江苏省无锡市江阴市成化高级中学2025-2026学年高二上学期期末数学综合测试4

2026年高二上学期期末综合测试4 考试时间120分钟, 试卷满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．若数列的通项公式为，则（  ） A． B． C． D． 2．点到双曲线的渐近线的距离为（  ） A． B． C． D． 3．已知短轴长为2的椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 4．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且满足，则点到平面的距离是（  ） A． B． C． D． 5．2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会．某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第站比第站多千瓶（且），第10站准备的饮用水的数量为（  ） A．45千瓶 B．50千瓶 C．55千瓶 D．60千瓶 6．已知数列的前项和为，前项积为，满足，则（  ） A．45 B．50 C．55 D．60 7．已知圆与圆，过动点分别作圆，圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 8．已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（  ） A．若，的斜率分别为，，则 B． C．的最小值为 D．的最小值为 10．已知点在圆上，点，，则（  ） A．直线与圆相切 B．点到直线的距离小于 C．当最大时， D．的最小值小于 11．已知椭圆：的左右焦点分别为，，且点是直线上任意一点，过点作的两条切线，，切点分别为，则（  ） A．的周长为 B．，，三点共线 C．，两点间的最短距离为 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．等差数列的前项和记为，且，则 ． 13．已知在平面直角坐标系中，，动点满足则点的轨迹为圆 ，过点的直线交圆于两点，，且，则 . 14．已知抛物线，过该抛物线焦点的直线与该抛物线相交于两点（其中点在第一象限），当直线的倾斜角为时，，为坐标原点，则面积的最小值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（7+6） 已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，的前项和为，求. 16．（5+10） 已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求. 17．（6+9） 如图，在平行六面体中，平面，，，. (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 18．（5+10） 已知中心在原点，长轴在轴上的椭圆的左右顶点分别为和，为椭圆上的除左右顶点外的任一点，且，斜率之乘积为. (1)求椭圆的方程； (2)过分别作两条直线与椭圆交于点，点；线段的中点为，线段的中点为，若，求证：直线过定点. 19．（8+9） 已知数列是正项等比数列，且，，若数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)已知，记.若恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二上学期期末综合测试4 考试时间120分钟, 试卷满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．若数列的通项公式为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用裂项相消求和可得答案. 【详解】， 则. 故选：A. 2．点到双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式求解. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：，即， 则点到双曲线的渐近线的距离为. 故选：A 3．已知短轴长为2的椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设椭圆方程，再由椭圆和正方形的对称性得出顶点坐标，代入椭圆方程即可求解. 【详解】设椭圆方程为， 由正方形和椭圆的对称性可得：正方形的四个顶点坐标分别为，，， ，将点坐标代入椭圆方程得：， 所以，所以圆心率为. 故选：B. 4．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且满足，则点到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】解：分别以所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则.. 设平面的一个法向量为，由得：. 令，则.则平面的一个法向量为.所以点到平面的距离. 故选：D. 5．2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会．某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n站比第站多n千瓶（且），第10站准备的饮用水的数量为（    ） A．45千瓶 B．50千瓶 C．55千瓶 D．60千瓶 【答案】C 【分析】设第站的饮用水的数量为，由题意得：，，，，，然后利用累加法即可求解. 【详解】设第站的饮用水的数量为，由题意得：，，，，，以上等式相加得：，， 即. 故选：C 6．已知数列的前项和为，前项积为，满足，则（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 【答案】D 【分析】根据可得，结合等比数列的定义可知是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的通项公式求出，进而求出即可求解. 【详解】根据题意：， 两式作差可得，当时，， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以， 所以， 故选：D． 7．已知圆与圆，过动点分别作圆，圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何关系确定动点在线段的中垂线上，并求出中垂线的直线方程，再根据的几何意义求解. 【详解】 如图，因为，且,所以, 所以动点在线段的中垂线上， 因为，所以的中点为， 且，所以中垂线的斜率为， 所以中垂线的直线方程为：，即， 又因为表示点和点的距离， 所以点到直线的距离即为的最小值. 故选:A. 8．已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可求得 ，为奇数时，， 根据单调性可得： ，为偶数时，，根据单调性可得： ，可得的最大值与最小值分别为2，， 考虑到函数  在上单调递增，即可得出结论． 【详解】等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，解得， 所以， 当为奇数时，，易得单调递减，且，所以； 当为偶数时，，易得单调递增，且，所以． 所以的最大值与最小值分别为2，． 函数在上单调递增，所以． ．所以的最小值． 故选：B． 【点睛】思路点睛：由已知条件求得等比数列的前n项和，通过分类讨论并利用函数单调性求得的最大值和最小值，再由函数在上单调递增且，可求取值范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（    ） A．若，的斜率分别为，，则 B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】写出渐近线方程，设，直接计算，然后判断各选项． 【详解】由题意双曲线的渐近线为，即， 设，不妨设在第一象限，在渐近线上， 则，，，A正确； 在双曲线上，则，， ，，∴，B正确； ，当且仅当时等号成立，即的最小值为，C错误； 渐近线的斜率为，倾斜角为，两渐近线夹角为，∴，，当且仅当时等号成立，∴，即最小值为，D正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查渐近线方程，考查基本不等式求最值，这类题把许多知识点集中在一起同，对学生推理论证能力，分析求解能力要求较高，属于难题． 10．已知点在圆C：上，点，，则（    ） A．直线与圆相切 B．点到直线的距离小于7 C．当最大时， D．的最小值小于15° 【答案】BCD 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解判断A；根据圆上的点到直线的距离最值，判断BD；根据直线与圆相切时最大，从而判断C. 【详解】对于A：圆：的圆心，半径， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离，A错误； 对于B：因为圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的距离最大值为，B正确； 对于C：当直线与圆相切（图中位置）时，最大， 此时，C正确； 对于D：直线与圆相切（图中位置）时，最小， 由， 又 得， 又， 可得， 又， 因为， 所以，又为锐角， 所以，D正确. 故选：BCD. 11．已知椭圆：的左右焦点分别为，，且点是直线上任意一点，过点作的两条切线，，切点分别为，则（    ） A．的周长为6 B．A，，三点共线 C．A，两点间的最短距离为2 D． 【答案】ABD 【分析】根据椭圆焦点三角形的周长的算法，可判断A的真假；求出切点弦的方程，判断是否过右焦点可判断B的真假；求过右焦点的弦长的最小值，判断C的真假；利用斜率与倾斜角的关系及正切的差角公式计算即可判定D项. 【详解】设椭圆长轴长，短轴长，焦距， 则由椭圆方程可知， 如图：    因为A在椭圆上，所以，， 所以的周长为，故A正确； 对B：设点的坐标为，，， 由图可知，过点作椭圆的切线，切线斜率必存在. 所以过A点的切线方程可设为：， 联立方程组：，消去得：， 由得：， 整理得：， 因为：，， 所以：, 即. 所以过点A的切线为：. 又切线过点，所以. 同理：. 故A，两点都在直线上，而点也在这条直线上，所以A，，三点共线，故B正确； 对C：若直线无斜率，则, 若直线有斜率，结合B项结论可设其方程为：, 联立方程组：，消去得：， 整理得：， 则，， 所以， 所以：. 综上：.故C错误； 对D：设过点的切线方程为：， 联立方程组：，消去得：， 由得：， 整理得：， 不妨设，则， 易知， 且均为锐角，故 ， 所以，故D正确. 【点睛】难点点睛：对于B项，利用同解方程求出切点弦方程即可，而积累结论：过椭圆上一点的切线方程为，过椭圆外一点的切点弦方程为，如此可直接快速判定B项；对于C项，通过分类讨论及弦长公式计算即可，而积累结论焦点弦通径最短可快速得出结论；对于D项，根据同解方程得出两切线斜率的关系式，结合到角公式计算即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．等差数列的前项和记为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用等差数列前项和公式，求得首项和公差，再求即可. 【详解】设数列的公差为， 根据题意可得，即， 解得：，，故. 故答案为：. 13．已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 . 【答案】 【分析】设，根据可得圆的方程，利用垂径定理可求. 【详解】设，则，整理得到， 即. 因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为， 则为的中点，则，故， 解得， 故答案为：，. 14．已知抛物线，过该抛物线焦点的直线与该抛物线相交于两点（其中点在第一象限），当直线的倾斜角为时，，为坐标原点，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合题意求出,设直线，结合韦达定理表示出面积，结合基本不等式即可求解. 【详解】如图所示，分别过向准线作垂线，垂足分别为、，过作的垂线，垂足为， 当直线的倾斜角为时，结合题意易得， 所以，即， 设，，满足，， 设直线，代入抛物线方程， 可得，， 所以， 当时，三角形面积取最小值，此时最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系化简求解即可； （2）采用分组求和的方式计算即可. 【详解】（1）①② ①-②整理得 …………2分 数列是正项数列， …………4分 当时， 数列是以2为首项，4为公差的等差数列，…………6分 ；…………7分 （2）由题意知， ，…………8分 故…………10分 …………12分 .…………13分 16．已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用点是曲线上一点，结合抛物线的定义整理计算即可; （2）结合题意转化为，借助韦达定理得或，再借助弦长公式计算即可. 【详解】（1）由抛物线，可得焦点为， 由抛物线的定义可得，…………1分 而，所以，解得或.…………3分 当时，;当时，. 所以点的坐标为或.…………5分 （2）设，联立方程，得， 所以，即, 且 …………7分 由题知，， 整理得，…………9分 即，解得或，…………11分 当时，；…13分 当时，.…14分 综上所述：弦长的值为或.…………15分 17．如图，在平行六面体中，平面，，，. (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）解法一：利用空间向量法，，从而得证； 解法二：在平面内过点作的垂线，垂足为，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用坐标运算得，从而得证； 解法三：通过证明平面，则，利用勾股定理得证，从而得证； （2）假设存在点满足条件，利用两平面夹角公式可解. 【详解】（1）解法一：因为平面，平面， 所以，所以…………2分 因为，所以…………3分 又因为， 所以，化简得…………5分 所以， 所以…………6分 解法二： 在平面内过点作的垂线，垂足为，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，，，……2分 设，则，所以， 由得，所以， 又因为，所以，解得，…………4分 所以，，，， 所以， 所以；…………6分 解法三：在平面中，过作的垂线，垂足为，连结交于. 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面，…………2分 又因为平面，所以， 因为，，平面，平面， 所以平面，…………4分 因为平面，所以，则， 所以，所以，所以， 在中，，，，所以， 在中，，，，所以， 在中，，，，所以， 所以， 所以；…………6分 （2）由（1）得平面的一个法向量为，…………7分 假设存在点满足条件，设，则，…………9分 设平面的一个法向量为， 由，得， 令，则，，所以，…………11分 所以，…………12分 因为平面与平面的夹角为， 即，解得，…………14分 又因为，所以舍去， 所以线段上不存在点使得平面与平面的夹角为.…………15分 18．已知中心在原点，长轴在轴上的椭圆的左右顶点分别为和，P为椭圆上的除左右顶点外的任一点，且，斜率之乘积为. (1)求椭圆的方程； (2)过分别作两条直线与椭圆交于点，点；线段的中点为，线段的中点为，若，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设椭圆方程为，根据，斜率之乘积为，列式，求出b，即可得答案； （2）解法一：讨论直线斜率是否存情况，存在时，设直线，并联立椭圆方程，可得出根与系数的关系式，结合，可得，代入根与系数的关系式，化简，可得参数之间的关系，即可证明结论； 解法二：设，，，利用点差法推出，讨论直线斜率是否存情况，存在时，设直线，并联立椭圆方程，可得出根与系数的关系式，代入，化简，可得参数之间的关系，即可证明结论； 【详解】（1）由题意，设椭圆方程为.…………1分 设，则，…………2分 ，…………4分 所以椭圆方程为.…………5分 （2）解法1：①当直线的斜率存在时，设直线， 与椭圆方程联立得，， 需满足；    设，，则，， ，，…………7分 ，，…………9分 即，， 即，…………11分 即， 即，，…………13分 或， 当时，直线过左顶点，不合题意，舍去； 当时，满足， 此时直线：经过定点.…………15分 ②当直线斜率不存在时，设，，则，， 由得，， 解方程组，得，此时直线过，…………16分 综合①②可知，直线过.…………17分 解法2：设，，， 则，，，即，…………7分 同理，，又，得，…………9分 直线的斜率存在时，设直线，代入椭圆方程， 得， ，，需满足，…………11分 ，， ， ， 即，，…………13分 或， 当时，直线过右顶点，不合题意，舍去； 当时，满足， 此时直线：经过定点.…………15分 ②当直线斜率不存在时，设，，则，， 由得，， 解方程组，得，此时直线过，…………16分 综合①②可知，直线过.…………17分 【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系中直线过定点问题，解答是要联立方程利用根与系数的关系进行化简，难点就在于化简过程较为复杂，计算量较大，需要十分细心. 19．已知数列是正项等比数列，且，，若数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)已知，记.若恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设数列的公比为，由，可得，从而可求出公比，进而可得的通项，由题意得，由求出，然后利用累加法可求出的通项公式； （2）由（1）得，然后利用裂项相消求和法可求出，则由，得恒成立，再构造函数，求出其最大值即可. 【详解】（1）设数列的公比为，由，得，…………1分 由，得，所以，即，…………3分 解得（舍去），或， 所以，…………4分 因为，所以， 由，得，得，…………5分 当时， ，…………7分 当时，，所以，…………8分 （2）由（1）得 ，…………10分 所以 ，…………12分 由恒成立，得，得恒成立，…………14分 令，则 ， 当时，，当时，， 当时，，所以， 所以， 所以，…………16分 所以，即实数t的取值范围为…………17分 【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的基本量计算，考查累加法求通项公式，考查裂项相法求和法，解题的关键是将，化为，从而可求出，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 试卷第2页，共22页 试卷第1页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $