《和差问题专项突破》-2025-2026学年三年级奥数培优讲义人教版

2026年人教版三年级奥数培优讲义-《和差问题专项突破》 一、学习目标 1.理解和差问题的核心结构，能通过线段图直观分析两个数的和与差数量关系； 2.熟练掌握和差问题的基本公式，准确计算大数和小数； 3.学会识别实际问题中的“隐藏和”“隐藏差”，并转化为标准和差问题解决； 4.能解决简单的三个量和差延伸问题，培养数形结合与逻辑推理能力； 5.运用和差思想解决年龄、物品分配等实际问题，提升数学应用能力。 二、知识梳理 1.和差问题定义：已知两个数的和与它们的差，求这两个数分别是多少的数学问题，是三年级奥数的基础应用题类型。 2.核心分析方法：线段图法 （1）先画短线段表示小数，再画等长线段加额外部分表示大数，额外部分即为“差”，两条线段总长度即为“和”； （2）直观推导：给小数补上“差”，总长度变为「和+差」，对应2个大数；从大数去掉“差”，总长度变为「和-差」，对应2个小数。 3.基本公式 （1）大数 =（和 + 差）÷ 2 （2）小数 =（和 - 差）÷ 2 或 小数 = 和 - 大数 或 小数 = 大数 - 差 4.常见变形题型 （1）隐藏差：题目未直接给差，需通过“移动数量×2”推导（如甲拿3个给乙后两数相等，则原差为3×2=6）； （2）隐藏和：题目未直接给和，需通过已知条件先计算（如两人年龄和=今年年龄和+年数×2）； （3）三个量和差：以最小量为基准，将三个量转化为与最小量相关的和，分步求解。 三、例题讲解 【例题1】基础型和差问题 甲乙两数的和是86，甲数比乙数多12，求甲乙两数各是多少？ 解析：根据线段图推导的基本公式，已知和=86，差=12。 大数（甲数）=(86+12)÷2=98÷2=49 小数（乙数）=86-49=37 或 (86-12)÷2=37 答：甲数是49，乙数是37。 【跟踪训练1】 1.小明和小红的零花钱总和是58元，小明比小红多10元，两人各有多少零花钱？ 2.学校合唱队共有72人，男生比女生少8人，合唱队男、女生各有多少人？ 【例题2】隐藏差型和差问题 两筐苹果共重68千克，从第一筐中拿出4千克放入第二筐，两筐苹果重量相等。原来两筐苹果各重多少千克？ 解析：关键先找隐藏的差：从第一筐拿4千克给第二筐后相等，说明原来第一筐比第二筐多4×2=8千克，此时和=68，差=8。 第一筐（大数）=(68+8)÷2=76÷2=38千克 第二筐（小数）=68-38=30千克 答：原来第一筐重38千克，第二筐重30千克。 【跟踪训练2】 1.甲、乙两个仓库共存粮120吨，若从甲仓库运15吨到乙仓库，两个仓库存粮就一样多。原来甲、乙仓库各存粮多少吨？ 2.两箱梨共96个，从第一箱拿6个到第二箱后，两箱梨的数量相同，原来两箱各有多少个梨？ 【例题3】隐藏和型和差问题（年龄问题） 明明和亮亮原来共有30本书，明明又新买了6本书后，比亮亮多4本。原来明明和亮亮各有多少本书？ 解析：先推导隐藏的“原来的差”：明明买6本后比亮亮多4本，说明原来明明比亮亮少6-4=2本，即原来的差=2，原来的和=30。 亮亮（大数）=(30+2)÷2=16本 明明（小数）=30-16=14本 答：原来明明有14本，亮亮有16本。 【跟踪训练3】 1.妈妈今年34岁，女儿今年6岁，多少年后母女年龄和是50岁？此时母女各多少岁？ 2.两桶油现在共重40千克，若第一桶用去3千克、第二桶用去1千克后，两桶油重量相等。原来两桶油各重多少千克？ 四、提升练习 1.两个数的和是92，差是16，求这两个数分别是多少？ 2.两袋大米共重50千克，从第一袋拿3千克到第二袋后，第一袋还比第二袋多2千克。原来两袋大米各重多少千克？ 3.甲乙两人原来钱数相等，甲花了10元、乙赚了14元后，乙比甲多多少元？若此时两人钱数和是60元，原来两人各有多少元？ 4.三（1）、三（2）、三（3）班共有120人，三（1）班比三（2）班多2人，三（2）班比三（3）班多1人，三个班各有多少人？ 5.书架上下两层共放书80本，上层书比下层多12本，上下两层各放多少本书？ 6.学校买了足球和篮球共36个，篮球比足球多4个，后来又买了几个篮球，此时篮球比足球多8个，又买了多少个篮球？ 五、模拟赛场（奥数难度） 1.甲、乙、丙三个数的和是90，甲比乙多5，乙比丙多5，求甲、乙、丙三个数各是多少？ 2.小明和小红共有邮票80张，小明给小红5张邮票后，小明还比小红多2张，原来两人各有多少张邮票？ 参考答案及解析 跟踪训练答案 跟踪训练1 1.小明：(58+10)÷2=34元，小红：58-34=24元 2.女生：(72+8)÷2=40人，男生：72-40=32人 跟踪训练2 1.甲仓库：(120+15×2)÷2=75吨，乙仓库：120-75=45吨 2.第一箱：(96+6×2)÷2=54个，第二箱：96-54=42个 跟踪训练3 1.年龄差：34-6=28岁，目标和50岁时，妈妈：(50+28)÷2=39岁，经过年数：39-34=5年；此时女儿：39-28=11岁 2.隐藏差：3-1=2千克，原来第一桶：(40+2)÷2=21千克，第二桶：40-21=19千克 提升练习答案 1.大数：(92+16)÷2=54，小数：92-54=38 2.隐藏差：3×2+2=8千克，第一袋：(50+8)÷2=29千克，第二袋：50-29=21千克 3.乙比甲多：10+14=24元；现在甲：(60-24)÷2=18元，原来甲：18+10=28元（两人原来相等，均为28元） 4.以三（3）班为基准，三（2）班=三（3）班+1，三（1）班=三（3）班+3；三（3）班：(120-1-3)÷3=38人，三（2）班：38+1=39人，三（1）班：39+2=41人 5.上层：(80+12)÷2=46本，下层：80-46=34本 6.原来篮球：(36+4)÷2=20个，后来篮球：20+（8-4）=24个，又买了：24-20=4个 模拟赛场答案及解析 1.答案：甲35，乙30，丙25 解析：以丙为基准，乙=丙+5，甲=丙+10，三数和=丙×3+15=90，丙=(90-15)÷3=25，乙=25+5=30，甲=30+5=35 2.答案：小明46张，小红34张 解析：隐藏差=5×2+2=12张，原来小明：(80+12)÷2=46张，小红：80-46=34张 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $