴∠CAM=∠CDF， ∵∠CDF+∠F=90°， ∴∠CAM+∠F=90°， ∴DF⊥AM． 【考点再现】本题属于三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、同角的余角线段、平行线的判定、垂直的判定等知识点，说明∠C AM =∠CDF是解答本题的关键． 8．（21-22七年级下·江苏·期末）已知四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是边AB上一点，F为边BC上一点（不与B，C两点重合），连接EF，DF，且EF⊥DF． (1)如图1，若∠DFC=∠A，求证：AD⊥FD (2)如图2，∠BEF和∠CDF的平分线相较于点O，当点F在边BC上运动时，探究∠O的大小是否发生变化？若不变，求出∠O的度数；若变化，写出其变化范围． 【答案】(1)见解析 (2)不变，45° 【思路引导】（1）要证明AD⊥FD，只要证明AD∥EF即可求证； （2）延长EF于OD交于H，在△OEH，△DFH中，分别利用外角的性质得到∠EHD=∠OEH+∠O，∠EFD=∠EHD+∠FDO，进而得到 ∠EFD=∠FDO+∠OEH+∠O，再利用角平分线的定义得到∠FDO+∠OEH=45，即可求得∠O=45°． 【规范解答】（1）∵EF⊥DF ∴∠EFB+∠DFC=90° ∵∠B=90° ∴∠BEF+∠EFB=90° ∴∠DFC=∠BEF ∵∠DFC=∠A ∴∠BEF=∠A ∴AD∥EF ∵∠EFD=90° ∴∠ADF=90° ∴AD⊥DF （2）不变 ，∠O=45° 延长EF于OD交于H， 在△OEH中，∠EHD=∠OEH+∠O 在△DFH中，∠EFD=∠EHD+∠FDO ∴ ∠EFD=∠FDO+∠OEH+∠O ∵∠EFD=90° ∴∠FDO+∠OEH+∠O=90° ∵∠B=∠C=90°，且∠EFD=90° ∴∠BEF+∠FDC=90° ∵OE，OD分别为∠BEF和∠FDC的角平分线 ∴∠FDO+∠OEH=45° ∴∠O=45° 【考点再现】本题考查了垂直的证明及角平分线的定义的计算，三角形外角的性质的灵活应用是解题的关键． 题型三 内错角相等两直线平行 9．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）请你完成下列推理过程（括号内写出理由）． 如图，，． 试说明：． 解：因为， 所以________________（________）． 因为， 所以________________（________）． 所以（________）． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 由内错角相等、两直线平行可得，运用同旁内角互补、两直线平行可得，最后根据平行于同一条直线的两直线平行即可证明结论． 【规范解答】解：因为， 所以（内错角相等，两直线平行）． 因为， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 所以（平行于同一条直线的两直线平行）． 10．（24-25七年级下·山东济南·期中）【知识回顾】 如图1，直线与直线被直线l所截，交点为点E和点F．在“相交线与平行线”一章中，我们学习了“利用内错角与的数量关系可以判定两条直线的位置关系”．现将具有和这样位置关系的角称作一组“内外错角”． 【探究发现】 当“内外错角”满足一定的数量关系时，也能判定两条直线的位置关系． （1）当和满足何种数量关系时能使得？请说明理由． 【深入探究】 如图2，在直线l上取一点P，使点P位于直线的上方，和是一组“内外错角”， 和的角平分线所在的直线，相交于点O，设，． （2）请用含，的代数式表示的大小； （3）如图3，若与交于点Q，请直接写出当，满足何种数量关系时，是直角三角形． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【思路引导】本题考查了平行线的判定，角平分线的有关计算及角关系探究等；掌握平行线的判定，能熟练利用角平分线的定义进行求解是解题的关键． （1）由补角的性质得，由平行线的判定方法，即可求解； （2）由角平分线的定义得，，由，即可求解； （3）当时，即可求解． 【规范解答】解：（1）； 理由如下：， ， ； （2）平分， 平分， ， ， ， ； （3）当时，为直角三角形， ； ， ， 为直角三角形． 11．（23-24七年级下·福建莆田·月考）已知：点A在直线上，点都在直线上（点B在点C的左侧），连接，AC，AB平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点K为线段上一动点，连结，且始终满足， ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数． ②在点K的运动过程中，与的度数之比为定值，请直接写出这个定值，不需要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①的度数为或；② 【思路引导】本题考查平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再根据内错角相等，两直线平行可得结论； （2）①由垂直的定义可知，即可得，设，则可表示和的度数，然后利用三角形的内角和解题即可解题； ②设，则可求出的值，然后表示的度数解题即可． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）①如图1，当F在A点右边时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； 如图：当F在A点左侧时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； 综上，的度数为或； ②，理由为： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴ ∴． 12．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图将沿线段翻折至处，延长、（点F在内部）． 请尝试探究： (1)请直接写出、与的数量关系为__________； (2)若平分，平分．点F在内部（如图②），证明：． (3)若射线、分别是，的n等分线（n为大于2的正整数），即，，射线和射线相交于点O．请直接写出与的数量关系：__________． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【思路引导】（1）根据三角形内角和定理及平角的定义得到，再根据，即可得出结论； （2）根据角平分线的定义及（1）中的结论得出，再根据平行线的性质与判定证明即可； （3）由三角形的内角和定理可得，，可得，再结合（1）的结论可得答案． 【规范解答】（1）解：在中，， 在中，， ， ，， ， ， 由对折可得：， ， （2）证明：如图，    过点作， ， 平分，平分， ，， 由（1）知， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴； 【考点再现】本题考查了三角形内角和定理，轴对称的性质，平行线的判定及角平分线的定义，熟记三角形内角和是是解题的关键，同时应熟练掌握平行线的判定及角平分线的定义． 题型四 同旁内角互补两直线行 13．（24-25七年级下·北京·期中）如图，下列条件中能判断的是（    ） ①；②；③；④． A．①④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是解题关键． 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可． 【规范解答】解：①， ； ②， ； ③，， ， ； ④， ， ； 可以判断的有①③④． 故选：C 14．（24-25七年级下·广东汕头·月考）综合与探究： 将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)若，求的度数； (2)求证； (3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 或 【思路引导】本题考查了平行线的判定，角度的和差计算，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）依据，即可得到的度数，即可求解； （2）依据，即可得到的度数，即可得证； （3）依据平行线的判定，分两种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ； （2）证明：， ； （3）解：分两种情况： 如图所示，当时，，所以， 如图所示，当时，，所以， 综上所述，的度数等于或时，． 15．（24-25八年级上·河北邢台·月考）如图1，在一场台球比赛中，母球击中桌边点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点，然后又反弹击中球．（桌角，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，即，）    (1)求证：． (2)如图2，在简易球台上，母球撞击球，球以角击出后，在桌子边缘回弹若干次后，进入球袋，问球会进入哪个球袋（，，，四个角各有一个球袋）？并在图2中画出球经过的路径． 【答案】(1)证明见解析 (2)球袋，见解析 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理、平行性的判定等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的内角和定理可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证； （2）结合网格特点，根据球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等画图即可得． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵桌角， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等， ∴画出球经过的路径如下：    所以球会进入球袋． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一副三角尺的两个直角顶点C重合叠放在一起，其中． (1)若，则的度数为 ； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若按住三角尺不动，三角尺绕顶点C转动一周，当等于多少度时，？ 【答案】(1) (2)，见解析 (3)当等于或时， 【思路引导】本题考查了角的和差，平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键． （1）依据，即可得到的度数，进而可求出的度数； （2）依据，即可得到的度数； （3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当等于或时，． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）．理由如下： ， ． （3）解：分两种情况讨论： ①如图①，当时，． ，， ． 又， ， ． ②如图②，当时，． ，， ． 又， ， ． 综上所述，当等于或时，． 题型五 根据平行线的性质探究角的关系 17．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知，连接，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (2)若于点，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）依据题意，由，得，又，，可得，从而，则，故得解； （2）根据已知条件，可得，再由，得，根据，，得出，进而可得的度数． 【规范解答】（1），理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ． ． 18．（14-15七年级下·浙江·期末）如图1，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在线段上． (1)如图1，，，之间的等量关系是______．如图2，A点在B处北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则______． (2)如图3，，，之间的有何等量关系？请说明理由． 【答案】(1)；85； (2)，理由见解析． 【思路引导】此题主要考查了平行线的性质和判定，正确添加辅助线是解决问题的关键． （1）在图1中，作，利用平行线的判定和性质即可证明；作即可得到，代入求得的度数． （2）如图所示，过点P作，根据平行线的性质得到，，进而求解即可． 【规范解答】（1）解：（1）如图1中，作，则 ∵， ∴， ∴， 作，则， ∵点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如图所示，过点P作， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 19．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）过点作 ，根据平行线的性质进行说理即可； （2）过点作的平行线 ，利用平行线的性质说理即可． 【规范解答】（1）解：过点作 ， ∵， ∴， ，， 两式相加得∶ ， 即； （2）解：如图（2），过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 如图（3），过点作，设交点为， ， ， ， ，， ， 即； 如图（4），过点作， ， ∴， ， ， 即． 20．（20-21七年级下·吉林白山·期末）（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】（1）过点作，由平行线的性质得，，则； （2）过点作，由平行线的性质得，再由平角的定义即可求解； （3）过点作，由平行线的性质得，则 ，再由（2）得，则，进而求解即可． 【规范解答】解：（1）过点作，如图1所示： ， ． ． ． 故答案为：； （2）过点作，如图2所示： ， ． ， ， ， 和之间的数量关系为：； （3） 分别是和的平分线， ，， 过点作，如图3所示： ， ． ， ， 由（2）得：， ， ， ． 【考点再现】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 题型六 根据平行线的性质求角的度数 21．（24-25七年级下·吉林·期末）一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 【答案】 【思路引导】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【规范解答】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）（1）如图1，，． ①与平行吗？为什么？ ②试说明：； （2）一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．      【答案】（1）①，理由见解析；②证明见解析；（2） 【思路引导】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据平行线的性质得，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可证明； （2）过点E作，根据平行线的性质得，，再求出，最后根据得到，据此求解即可． 【规范解答】（1）①解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明： 如图1所示，过点F作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2所示，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵底部支架与吊线平行，， ∴， ∴， ∴． ∴与所成锐角的度数为． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，连接CE并延长至点M，，． (1)试说明：． (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，，求的度数． 【答案】(1)说明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）观察和的位置关系，利用同位角相等的条件判定CE与GF平行； （2）由推出角相等，结合证明，进而得到与的数量关系； （3）利用平行线的性质求出相关角的度数，通过角的和计算的度数． 【规范解答】（1）解：∵， ∴． （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【考点再现】本题考查了平行线的判定与性质，掌握内错角相等判定两直线平行，以及两直线平行，同位角相等、同旁内角互补等性质是解题的关键． 24．（24-25七年级下·广东汕头·月考）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【规范解答】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 题型七 平行线的性质在生活中的应用 25．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）已知：E，F分别是直线和上的点，，G，H点为平面内两个动点． (1)如图1，G，H在两条直线之间时，，试说明：； (2)如图2，作直线，G点在下方，H点在和之间，连接和的角平分线交于点G．探究与的数量关系； (3)如图3，H，G在直线上，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转，射线在旋转6秒后开始绕点F以每秒的速度顺时针旋转．射线旋转后两条射线同时停止．设射线旋转t秒时，射线，直接写出t的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【思路引导】本题考查角平分线，平行线的判定与性质，平行公里的推论，旋转，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）过点G作，过点H作，可得，，继而推导出，即可解答； （2）先证明，继而推导出即可解答． （3）分类讨论，逐一分析，即可解答． 【规范解答】（1）如图1， 过点G作，过点H作， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）∵平分平分， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ∴． （3）分两种情况： ①如图3①， 由题意得，， 则， 当时，， ∴， 解得：； 如图3②，有 ， 当时， ， ∴，解得：． 综上所述，t的值为或． 26．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时 (3)存在某一时刻，使得，此时或27 【思路引导】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【规范解答】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【考点再现】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 27．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质及其应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）过点F作，则，再证，根据平行线的性质，通过等量代换可得； （2）过点C作，则，进而求出，根据平行线的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：结论：， 证明：如图，过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴． 28．已知：如图1，．求证：． 老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ (1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ； (2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ． 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补 (2)①，证明见解析；②或（写出一种即可）； (3) 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质， （1）根据平行线的性质进行填空即可； （2）①过D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可；②在拖动点至的上方或的下方两种情况下，分别过点D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可； （3）过点B作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：两直线平行，同旁内角互补． （2）① 证明：如下图，过D作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ②当拖动点至的上方时，如下图，过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 当拖动点至的下方时，如下图，过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 故答案为：或（写出一种即可）． （3） 过点B作 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 题型八 根据平行线判定与性质求角度 29．（24-25七年级下·河南开封·期末）近年来，我国一直提倡“绿色环保，低碳生活”，健康骑行成为一种时尚、环保的运动，深受人们的青睐，小慧的自行车示意图如图所示，其中，，，． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练运用平行线的相关性质解题是关键． （1）利用两直线平行，同旁内角互补即可解答； （2）由平行线的性质以及已知条件可得，进而得到，易证，最后根据同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【规范解答】（1）解：∵， ， ． （2）解：，理由如下： ∵， 又， ． ． 30．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． (1)阅读并补充下面推理过程： 解：过A点作，所以______， ______． 又因为，所以． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)如图2，已知，求的度数． (3)已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，所在直线交于点E，且点E在与两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，则的度数为______； ②如图4，点B在点A右侧，且，若，则的度数为______°．（用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2)∠ (3)①；② 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，再由平角的定义可得结论； （2）如图所示，过点C作，则，由平行线的性质可推出，据此可得答案； （3）①过点E作，则，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，据此可得答案； ②如图所示，过点E作，则，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：过A点作， ∴， 又∵， ∴． （2）解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； ②如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 31．（24-25七年级下·山西吕梁·月考）问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【思路引导】（1）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （2）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （3）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成求解； 【规范解答】（1）证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴ ∴． （2）证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴     （3）解：如图：过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）的结论可知， 故答案为：． 【考点再现】本题考查了平行线的性质与判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 32．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，射线在内交直线于点O．当N、M分别在点G、H的右侧，且，时，求的度数； (3)如图3，小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【思路引导】本题考查平行线，角平分线．解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的有关计算，分类讨论是解题关键． （1）过点作，根据平行公理可有，再根据平行线的性质，即可得解； （2）延长交于点，易得，再确定，结合可得，进而可得，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可得解； （3）根据平移三角形分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可作答． 【规范解答】（1）解：如下图，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长交于点，如下图， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即的度数为； （3）①当N，M分别在点G，H的右侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴； ②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 综上所述，或． 题型九 根据平行线判定与性质证明 33．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，在四边形中，，且平分，与互余若，求的度数阅读并补全下面的解答过程，括号内为推理依据． 解：，与互余， ，， ， （______）. 已知， ， ______（______）. 平分已知， ______（______）. ， ______（______）， ______ 【答案】同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；；两直线平行，同旁内角互补； 【思路引导】根据所给出的证明过程中的条件和结论进行解答即可． 本题考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定方法是正确解答的关键． 【规范解答】解：，与互余， ，， ， （同旁内角互补，两直线平行）， （已知）， ， （两直线平行，内错角相等） ， 平分（已知）， （角平分线的定义）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；；两直线平行，同旁内角互补；． 34．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，，，点、在上，平分，且平分，下列结论中正确的是 ． ①；②；③；④；⑤若，则． 【答案】①②⑤ 【思路引导】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． ①根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；②由，得到，得出．③平分，得出，从而计算出．④由，得出．⑤由，得到，再得到，从而计算出． 【规范解答】解：∵， ， 平分， ， ，故①正确，符合题意； ， ， ， ，故②正确，符合题意； 平分， ， ， ， 故③错误，不符合题意； ， ，故④错误，不符合题意； ， ， ， ， ，故⑤正确，符合题意． 故答案为：①②⑤． 35．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图1，为射线上一点，， ．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题． （1）根据角的和差关系得出，再根据同位角相等两直线平行即可证明． （2）如图，根据角的和差关系得出，根据平行线的性质得出，代入计算即可． （3）过点作，则，，由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可． 【规范解答】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：如图： 过点B作， ， ， ． ∵， ； （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． 36．已知：，分别为，上任意一点．，为和之间任意两点．连接，，，，． (1)如图1，若，求证：，； (2)当时 ①如图2，求证：； ②如图3，分别过点，点引射线，．交于，交于，，．和两角的角平分线交于点．当时，和的数量关系为：________（用含有的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【思路引导】本题考查了平行公理推论、平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据可证，再根据可证，，然后根据平行公理推论可证； （2）①延长，交直线于点，先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定即可得证； ②先求出，，，，，再过点作，过点作，根据平行线的性质可得，根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，则可得，同理可得，然后根据建立等式，化简即可得． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． （2）证明：①如图，延长，交直线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②∵，，，， ∴，，， ∴， ∵和两角的角平分线交于点，且， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）①已证：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤，能判定的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．③⑤ D．②④⑤ 【答案】A 【思路引导】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 【规范解答】解：， ，故①符合题意； ， ，故②符合题意； ， ，故③不符合题意； ， ，故④符合题意； 由，不能判定， 故⑤不符合题意； 综上所述：能判定的有①②④， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先利用折叠的性质得到相等的角，结合长方形的直角和已知角的度数，求出折叠后相关角的度数；再根据折叠后线段的平行关系，利用平行线的性质求出的度数． 【规范解答】解：由折叠的性质可知． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【考点再现】本题考查折叠的性质与平行线的性质，掌握折叠前后对应角相等、两直线平行时同旁内角互补是解题的关键． 3．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）如图，已知与互余，与互补，，则的度数是 ． 【答案】/146度 【思路引导】本题考查了求一个角的余角与补角、平行线的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见解析），先根据余角与补角的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据平行线的判定可得直线，根据平行线的性质求解即可得． 【规范解答】解：∵与互补，， ∴， ∵与互余， ∴， 如图，由对顶角相等得：， 又∵与互补， ∴与互补， ∴直线， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·福建厦门·期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转的探照灯，探照灯发出的光线可看成射线，如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交织照射巡视若灯A转动的速度是每秒度，灯转动的速度是每秒度，假定主道路是平行的，即，如图所示，当两条光束在同一直线上时，：：，若灯射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯A转动 秒时，两灯的光束互相平行． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，注意分类讨论是本题解题的关键． 先求出和，假设灯A转动时间为，先计算的取值范围，设灯射线为，灯A射线为，然后用表示出和，根据平行线的性质列出方程求解即可． 【规范解答】解：，， ，， 设灯射线为，灯A射线为，灯A转动时间为秒， 当与重合时，， 解得：， 等A转动所需时间为：秒， 初始时，， 时，如图： ，， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 当时，如图： 同理可得：， 即， 解得：，不符合题意； 当时，如上图， 同理可得：， ， 解得：， 当时，和都在左侧，不存在平行； 综上所述，或． 故答案为：或． 5．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）将一副三角板按如图放置，则下列结论： ①； ②如果，则有； ③如果，则有； ④如果，必有． 其中正确的有 ．（请填写所有正确的序号） 【答案】①②③④ 【思路引导】本题考查了平行线的判定，余角性质，直角三角形两锐角互余，由余角性质可判断①；证明可判断②；证明可判断③；分别求出，可判断④；正确识图是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 如果，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如果，则， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， 如果， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴其中正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 6．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 【答案】15 【思路引导】本题考查平行线的判定，角的和差． 当时，，则，即可解答． 【规范解答】解：如图， 当时，， 则， ∴三角板绕点顺时针旋转15度，即 7．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，已知三角形，点D在边上． (1)过点A作的平行线； (2)过点D作的垂线段，垂足为F；比较线段与的大小： （“”“”或“”填空），理由： ； (3)测量点B到直线的距离为 （精确到）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，，垂线段最短 (3)（测量值可在） 【思路引导】本题考查了画平行线，垂线段，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握平行线的定义和垂线的定义及垂线段性质． （1）根据平行线的定义作图即可； （2）根据垂线段的定义作图，再利用垂线段的性质即可得； （3）根据点到直线的距离，利用直尺测量即可得． 【规范解答】（1）如图，即为所求； （2）如图所示，即为所求， ，理由：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短 （3）利用带刻度的直尺测量，即点B到直线的距离为（测量值可在）， 故答案为：（测量值可在）． 8．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）在生活中，当我们把吸管放到清水中时，会发现吸管“折”了（如图1），其实这是光的折射现象．如图2，水面与容器底部平行，光线从空气中射入水中时发生了折射，折射光线与相交于点，点在的延长线上，，求光线偏折的角度的度数．在解决这道题时，小聪和小明分别用了不同方法． (1)请你为小聪的解题过程补充理由或结果； (2)请你在方框里帮小明写出他的解答过程． 小聪： 解：（已知）， （   ） （已知）， ． （   ）， ． （已知）， （   ） 小明：                 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；； (2)见解析． 【思路引导】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补． （1）由平行线的性质得，然后根据即可求解； （2）由平行线的性质得，由对顶角的性质得，然后根据求解即可． 【规范解答】（1）解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补） （已知）， ． （平角的定义）， ． （已知）， （2）（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （对顶角相等） ． 9．（22-23七年级下·湖北武汉·月考）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，则可得，再设，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）延长交于点，先根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质即可得证； （3）过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，，，再根据角平分线的定义、等量代换可得，然后根据可得，最后根据平行线的判定即可得． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 设， ∵比的2倍少， ∴，即， ∴， ∴． （2）证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·广东江门·月考）综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题． (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为_________；（直接写出答案） (2)善思小组的同学们将一个三角板（）放在一组直线与之间，如图，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们两块三角板的直角顶点重叠，固定，如图，将绕着点在平面内转动．其中，假设直角边．图中所有点均在一个平面内．设度数为，当等于多少时，．请画出图形并完成相应解答． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)或 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）分两种情形：当和在点异侧时，延长，交于，过点作，根据，得出，从而得出；当和在点的同侧时，设交于点，过点作，根据平行线的性质，即可求解． 【规范解答】（1）解：， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）解：如图， 当和在点异侧时，延长，交于，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 如图， 当和在点的同侧时，设交于点，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 综上所述：或． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行线的判定与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一 同位角、内错角、同旁内角（常考点） 1 题型二 同位角相等两直线平行 3 题型三 内错角相等两直线平行 5 题型四 同旁内角互补两直线平行 7 题型五 根据平行线的性质探究角的关系（难点） 9 题型六 根据平行线的性质求角的度数（难点） 12 题型七 平行线的性质在生活中的应用（难点） 14 题型八 根据平行线判定与性质求角度（难点） 18 题型九 根据平行线判定与性质证明（重难点） 21 B综合攻坚・专项突破 题型一 同位角、内错角、同旁内角（常考点） 1．（24-25七年级下·河北唐山·月考）胡同文化是京津冀地区的一大特色，承载着丰富的历史和文化内涵．如图为某胡同的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点G和“丁字路口”点F，经过测量已知． (1)请说明的理由； (2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数． 2．（24-25七年级下·河南濮阳·月考）我们已经学习了“三线八角”中的内错角，类比内错角，我们给出如下定义： 如图，直线，被所截，和分别在直线，的外侧（在直线上方，在直线下方），且分别在直线两侧（在直线左侧，在直线右侧），具有这种位置关系的一对角叫作外错角． (1)【初步理解】请在图中找出另一对外错角：________； (2)【理解应用】若的度数是它的外错角度数的2倍，，求，的度数． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 4．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图，已知四边形，点在的延长线上，连接、，下列说法中正确的是（   ） A．和是同旁内角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二 同位角相等两直线平行 5．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）判断两条直线平行有多种方法，老师在黑板上画出了下面的图形，让同学们添加一个条件，使，下面是甲、乙、丙、丁四个学生的方法，错误的是（   ） A．甲同学： B．乙同学： C．丙同学： D．丁同学： 6．（24-25七年级下·河南安阳·月考）如图，下列条件中，能判断直线的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（21-22七年级下·湖北十堰·期末）在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，D为直线BC上一点，DE⊥AB于点E，∠CDE的平分线交直线AC于点F．    (1)如图①，当点D在边BC上时，判断DF与AM的位置关系，并说明理由； (2)①如图②，当点D在边BC延长线上时，则DF与AM的位置关系是______； ②如图③，当点D在边CB延长线上时，则DF与AM的位置关系是______； (3)请就（2）中①或②中的一种情况，给出证明． 8．（21-22七年级下·江苏·期末）已知四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是边AB上一点，F为边BC上一点（不与B，C两点重合），连接EF，DF，且EF⊥DF． (1)如图1，若∠DFC=∠A，求证：AD⊥FD (2)如图2，∠BEF和∠CDF的平分线相较于点O，当点F在边BC上运动时，探究∠O的大小是否发生变化？若不变，求出∠O的度数；若变化，写出其变化范围． 题型三 内错角相等两直线平行 9．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）请你完成下列推理过程（括号内写出理由）． 如图，，． 试说明：． 解：因为， 所以________________（________）． 因为， 所以________________（________）． 所以（________）． 10．（24-25七年级下·山东济南·期中）【知识回顾】 如图1，直线与直线被直线l所截，交点为点E和点F．在“相交线与平行线”一章中，我们学习了“利用内错角与的数量关系可以判定两条直线的位置关系”．现将具有和这样位置关系的角称作一组“内外错角”． 【探究发现】 当“内外错角”满足一定的数量关系时，也能判定两条直线的位置关系． （1）当和满足何种数量关系时能使得？请说明理由． 【深入探究】 如图2，在直线l上取一点P，使点P位于直线的上方，和是一组“内外错角”， 和的角平分线所在的直线，相交于点O，设，． （2）请用含，的代数式表示的大小； （3）如图3，若与交于点Q，请直接写出当，满足何种数量关系时，是直角三角形． 11．（23-24七年级下·福建莆田·月考）已知：点A在直线上，点都在直线上（点B在点C的左侧），连接，AC，AB平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点K为线段上一动点，连结，且始终满足， ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数． ②在点K的运动过程中，与的度数之比为定值，请直接写出这个定值，不需要说明理由． 12．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图将沿线段翻折至处，延长、（点F在内部）． 请尝试探究： (1)请直接写出、与的数量关系为__________； (2)若平分，平分．点F在内部（如图②），证明：． (3)若射线、分别是，的n等分线（n为大于2的正整数），即，，射线和射线相交于点O．请直接写出与的数量关系：__________． 题型四 同旁内角互补两直线平行 13．（24-25七年级下·北京·期中）如图，下列条件中能判断的是（    ） ①；②；③；④． A．①④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 14．（24-25七年级下·广东汕头·月考）综合与探究： 将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)若，求的度数； (2)求证； (3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，直接写出的度数． 15．（24-25八年级上·河北邢台·月考）如图1，在一场台球比赛中，母球击中桌边点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点，然后又反弹击中球．（桌角，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，即，）    (1)求证：． (2)如图2，在简易球台上，母球撞击球，球以角击出后，在桌子边缘回弹若干次后，进入球袋，问球会进入哪个球袋（，，，四个角各有一个球袋）？并在图2中画出球经过的路径． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一副三角尺的两个直角顶点C重合叠放在一起，其中． (1)若，则的度数为 ； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若按住三角尺不动，三角尺绕顶点C转动一周，当等于多少度时，？ 题型五 根据平行线的性质探究角的关系（难点） 17．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知，连接，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (2)若于点，求的度数． 18．如图1，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在线段上． (1)如图1，，，之间的等量关系是______．如图2，A点在B处北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则______． (2)如图3，，，之间的有何等量关系？请说明理由． 19．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 20．（20-21七年级下·吉林白山·期末）（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 题型六 根据平行线的性质求角的度数（难点） 21．（24-25七年级下·吉林·期末）一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 22．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）（1）如图1，，． ①与平行吗？为什么？ ②试说明：； （2）一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．      23．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，连接CE并延长至点M，，． (1)试说明：． (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，，求的度数． 24．（24-25七年级下·广东汕头·月考）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 题型七 平行线的性质在生活中的应用（难点） 25．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）已知：E，F分别是直线和上的点，，G，H点为平面内两个动点． (1)如图1，G，H在两条直线之间时，，试说明：； (2)如图2，作直线，G点在下方，H点在和之间，连接和的角平分线交于点G．探究与的数量关系； (3)如图3，H，G在直线上，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转，射线在旋转6秒后开始绕点F以每秒的速度顺时针旋转．射线旋转后两条射线同时停止．设射线旋转t秒时，射线，直接写出t的值． 26．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 27．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 28．已知：如图1，．求证：． 老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ (1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ； (2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ． 题型八 根据平行线判定与性质求角度（难点） 29．（24-25七年级下·河南开封·期末）近年来，我国一直提倡“绿色环保，低碳生活”，健康骑行成为一种时尚、环保的运动，深受人们的青睐，小慧的自行车示意图如图所示，其中，，，． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 30．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． (1)阅读并补充下面推理过程： 解：过A点作，所以______， ______． 又因为，所以． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)如图2，已知，求的度数． (3)已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，所在直线交于点E，且点E在与两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，则的度数为______； ②如图4，点B在点A右侧，且，若，则的度数为______°．（用含n的代数式表示） 31．（24-25七年级下·山西吕梁·月考）问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 32．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，射线在内交直线于点O．当N、M分别在点G、H的右侧，且，时，求的度数； (3)如图3，小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 题型九 根据平行线判定与性质证明（重难点） 33．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，在四边形中，，且平分，与互余若，求的度数阅读并补全下面的解答过程，括号内为推理依据． 解：，与互余， ，， ， （______）. 已知， ， ______（______）. 平分已知， ______（______）. ， ______（______）， ______ 34．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，，，点、在上，平分，且平分，下列结论中正确的是 ． ①；②；③；④；⑤若，则． 35．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图1，为射线上一点，， ．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 36．已知：，分别为，上任意一点．，为和之间任意两点．连接，，，，． (1)如图1，若，求证：，； (2)当时 ①如图2，求证：； ②如图3，分别过点，点引射线，．交于，交于，，．和两角的角平分线交于点．当时，和的数量关系为：________（用含有的式子表示）． 1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤，能判定的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．③⑤ D．②④⑤ 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）如图，已知与互余，与互补，，则的度数是 ． 4．（24-25七年级下·福建厦门·期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转的探照灯，探照灯发出的光线可看成射线，如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交织照射巡视若灯A转动的速度是每秒度，灯转动的速度是每秒度，假定主道路是平行的，即，如图所示，当两条光束在同一直线上时，：：，若灯射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯A转动 秒时，两灯的光束互相平行． 5．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）将一副三角板按如图放置，则下列结论： ①； ②如果，则有； ③如果，则有； ④如果，必有． 其中正确的有 ．（请填写所有正确的序号） 6．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 7．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，已知三角形，点D在边上． (1)过点A作的平行线； (2)过点D作的垂线段，垂足为F；比较线段与的大小： （“”“”或“”填空），理由： ； (3)测量点B到直线的距离为 （精确到）． 8．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）在生活中，当我们把吸管放到清水中时，会发现吸管“折”了（如图1），其实这是光的折射现象．如图2，水面与容器底部平行，光线从空气中射入水中时发生了折射，折射光线与相交于点，点在的延长线上，，求光线偏折的角度的度数．在解决这道题时，小聪和小明分别用了不同方法． (1)请你为小聪的解题过程补充理由或结果； (2)请你在方框里帮小明写出他的解答过程． 小聪： 解：（已知）， （   ） （已知）， ． （   ）， ． （已知）， （   ） 小明：                 9．（22-23七年级下·湖北武汉·月考）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 10．（24-25七年级下·广东江门·月考）综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题． (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为_________；（直接写出答案） (2)善思小组的同学们将一个三角板（）放在一组直线与之间，如图，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们两块三角板的直角顶点重叠，固定，如图，将绕着点在平面内转动．其中，假设直角边．图中所有点均在一个平面内．设度数为，当等于多少时，．请画出图形并完成相应解答． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $