江苏省江阴市成化高级中学2025-2026学年高二上学期数学期末综合测试2

2026年高二上学期期末综合测试2 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知为等差数列的前n项和，，，则数列的公差（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用基本量法可求公差. 【详解】设等差数列的首项为，公差为d，由及 得解得． 故选：B 2．两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意知：，：，即， 因为两直线平行，所以距离为，故A正确. 故选：A. 3．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合条件设椭圆方程，并确定各点坐标，根据，得到，列方程化简可得，求离心率可得结论. 【详解】因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上， 故可设椭圆方程为， 因为，则点的坐标为， 又，，， 于是，， 因为，所以， 得，即， 所以， 故，． 故选：B. 4．在空间直角坐标系中，已知，则是与夹角为锐角的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出与的夹角为锐角的的取值范围，与进行比较，根据充分必要条件的判定得解. 【详解】与的夹角为锐角，则要满足， 即且不等于1， 解得：且， 因为是的真子集， 所以是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B 5．等比数列的前n项和为，若，，则公比（    ） A．3 B． C．3或 D．2 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式，化简求出，判断，利用前项和公式表示，联立方程即可解出. 【详解】数列为等比数列，设首项为，公比为，根据题意有， 即①，所以，若，则有，与不符，所以， 所以②，联立①②两式有：，即 ，整理得，解得或. 故选：C 6．已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 7．已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线l交右支于A，B点，且，若，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义，结合余弦定理求出的关系等式即可求得离心率. 【详解】令，由，得，，    由双曲线定义，， 在中，，由余弦定理， 得， 整理得，解得，则，， 在中，由余弦定理， 得，整理得，则. 故选：A 8．已知正方体的内切球的表面积为，是棱上一动点，当直线与平面的夹角最大时，四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量法及函数思想，求出点位置，再利用向量法求解点面距，最后即可计算四面体的体积． 【详解】解：建系如图，   正方体的内切球的表面积为，则内切球半径， 易得正方体的棱长为1， ，0，，，1，，，1，，设，0，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取， 直线与平面的夹角的正弦值为： ， 令，，，，， ， 令，，，，， ，，， 当，即，即时，直线与平面的夹角的正弦值取得最大值， 此时直线与平面的夹角也最大， 当直线与平面的夹角最大时，为棱的中点， 此时平面的法向量，又， 点到平面的距离为， 此时，，则△的面积为， 此时四面体的体积， 故选：． 【点睛】关键点点睛：向量法求解线面角问题，函数思想，化归转化思想，向量法求解点面距问题.解题的关键是建立空间直角坐标系，确定点的位置是为棱的中点，然后利用点面距的向量求法，求出四面体的高． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（   ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．过点且在x、y轴截距相等的直线方程为 C．曲线过点的最短弦长为； D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围 【答案】AC 【分析】A根据垂直关系确定斜率，应用点斜式写出直线方程判断；B注意截距不为0的情况；C判断已知点为抛物线的焦点，结合通项性质求最短弦长；D根据给定直线和曲线的形状，数形结合求参数范围. 【详解】A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为， 即，对； B：若截距不为0时，令直线为，则， 此时直线方程为，错； C：由，是焦点为的抛物线，故过点的最短弦为通径，长度为，对； D：由过定点，是圆上半部分，如下图， 当动直线与半圆的左上方相切时，有，即，得， 当动直线过半圆左侧端点时，即， 结合图知，，D错. 故选：AC 10．已知数列满足，数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等差数列 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意可得，再根据等差数列的定义及性质即可判断AB；求出数列和的通项，再利用裂项相消法即可求出，从而可判断CD. 【详解】因为，所以， 所以，且， 所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为， 所以，所以选项AB正确； 因为，所以， 所以， 所以 ，所以选项C正确，D错误． 故选：ABC． 11．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点.点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条 B．以为直径的圆与相切 C．设，则 D．若，则的面积为 【答案】ACD 【分析】分别求出过点与抛物线相切以及斜率为0的直线，可得A正确，根据抛物线定义和梯形中位线性质求得，得出B错误，由抛物线定义可知，利用三点共线求距离之和最小值，可得C正确，设的直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和弦长公式求解可得D正确. 【详解】对于A，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线必有； 当直线斜率存在时，可设直线方程为， 当直线与抛物线有且仅有一个公共点， 联立整理可得，所以； 解得，所以切线方程为， 综上可知，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条，即A正确； 对于B，如下图所示： 设点在上的射影为，取的中点为，的中点为， 由抛物线定义可知， 在梯形中，有， 所以以为直径的圆与准线相切，切点为，可得B错误； 对于C，易知，由抛物线定义可知，所以， 当三点共线时，有最小值为，所以，即C正确； 对于D，设的方程为， 联立整理可得，可得，因此； 可得，因此， 又可得，解得； 易知到直线的距离为， 所以的面积为，即D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用抛物线定义，将焦半径与到准线距离互相转化，再由三点共线求得距离最值问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知空间中三点，，，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】由点的坐标可得， 则点到直线的距离为. 故答案为： 13．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由求得点的轨迹，然后根据圆与圆的位置关系求得的取值范围. 【详解】设，由两边平方得， 即，， ，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 圆的圆心为，半径为， 依题意，圆与圆有公共点， 两圆的圆心距为，则， 解得. 故答案为： 14．已知点F是椭圆的右焦点，为椭圆的一条过F的弦，点A在x轴上方若直线与x轴垂直，则 ；若，则直线的斜率是 ． 【答案】 【解析】求出A点横坐标代入椭圆方程求出A点纵坐标后可得；设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和可得直线的斜率. 【详解】由题意得，， 当与x轴垂直时，，且， 所以，得， 所以； 当时，设直线方程为， 设，且， 由整理得， 所以①， ②， 由得③，由①②③得， 所以直线方程为，即，故直线斜率为. 故答案为：①；②. 【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，关键点是利用韦达定理和求出直线的方程，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列满足，在数列中，，且对任意正整数都有. (1)求数列， 的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用递推式可得，利用“累加法”可得； （2）利用“错位相减法”，结合等比数列前项和公式即可求解. 【详解】（1）由，可知当时，；     当时，因为， 所以， 两式相减得，，…………… 2分 即， 因为也满足上式， 所以；…………… 4分 又数列满足，且， 当时，可得…………… 5分 ， 当时，也满足上式， 所以数列的通项公式为；…………… 7分 （2）由（1）知，，    …………… 8分 所以，     所以，     …………… 10分 两式相减得： ，…………… 12分 所以．…………… 13分 16．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且. (1)求的值； (2)过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）作出图形后利用勾股定理求解即可. （2）利用等面积法求解即可. 【详解】（1）由题意可知圆的圆心为，半径. 因为，所以，从而，…………… 3分 即，两边平方整理得，…………… 5分 又因为，所以.…………… 6分 （2）由（1）知圆，点在圆上， 又因为，所以线段为圆的直径，即直线过圆心，…………… 8分 显然直线的斜率不为0，设其方程为，…………… 9分 点到直线的距离为.…………… 10分 根据三角形的面积公式可得.…………… 12分 所以，解得，…………… 14分 所以直线的方程为或.…………… 15分 17．如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题意可得，再结合面面垂直的性质分析证明； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设，利用空间向量结合线面平行可得，即可得结果. 【详解】（1）因为，为中点，则，…………… 1分 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面.…………… 3分 （2）以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，…………… 4分 设平面的法向量，则， 令，则，可得…………… 6分 由题意可知：平面的法向量，…………… 7分 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.…………… 9分 （3）线段上是否存在一点，使平面. 设，则，…………… 10分 若平面，则，…………… 12分 可得，解得， 即，可知，…………… 14分 所以存在点，使平面，此时.…………… 15分 18．已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意求出、的值，根据等差数列和等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式； （2）求得，然后对分偶数和奇数两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可求得的表达式； （3）求出数列的通项公式，分析数列的单调性，可求出数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，解得，…………… 2分 所以，.…………… 3分 设的公比为，因为，， 解得，所以，.…………… 5分 （2）因为，…………… 6分 当为偶数时， ．…………… 8分 当为奇数时，．………… 10分 所以，.…………… 11分 （3）因为，．………… 12分 令，…………… 13分 则，…………… 14分 当时，，即， 当时，，即， 所以，数列的最大项为，……………1 6分 因为恒成立，所以，，即实数的取值范围为．… 17分 19．动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知点，过的直线与交于两点，分别与交于点. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 【答案】(1); (2)证明见解析，. 【分析】（1）利用几何意义转化为坐标运算，即可得抛物线方程； （2）①利用直线过轴上的已知点，与抛物线联立方程组的两个交点纵坐标之积为定值，再假设直线方程，再利用两交点纵坐标之积为定值，得到定点坐标； ②求这两个三角形的面积时，都只需要用到它们的纵坐标，然后都转化到两点的纵坐标上来，再利用韦达定理把面积转化到关于系数的函数上来求解最值即可. 【详解】（1）设动点的坐标为， 由动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小1， 可得：，移项平方得：，……………2分 整理得：， 所以动点的轨迹的方程为；……………4分 （2） ①设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标，则，……… 6分 设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标则，……………8分 设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标则，……………9分 设直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，由交点坐标则，……………10分 而，即，解得，……………1 2分 所以直线为，即直线过定点；……………1 3分 ②与面积之和为 ，……………1 6分 当时，即垂直于轴时，面积之和取到最小值.……………17分 【点睛】关键点点睛：利用直线过轴上的已知点，与抛物线联立方程组的两个交点纵坐标之积为定值，反之，如果两个交点的纵坐标之积为定值，就这条直线必过轴上的一个定点. 试卷第18页，共18页 试卷第17页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二上学期期末综合测试2 考试时间120分钟, 试卷满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知为等差数列的前项和，，，则数列的公差（  ） A． B． C． D． 2．两条平行线，间的距离等于（  ） A． B． C． D． 3．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（  ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，已知，则是与夹角为锐角的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．等比数列的前项和为，若，，则公比（  ） A．3 B． C．3或 D．2 6．已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（  ） A． B． C． D． 7．已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线交右支于两点，且，若，则双曲线的离心率为（  ） A． B． C． D． 8．已知正方体的内切球的表面积为，是棱上一动点，当直线与平面的夹角最大时，四面体的体积为（  ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（  ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．过点且在、轴截距相等的直线方程为 C．曲线过点的最短弦长为； D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围 10．已知数列满足，数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（  ） A．数列是等差数列 B． C． D． 11．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点.点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是（  ） A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条 B．以为直径的圆与相切 C．设，则 D．若，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知空间中三点，，，则点到直线的距离为 . 13．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围为 . 14．已知点是椭圆的右焦点，为椭圆的一条过的弦，点在轴上方若直线与轴垂直，则 ；若，则直线的斜率是 ． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(7+6) 已知数列满足，在数列中，，且对任意正整数都有. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 16．(6+9) 已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且. (1)求的值； (2)过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程. 17．(3+6+6) 如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 18．(5+6+6) 已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 19．(4+9+4) 动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知点，过的直线与交于两点，分别与交于点. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $