江苏省江阴市成化高级中学2025-2026学年高二上学期期末数学综合测试3

2026年高二上学期期末综合测试3 考试时间120分钟, 试卷满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．直线，若的倾斜角为，则的斜率为（  ） A． B． C． D． 2．在数列中，，（，），则（  ） A． B． C． D． 3．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则的面积为（  ） A． B． C． D． 4．设等比数列的前项和为，且满足，，若，则数列的前项和是（  ） A． B． C． D． 5．已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（  ） A． B． C． D． 6．战国时期成书经说记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相交所得弦长为，则反射光线所在直线的斜率为（  ） A．或 B． C． D．或 7．已知首项为的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 8．双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于两点.若，且，则直线与的斜率之积为（  ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．将数列中的所有项排成如下数阵： … 已知从第2行开始每一行比上一行多两项，第1列数，，，…成等差数列，且，，从第2行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以2为公比的等比数列，则（    ） A． B．位于第5行第9列 C． D．若，则位于第3行第5列或第8行第3列 10．已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则下列说法中正确的是（  ） A．若直线的斜率为，则 B．的最小值为 C．若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为 D．若点，则的周长最小值为 11．已知正方体的棱长为，点P满足，，，（，，，四点不重合），则下列说法正确的是（  ） A．当时，的最小值是 B．当，时，∥平面 C．当，时，平面平面 D．当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．圆与圆的公共弦长为 . 13．已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为 . 14．已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则 ，不等式成立的的最小值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（5+8） 已知圆过两点，， 且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程. 16．（5+10） 已知双曲线，点，都在双曲线上，且的右焦点为. (1)求的离心率及其渐近线方程； (2)设点是双曲线右支上的任意一点，记直线和的斜率分别为，证明：. 17．（6+9） 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18．（4+7+6） 已知数列的前项和，数列满足：，． (1)证明：是等比数列； (2)设数列的前项和为，且，求； (3)设数列满足：.证明：. 19．（4+7+6） 如图，已知圆，圆心是点，点是圆上的动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点作一条直线与曲线相交于两点，与轴相交于点，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； *(3)过点作两条直线，，分别交曲线于两点，使得.且，点为垂足，证明：存在定点，使得为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二上学期期末综合测试3 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．直线，若的倾斜角为60°，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线,斜率乘积为， 斜线斜率等于倾斜角的正切值. 【详解】,，所以. 故选：D. 2．在数列中，，（，），则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用数列的递推公式求出数列的前4项，推导出为周期数列，从而得到的值； 【详解】因为，（，）， 所以，，， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 故选：A 3．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意求得椭圆和圆的方程后，解出关键点的坐标，再求面积即可. 【详解】由题意得，半圆的方程为，在半椭圆中，则， 故半椭圆方程为，将代入半椭圆，解得， 将代入半圆，解得，故， 然， 故选：D 4．设等比数列的前n项和为，且满足，，若，则数列的前10项和是（   ） A． B． C．25 D．35 【答案】C 【分析】根据等比数列通项公式及等比数列前n项和公式基本量运算得出，再应用等差数列前n项和公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为q，由题意易知， 则解得 所以，所以， 所以数列的前10项和． 故选：C． 5．已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四点共面，可得共面，再根据空间向量共面定理求出，再求出向量在上的投影长度即可. 【详解】因为四点共面， 所以共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得， 所以， 向量在上的投影向量的模即为向量在上的投影长度， 所以向量在上的投影向量的模为. 故选：D. 6．战国时期成书经说记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相交所得弦长为，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】直接利用直线与圆的位置关系求出结果． 【详解】根据题意，设与点关于轴对称，则的坐标为， 则反射光线经过点，且与圆相交． 设反射光线所在直线的方程为，即， 圆的标准方程为， 则圆心为，半径． 因为弦长， 所以根据勾股定理得，圆心到反射光线的距离， 故，即，解得或． 故选：A 7．已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，利用累乘法得到，故，利用裂项相消法求和得到答案. 【详解】由题意易知， 由变形为，故， 所以 ， 因为，所以，故， 所以. 故选：C 8．双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设，利用双曲线定义推出相关线段的长，进而在和中利用余弦定理，求出以及，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求得答案. 【详解】 由题意结合双曲线定义可知，且， 不妨设，则，，， . 在中，，由余弦定理得， 即，即， 解得. 在中，由余弦定理得， 即，即，结合， 即得，故得，即. 又可设，则， 而，故， 故选：A 【点睛】 关键点睛：解答本题的关键在于根据所给，分别在和中利用余弦定理，求出，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．将数列中的所有项排成如下数阵： … 已知从第2行开始每一行比上一行多两项，第1列数，，，…成等差数列，且，，从第2行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以2为公比的等比数列，则（    ） A． B．位于第5行第9列 C． D．若，则位于第3行第5列或第8行第3列 【答案】AC 【分析】结合题干信息，利用等差数列的通项公式计算公差及，可判断选项A；结合已知条件可得出第行共有项，利用等差数列的前项和公式可得出前行共有项，进而可判断选项B；根据第行的数构成以为首项，公比为2的等比数列即可求出，判断选项C；先求出第行第列数，建立方程组可判断选项D. 【详解】由已知第1列数，，，…成等差数列，且，. 设第1列数所组成的等差数列公差为， 则， 所以，故选项A正确； 由题意可得：第1行共有1项，第2行共有3项，第3行共有5项，…，第行共有项. 所以前1行共有项，前2行共有项，前3行共有项，…，前5行共有25项，前行共有项. 所以位于第6行第1列，故选项B错误； 因为第1列数组成了以为首项，为公差的等差数列， 所以第行的第1项为：， 又因为每一行中的数按从左到右的顺序均构成以2为公比的等比数列， 所以第行的数构成以为首项，公比为2的等比数列， 则，故选项C正确； 因为第行的数构成以为首项，公比为2的等比数列， 则第行第列数为： 令，则得：（，）. ，；，；，，故选项D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查等差数列与等比数列的综合.解题关键在于对等差数列通项公式及求和公式、等比数列的通项公式的熟练灵活运用. 10．已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（    ） A．若直线的斜率为，则 B．的最小值为 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D．若点，则的周长最小值为 【答案】BCD 【分析】求出抛物线的方程，得焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立方程组应用韦达定理求弦长判断A，再根据韦达定理得出焦点弦的性质，然后利用基本不等式求解后判断B，作出大致图象，过点作准线的垂线，结合抛物线的定义判断C，过作准线的垂线（是垂足），写出三角形的周长，结合抛物线的定义转化后得出不等关系，从而可得最小值判断D． 【详解】抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且， 则第一象限内的交点的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为1，即， 所以，，即抛物线方程为，焦点为， 对选项A，设直线方程为，由得， 设，则，， ， 直线的斜率为时，，所以，A错误； 对选项B，由抛物线定义得 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为，B正确； 对选项C，如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点，过作轴垂线，垂足为， 则，是梯形的中位线， 由抛物线定义可得， 所以， 所以以为直径的圆与轴相切， 因此为切点，所以点纵坐标为1， 又是中点，所以点纵坐标为2， 而是抛物线上的点，因此其横坐标为1，C正确；    对选项D，过作垂直于抛物线的准线，垂足为， 所以的周长为， 当且仅当点的坐标为时取等号（即与准线垂直），D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 11．已知正方体的棱长为1，点P满足，，，（P，B，D，四点不重合），则下列说法正确的是（    ）． A．当时，的最小值是1 B．当，时，∥平面 C．当，时，平面平面 D．当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A：根据空间向量分析可知点在平面内，利用等体积法求点到平面的距离；对于B：根据空间向量分析可知点在直线上，根据线面平行的判定定理分析判断；对于C：根据空间向量分析可知点为取的中点，结合线面垂直关系分析证明；对于D：根据空间向量分析可知点在平面内，根据线面夹角的定义结合基本不等式分析判断. 【详解】对于选项A：当时，即， 则， 可得，则， 可知点在平面内，    设点到平面的距离为，可知， 由可得，解得， 所以的最小值是，故A错误； 对于选项B：当，时， 则， 可得，则，    由正方体的性质可知：∥，且， 则为平行四边形，可得∥，且， 即，则， 可知点在直线上，直线即为直线， 且∥，平面，平面， 所以∥平面，即∥平面，故B正确； 对于选项C：当，时， 则， 取的中点，可得， 可知点即为点，    因为平面，平面，则， 设，连接， 可知，，平面， 所以平面，且平面，可得， 同理可得：，且，平面， 所以平面， 又因为分别为的中点，则∥，可得平面， 且平面，所以平面平面，故C正确； 对于选项D：当，时， 则， 可知点在平面内，    因为平面∥平面， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成的角， 因为平面，则直线与平面所成的角为， 可得， 又因为，即，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可知的最小值为，则的最大值， 所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：根据空间向量的线性运算，结合向量共线或共面的判定定理确定点的位置，方可结合立体几何相关知识分析求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】求出两圆的公共弦方程，转化为直线与圆相交弦长问题，由垂径定理，在弦心距，半径，半弦长构成的直角三角形中求解即可． 【详解】圆①与圆②， ①－②得，即公共弦方程为， 又圆的半径为，圆心为， 圆心到直线距离， 所以公共弦长为. 故答案为：． 13．已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为 . 【答案】26 【分析】由离心率可得，可得为等边三角形，从而可得的倾斜角为，求得直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理与弦长公式可得，求解即可. 【详解】离心率，， ，又因为为等边三角形， 设， 过点作线段的垂线，的倾斜角为， 直线的方程为，代入中， 得， ， 周长. 故答案为：. 14．已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则 ，不等式成立的的最小值为 ． 【答案】 14 13 【分析】①根据，得，代入即可得解；②根据，得，对分奇偶讨论即可得解. 【详解】令，得， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以. 当为奇数时，， 即，因为，所以，即， 因为为奇数，所以的最小值为； 当为偶数时，， 因为，所以，， 因为为偶数，所以的最小值为. 综上所述，的最小值为. 故答案为： ， 【点睛】关键点点睛：讨论m的奇偶性求出对应通项公式为关键. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知圆C过两点，， 且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点作圆C的切线，求切线方程. 【答案】(1)（或标准形式） (2)或 【分析】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案； （2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案． 【详解】（1）根据题意，因为圆过两点，， 设的中点为，则，…………2分 因为，所以的中垂线方程为，即…………3分 又因为圆心在直线上，联立，解得，…………4分 所以圆心，半径，故圆的方程为；…………5分 （2）圆的圆心为，半径， 当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切；…………7分 当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为，…………8分 即（*）， 由圆心C到切线的距离，…………10分 即，可得，…………11分 将代入（*），得切线方程为，即，…………12分 综上，所求切线方程为或.…………13分 16．已知双曲线，点，都在双曲线上，且的右焦点为. (1)求的离心率及其渐近线方程； (2)设点是双曲线C右支上的任意一点，记直线和的斜率分别为，证明：. 【答案】(1)2； (2)证明见解析 【分析】（1）把、的坐标代入双曲线得方程可得答案； （2）求出、得，再由点P的坐标满足双曲线方程代入可得答案. 【详解】（1）由题意，把，代入双曲线得： ，…………2分 解得，，， 所以双曲线的方程为，…………4分 故离心率，渐近线方程为；…………5分 （2）由题意得，一定存在且，，， ，，…………7分 则，…………9分 又点的坐标满足，则，…………11分 故，…………13分 所以.…………15分 17．如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，．      (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，又可证明，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面和平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可． 【详解】（1）如图，连接， 在中，由，可得，…………1分 ，， ，，…………3分 ，，， 则， 故，…………4分 ，，，平面， 平面；…………6分 （2）由（1）可知，，，两两垂直， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， ，，…………8分 则， 又，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，故，…………10分 设平面的法向量为，，， 则，令，则，，故，…………12分 ，…………14分 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…………15分    18．已知数列的前项和，数列满足：． (1)证明：是等比数列； (2)设数列的前项和为，且，求； (3)设数列满足：．证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据满足的递推公式，结合等比数列定义即可证明； （2）根据与的关系求得，结合（1）中所证求得，再利用裂项求和法求即可； （3）求得的通项公式，采用分组求和，利用裂项求和以及错位相减法，结合适度放缩，即可求证. 【详解】（1）因为，故可得，…………2分 因为，故数列为首项，公比2的等比数列.…………4分 （2）因为，故可得当时，；…………5分 当时，； 综上所述：；…………6分 由（1）可得：，故； 故；…………7分 当为偶数时， ；…………9分 当为奇数时， ；…………10分 故.…………11分 （3）由题可得 设 ；…………13分 设 …………14分 记 则， ， ， 则，…………16分 故.…………17分 【点睛】关键点点睛：本题综合考察数列知识的应用和掌握； （1）解决第二问的关键是，裂项的处理，以及对为奇数和偶数时，不同的处理手段； （2）解决第三问的关键是能够合理利用分组求和，并且对进行放缩；属综合困难题. 19．如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段GH的垂直平分线交线段TG于点R，记动点R的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值. 【答案】(1) (2)为定值，， (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得，动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆； （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，由向量坐标运算表示，化简即可； （3）设的方程是，与椭圆方程联立，由条件，可得，则或，可证直线经过定点，又因为，所以D在以线段MK为直径的圆上，可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，半径，…………1分 因为线段的中垂线交线段于点， 所以， 所以，…………3分 所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 所以，，， 故曲线E的方程为.…………4分 （2）当直线的斜率不存在时，其方程为， 与y轴不相交，不合题意，舍去，…………5分 当直线的斜率存在时，设所在直线方程为， 设，， 由 消去y整理得， 恒成立， 所以，…………7分 又因为直线与y轴的交点为C，所以， 所以，， ，， 又因为，所以，同理， 所以，且，…………9分 所以， 整理后得， 所以为定值，原题得证.…………11分 （3）设，显然的斜率存在，，， 设的方程是， 由消去y得， 则，即， 由韦达定理得，…………12分 根据已知，可得， 即， 又，， 代入上式整理得， 则或，…………14分 当时，直线的方程为， 所以直线经过定点， 当时，直线的方程为， 所以直线经过定点与M重合，舍去，…………15分 故直线经过定点， 又因为， 所以D在以线段MK为直径的圆上. 所以F为线段MK的中点，即，…………16分 所以为定值.…………17分 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 试卷第8页，共24页 试卷第9页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $