江苏省无锡市江阴市成化高级中学2025-2026学年高二上学期期末数学综合测试5

2026年高二上学期期末综合测试5 考试时间120分钟, 试卷满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知复数满足（其中是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法化简可化简复数. 【详解】因为，则. 故选：B. 2．已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标直接写出抛物线方程. 【详解】因为抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是. 故选：B 3．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式以及前项求和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，由可得，即， 所以，又，所以. 故选：B 4．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】由椭圆方程即可求得，进而即可求解. 【详解】因为第一个椭圆的，则焦距为， 所以长轴长为10，短轴长为8,离心率为， 第二个椭圆的， 则焦距为， 所以长轴长为，短轴长为，离心率为， 所以A，B，C错误，D正确， 故选：D. 5．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，由即可求解. 【详解】由题意以为原点，所在直线分别为轴所在直线建立如图所示的空间直角坐标系： 所以， 所以， 不妨设平面的法向量为， 则，令，解得，即取平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 6．已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（    ） A．244 B．243 C．242 D．241 【答案】A 【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】由题意可知，且， 设等比数列的公比为， 则，得， . 故选：A 7．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设, 因为为线段的中点，所以， 则，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，所以. 故选：D. 8．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率，每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为3天，那么感染人数由1个初始感染者增加到99人大约需要（    ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）（参考数据：） A．6天 B．15天 C．18天 D．21天 【答案】C 【分析】根据已知条件,结合等比数列前项和公式,以及对数函数的公式,即可求解. 【详解】解：设第轮感染的人数为， 则数列是首项，公比的等比数列， 由， 解得， 两边取对数可得，， 得， 故需要的天数约为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知圆：，直线：（），则（    ） A．直线l恒过定点 B．直线l被圆C截得的最长弦长为10 C．当时，直线l被圆C截得的弦长最短 D．当时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于4 【答案】AB 【分析】直线的方程变形为：，令的系数等于零，即可判断A；当直线过圆心时，弦长最长，即可判断B；当时，弦长最短，即可判断C；计算出当时，圆心到直线的距离即可判断D. 【详解】对于A，直线的方程变形为：， 令，解得， 所以直线l恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心，半径， 当直线过圆心时，弦长最长为，故B正确； 对于C，当时，弦长最短， 此时，解得，故C错误； 对于D，当时，直线：， 此时圆心到直线的距离， 而， 所以当时，圆C上有4个点到直线l的距离等于4，故D错误. 故选：AB. 10．等差数列，的前项和分别为，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列是递增数列 B． C． D． 【答案】AB 【分析】A选项，作差法得到，A正确；B、C选项，由等差数列求和公式和性质得到，从而得到，；D选项，举出反例，D错误. 【详解】A选项，， 由于， 所以是递增数列，A正确； B选项，， 令得，所以，B正确； C选项，由B选项，令得，故，C错误； D选项，当时，，D错误． 故选：AB 11．已知双曲线的左右焦点分别为，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于A，B两点，则下列结论正确的有，（    ） A．若，则或9 B．左焦点到渐近线距离为 C．若A，B两点分别位于的两支，则 D．点不可能是线段AB的中点 【答案】BCD 【分析】对于选项A，根据双曲线的定义判断；对于选项B，根据点到直线距离公式判断；对于选项C，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，两横坐标的一正一负可求得的范围；对于选项D，，假设点是线段AB的中点，结合C选项可得，求解可得，检验可得结论. 【详解】对于选项A，根据双曲线定义，又， 则，解得或， 但，所以，所以选项A错误. 对于选项B，由双曲线，得渐近线方程为，即.， 左焦点，左焦点到渐近线距离，选项B正确. 对于选项C，直线的方程为， 联立，消去得， 展开并整理得， 若A，B两点分别位于的两支，则方程有一正根与一负根， 所以，解得，故C正确； 对于选项D，设，由C选项可得， 若点是线段AB的中点，则，则， 解得，代入，矛盾. 所以点不可能是线段AB的中点，选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意可得，结合椭圆的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，为正三角形，且， 则， 所以， ， 由椭圆的定义知， 即，解得. 故答案为：. 13．已知数列中，，则 ． 【答案】8097 【分析】根据题设中的递推关系可得，进而根据等差数列通项公式求解即可. 【详解】由题设可得，又， 所以，所以，，即， 所以为等差数列，公差为4，首项为5， 所以． 故答案为：8097． 14．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 【答案】；椭圆. 【分析】利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程． 【详解】设动圆圆心为，半径为， 设圆和圆的圆心分别为、， 将圆的方程分别配方得：圆，圆 当动圆与圆相外切时，有 …① 当动圆与圆相内切时，有…② 将①②两式相加，得， ∴动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆． 设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为； ∴， ∴ ∴ ∴动圆圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆． 【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 【详解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r， 所以，…………2分 则圆A方程为…………4分 （2）过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知…………6分 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意，…………8分 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得，…………11分 代入解之可得，…………2分 所以或为所求方程．…………13分 16．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推式，写出前项和项的和，进而作差求通项公式即可； （2）根据等差数列性质求得，再应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和. 【详解】（1）因为①， 当时，②，…………2分 ①②，得．…………4分 所以，当时，，满足上式，…………5分 所以的通项公式为．…………6分 （2）由（1）知，得，…………8分 则③， ④，…………11分 ③④得 …………13分，…………14分 所以．…………15分 17．如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面平面，，，M是棱PC上的点，且，. (1)求证：平面PAD； (2)设二面角的大小为，若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）由余弦定理计算后由勾股定理逆定理证明，取的中点，连结，由面面垂直得线面垂直，从而得线线垂直，然后可得证题设线面垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角，从而求出值． 【详解】（1）因为，， 所以，，…………1分 在中，，，由余弦定理得， ，…………3分 所以， 即，，…………4分 取的中点，连结，因为是等边三角形，所以，…………5分 又因为平面平面， 平面平面，平面PAD， 所以平面，…………7分 又因为平面， 所以. 又因为，，平面， 所以平面.…………8分 （2）取的中点N，连结，则，所以， 以为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ， …………10分 又，设平面MBD的一个法向量为， 则即， 当时，平面平面，不合题意；…………11分 当时，令，得平面的法向量为，…………13分 易知平面的一个法向量为， 由于平面与平面所成角的余弦值为， 故有，…………14分 解得或.…………15分 18．已知数列满足，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）由题可得，即可证明结论； （2）由（1）可得，可得的通项公式，然后可得的通项公式； （3）由（2）可得，假设中存在不同的三项能构成等差数列，可得，然后由题可产生矛盾，即可完成证明. 【详解】（1）证明：因， 则，…………2分 则是以为首项，公比为3的等比数列；…………4分 （2）由（1），，…………6分 则是以为首项，公差为1的等差数列， 则；…………8分 （3）由（2），，…………10分 则， 则.…………12分 证明：假设数列中存在不同的三项能构成等差数列， 设这三项项数为.其中， 则，.…………14分 设，则， 得，…………15分 注意到，， 则.…………16分 这与矛盾，则数列中不存在不同的三项能构成等差数列.…………17分 【点睛】关键点睛：本题涉及由递推式得数列通项公式，常利用已知递推式等价变形构造新数列求解通项；分式型数列求和常常涉及裂项相消法，关键为写出裂项式；证明包含全称量词或特称量词的相关命题时，常利用反证法. 19．已知椭圆的左顶点和右顶点分别为和，椭圆的离心率为并且与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)若,分别为上两点（不与,重合），若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得椭圆方程可变为，联立直线方程，利用求出c，进而求得a、b的值即可； （2）设直线MN方程为，根据点差法可得，进而，由两点表示斜率公式可得，直线MN联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，代入上式，化简整理可得，求出，得面积为，令，利用换元法和对勾函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意知，，得，则，…………2分 所以椭圆方程可变为，由， 得，由，…………4分 解得，所以， 故椭圆的方程为：；…………5分 （2）由（1）知， 易知直线MN的斜率不为0，设其方程为， 则，，两式相减得， 整理得，即，…………7分 又，所以，则，…………8分 又， 所以， 即①， ，消元得， ，，…10分 代入①式，得， 所以，整理得，解得，…………12分 即直线MN恒过定点，且， 所以，…………13分 故的面积为，…………14分 令，则，， 则，…………15分 又函数在上单调递增，由，得，………16分 则，即的面积的取值范围为.…………17分 【点睛】关键点睛：在解决圆锥曲线有关面积的范围问题时，先用一个变量表示面积得到表达式，然后用函数的单调性或基本不等式求解. 试卷第10页，共16页 试卷第9页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二上学期期末综合测试5 考试时间120分钟, 试卷满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知复数满足（其中是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．10 D．12 4．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 5．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 6．已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（    ） A．244 B．243 C．242 D．241 7．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率，每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为3天，那么感染人数由1个初始感染者增加到99人大约需要（    ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）（参考数据：） A．6天 B．15天 C．18天 D．21天 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知圆：，直线：（），则（    ） A．直线l恒过定点 B．直线l被圆C截得的最长弦长为10 C．当时，直线l被圆C截得的弦长最短 D．当时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于4 10．等差数列，的前项和分别为，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列是递增数列 B． C． D． 11．已知双曲线的左右焦点分别为，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于A，B两点，则下列结论正确的有，（    ） A．若，则或9 B．左焦点到渐近线距离为 C．若A，B两点分别位于的两支，则 D．点不可能是线段AB的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为 . 13．已知数列中，，则 ． 14．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程 ，它是什么曲线 ． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（4+9） 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 16．（6+9） 已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 17．（8+7） 如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面平面，，，M是棱PC上的点，且，. (1)求证：平面PAD； (2)设二面角的大小为，若，求的值. 18．（4+4+9） 已知数列满足，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 19．（5+12） 已知椭圆的左顶点和右顶点分别为和，椭圆的离心率为并且与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)若,分别为上两点（不与,重合），若，求面积的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $