专题05不等式与不等式组寒假预习讲义(2)(知识梳理+常考题型精析+强化题型突破)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题05不等式与不等式组寒假预习讲义(2) 1 预习目标 ● 打通一元一次不等式与一次函数的“任督二脉”，学会从函数值大小的角度 破解不等式，轻松实现“数”与“形”的转化！ 。拿捏一元一次不等式组的定义密码，玩转“同大取大、同小取小”等解集 口诀，再也不纠结公共部分怎么找！ 掌握不等式组的解题步骤，避开“漏看约束条件忽略实际意义”的坑， 能独立搞定基础应用题！ 预习内容概览 知识点 1.一元一次不等式与一次函数 2.一元一次不等式组 梳理 3.易错点总结 1.用直线与坐标轴交点求不等式解集 2.用两条直线交点求不等式解集 3.求不等式组的解集 4.找不等式组的整数解 常考题型 5.由解集求不等式组参数 6.由解集情况求不等式组参数 精讲精炼 7.不等式组和方程组结合的问题 8.不等式组的行程问题 9.不等式组的经济问题 10.不等式组的分配问题 11.不等式组的方案选择问题 12.不等式组的其他应用 强化巩固 (17题) 题型通关 3 知识点梳理 【知识点01.一元一次不等式与一次函数】 1核心关联：函数值大小与不等式的关系 对于一次函数y=kx+b(k0)，其函数值的大小关系可直接转化为一元一次不 等式： 当y>0时，对应不等式kx+b>0: 试卷第1页，共3页 当y<0时，对应不等式kx+b<0: 当y1>y2(两个一次函数y1k1x+b1、y2kx+b2)时，对应不等式kx +b1-k2x+b28 2.利用一次函数解一元一次不等式的两种思路 代数思路：直接解一元一次不等式kx+b>0(或<0)，得到未知数的取值范围。 图象思路（文字描述版）： ①找到一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点（即y=0时x的值，记为xo); ②若k>0,函数图象从左到右上升：当x>xo时，y>0;当xXo时，y<0: ③若k<0,函数图象从左到右下降：当x>x时，y<0;当x<xo时，y>0。 【知识点02.一元一次不等式组】 1定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等 式组。 2.不等式组的解集 不等式组中所有不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集；若没有公共 部分，则称这个不等式组无解。 3.确定解集的“四字口诀 (x>a 同大取大：若x>b (a>b),则解集为x>a; ∫x<a 同小取小：若{x<b (a>b),则解集为x<b; (x>a 大小小大中间找：若{x<b (a<b),则解集为a<x<b; (x>a 大大小小无解了：若{x<b (a>b),则不等式组无解。 4.解法步骤 ①分别解出不等式组中每个一元一次不等式的解集： ②利用口诀或文字描述找出所有解集的公共部分： ③写出不等式组的解集（若无公共部分则注明“无解”）。 5.实际应用步骤 ①审题：圈出“至少、至多、不超过、不少于”等不等关键词： ②设未知数：根据问题直接设或间接设： 试卷第1页，共3页 ③列不等式组：根据多个约束条件列出不等式： ④解不等式组：按步骤求出解集； ⑤检验：结合实际意义（如人数为正整数、长度为正数）取舍解集： ⑥作答：写出最终符合题意的答案。 【知识点03.易错点总结】 1.一元一次不等式与一次函数关联易错点 混淆函数值大小与不等式方向的对应关系，比如把y1>y2错列成k1x+b1<k2x+b2: 利用图象思路时，忽略一次函数的增减性(k的正负)，导致解集方向判断错误。 2.一元一次不等式组解集易错点 套用口决时混淆“大小关系”，比如把“同大取大”用成“同大取小”： 1X>2 找公共部分时遗漏某个不等式的约束，比如解 x<5 时，忽略x≤3直接取2 X≤3 <x<5。 3.解不等式的通用易错点 去分母或系数化为1时，乘除负数忘记改变不等号方向； 移项时漏变号，或去括号时括号前是负号，括号内各项未变号。 4.实际应用易错点 关键词与不等号对应错误，比如把“至少”对应成<； 漏列隐藏约束条件，比如购买物品的数量为正整数，只列不等式未考虑整数要求： 解出解集后，直接套用代数结果，未结合实际意义取舍（如算出3.2台”直接 作为答案)。 常考题型精讲精练 【题型1.用直线与坐标轴交点求不等式解集】 【典例】如图，一次函数y=x+b的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点(-2,0)， 则不等式kx+b<0的解集是() 试卷第1页，共3页 A.x>-2 B.x<-2 C.x>0 D.x<0 【跟踪专练1】如图，直线y=x+b经过点A(-3,2),B(1,0),则关于x的方程kx+b=0的解 是x=一，关于x的不等式kx+b<2的解集是 A B 3 【跟踪专练2】如图，若一次函数y=kx+b与y=k,x+b的图象交于点P(L,3),根据图象 回答，则关于x的不等式kx+b>k2x+b2>0的解集为() y=kx+b 32-191234 y=kxx+b A.-2<x<1 B.0<x<1 C.x>1 D.1<x<4 【题型2.用两条直线交点求不等式解集】 【典例】如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P,则不等式x+b>ax+3的解 集为 v=x+b y=ax+3 【跟踪专练1】数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y=-x一1与 y=mx+n(m,为常数，m≠0)的图象相交于点(1，-2)，则不等式-x-1<mx+n的解集 在数轴上表示为() 试卷第1页，共3页 y=mx+n A.102 B.C.102→ 【跟踪专练2】如图，已知函数y=x和y=ax+5(a为常数，且a≠0)的图象相交于点 4 Pm,3,则关于x的不等式x<心+5的解集是 P(m,3) y=ax+5 【题型3.求不等式组解集】 【典例】下列不等式组无解的是( ) x>2 x>2 x<2 x<2 A. B C. D. x>-1 x<-1 x<-1 x>-1 -3x-6<0 【跟踪专练1关于x的不等式组 的解集在数轴上如图表示，则a的值为 2x-a<3 -3-2-10123 45 【跟踪专练2】如图，是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个x值”到判断“结 果是否≥37”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的x的取值范围是() 输入 ×5 +2 ≥37 输出结果 否 A.1≤x<7 B.3<x≤7 C.1<x≤7 D.3≤x<7 试卷第1页，共3页 【题型4.找不等式组的整数解】 x+2≥1 【典例】写出满足不等式组 的一个整数解」 2x-1<5 【跟踪专练1】若点M(m-3,1-m在第三象限，则整数m的值为() A.-1 B.-2 C.2 D.4 x-a≥0 【跟踪专练2】已知关于x的不等式组 5-2x>1只有四个整数解，则实数a的取值范 围」 【题型5.由解集求不等式组参数】 x<a 【典例】若不等式组 的解为x<a,则下列各式正确的是() x<b A.a<b B.a≤b C.axb D.a2b 3x-4>x 【跟踪专练1】若关于x的不等式组 无解，则满足条件的正整数n有个。 x≤n x+2>m+n 【跟踪专练2】已知不等式组 x-1<m-1 的解集为-1<x<2,则(m+n2016=() A.2016 B.-2016 C.-1 D.1 【题型6.由解集情况求不等式组参数】 x> 【典例】关于x的不等式组 。的解集为x>2,则a的取值范围是_ x> 2x-1>5 【跟踪专练1】若关于x的不等式组 的整数解是4和5，则m的取值范围是() x<m+1 A.5<m≤6 B.3<m<6 C.4≤m<5 D.4<m≤5 x+2_x>1 【跟踪专练2】若数k使关于x的不等式组32无解，且使关于y的方程 x-k≥-1 -2二=1的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为 6 2 【题型7.不等式组和方程组结合的问题】 试卷第1页，共3页 2x+5y=3m 【典例】若关于x、y的方程组 x-3y=2+m 的解满足3x+2y>7,则整数m的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 x+y=1-a 【跟踪专练1】己知方程组 的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：① x-y=3a+5 -1<a≤1；②当a= 时，x=y;③当a=-2时，方程组的解也是方程x+y=5+a的解.其 中正确的是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ [5x+y=m+1 【跟踪专练2】已知关于x、y的方程组 的解满足-1<x+y<1,则符合条件 x-3v=2m 的所有整数m的取值之和为 【题型8.不等式组的行程问题】 【典例】某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不 到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 【跟踪专练1】哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付 8元车费)，超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）. 某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程x满足() A.x=8.5 B.7≤x<8 C.7≤x≤8 D.7<x≤8 【跟踪专练2】热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于1km)按逆时针方 向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑1k,软件会在运动轨迹上标注 出相应的里程数.前4km的记录数据如图所示. 2kmo 3km 起点 84km ()当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数 3km(填“>=”或“<”)； 2若a>6>0,利用不等式的基本性质比较0与0的大 a (3)如果李子宸同学跑到10km时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数， 试卷第1页，共3页 【题型9.不等式组的经济问题】 【典例】某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8 元/千克.已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克.如果购买苹果和香蕉的 总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千 克，依题意可列不等式组为() x+(3x-4≥40 x+(3x-4240 A. B. 15x+8(3x-4)<500 15x+8(3x-4)≤500 x+(3x-4)≤40 x+(3x-4)≤40 C. D. 15x+8(3x-4)>500 15x+8(3x-4<500 【跟踪专练1】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球 共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球 150元，每个排球100元.求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组为() 150x+100(30-x)<3600 150x+100(30-x)>3600 A. 1 B x>230-) <230-x) 150x+100(30-x)≤3600 150x+100(30-x)≥3600 C. 1 D. x≥2630-) x≤2630-) 【跟踪专练2】某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣 传折页)每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元.已知本次活动共需准备200 份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半。 (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A 物资最多可以买多少份？ 【题型10.不等式组的分配问题】 【典例.】把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分 7本，那么最后一人可分到书但不足3本，这些书共有 本 【跟踪专练1】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制 作成了100个A,B两种型号的工艺品，己知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 试卷第1页，共3页 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料372千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列 出相应的不等式组正确的是() 0.5x+0.2(100-x)<29 0.5x+0.2100-x≤29 A. B. 0.3x+0.4100-x<37.2 0.3x+0.4100-x≤37.2 0.5x+0.3100-x≤29 0.5x+0.2(100-x)≥29 C. D. 0.2x+0.4100-x≤37.2 0.3x+0.4100-x≥37.2 【跟踪专练2】电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票 房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减.某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒 纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃 娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元. (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个， 其中B种娃娃的数量不超过A种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 【题型11.不等式组的方案选择问题】 【典例】怀化国际陆港某货场现有甲种货物1530t和乙种货物1150t,拟用A,B两种集装箱 将其运走.已知甲种货物35t和乙种货物15t可装满一个A型集装箱，甲种货物25t和乙种货 物35t可装满一个B型集装箱.若共使用了50个集装箱，则有 种具体的运输方 案。 【跟踪专练1】重阳节是国家级非物质文化遗产，我国诗人自古就有“待到重阳日，还来就 菊花”的真挚情谊.某社区在重阳节前夕准备购买甲、乙两种菊花，经调查：购买10盆甲种 菊花和5盆乙种菊花共需280元，购买7盆甲种菊花和8盆乙种菊花共需268元. (1)求甲、乙两种菊花的单价分别为多少元： (2)该社区决定购买甲、乙两种菊花共30盆，且总花费不少于550元又不多于560元，求所 有购买方案. 【跟踪专练2】某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A,B两种不同款式的服 装.己知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同.若 试卷第1页，共3页 1套A款服装和2套B款服装需用布料5m,3套A款服装和1套B款服装需用布料7m, (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A,B两款服装共100套，所用布料不超过168m,那么该服装厂最少需要生 产多少套B款服装？ (3)在(2)的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该 厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案； 若不能，说明理由 【题型12.不等式组的其他应用】 【典例】某影院的8号厅正在放映电影，甲，乙两名工作人员对于厅内观影的人数说法如下， 甲：“观影人数不超过25人.”乙：“观影人数不足30人.”已知甲的说法错误，乙的说法正 确，则8号厅的观影人数可能为() A.25 B.29 C.30 D.31 【跟踪专练1】如图，容量为600cm3的烧杯中倒入420cm3的水后，将5个同样的玻璃球逐 个放入水中，发现水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出.则一个玻璃球的体积' 的取值范围是 【跟踪专练2】某学校摄影社到商场购买A,B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以 下两种： ①一次性购买A型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格 比零售价低6元销售。 ②一次性购买B型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格 比零售价低4元销售 若购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元；若购买20本A型相册和40本 B型相册，共需支付3100元. (1)这家商场A,B型相册每本的零售价分别是多少元？ (②)若该社团计划购买A型和B型相册共15本，要求A型相册数量大于或等于B型相册数量 的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案。 试卷第1页，共3页 专题05不等式与不等式组寒假预习讲义(2) · 打通一元一次不等式与一次函数的 “任督二脉”，学会从函数值大小的角度破解不等式，轻松实现 “数” 与 “形” 的转化！ · 拿捏一元一次不等式组的定义密码，玩转 “同大取大、同小取小” 等解集口诀，再也不纠结公共部分怎么找！ · 掌握不等式组的解题步骤，避开 “漏看约束条件”“忽略实际意义” 的坑，能独立搞定基础应用题！ 知识点 梳理 1.一元一次不等式与一次函数 2.一元一次不等式组 3.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.用直线与坐标轴交点求不等式解集 2.用两条直线交点求不等式解集 3.求不等式组的解集 4.找不等式组的整数解 5.由解集求不等式组参数 6.由解集情况求不等式组参数 7.不等式组和方程组结合的问题 8.不等式组的行程问题 9.不等式组的经济问题 10.不等式组的分配问题 11.不等式组的方案选择问题 12.不等式组的其他应用 强化巩固 题型通关 (17题) 【知识点01.一元一次不等式与一次函数】 1.核心关联：函数值大小与不等式的关系 对于一次函数 y=kx+b（k≠0），其函数值的大小关系可直接转化为一元一次不等式： 当 y>0 时，对应不等式 kx+b>0； 当 y<0 时，对应不等式 kx+b<0； 当 y1>y2（两个一次函数 y1=k1x+b1、y2=k2x+b2）时，对应不等式 k1x+b1>k2x+b2​。 2.利用一次函数解一元一次不等式的两种思路 代数思路：直接解一元一次不等式 kx+b>0（或 <0），得到未知数的取值范围。 图象思路（文字描述版）： 1 找到一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点（即 y=0 时x的值,记为 x0）； 2 若 k>0，函数图象从左到右上升：当 x>x0时，y>0；当 x<x0时，y<0； 3 若 k<0，函数图象从左到右下降：当 x>x0时，y<0；当 x<x0时，y>0。 【知识点02.一元一次不等式组】 1.定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 2.不等式组的解集 不等式组中所有不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集；若没有公共部分，则称这个不等式组无解。 3.确定解集的 “四字口诀” 同大取大：若（a>b），则解集为 x>a； 同小取小：若（a>b），则解集为 x<b； 大小小大中间找：若 （a<b），则解集为 a<x<b； 大大小小无解了：若 （a>b），则不等式组无解。 4.解法步骤 ① 分别解出不等式组中每个一元一次不等式的解集； ② 利用口诀或文字描述找出所有解集的公共部分； ③ 写出不等式组的解集（若无公共部分则注明 “无解”）。 5.实际应用步骤 ① 审题：圈出 “至少、至多、不超过、不少于” 等不等关键词； ② 设未知数：根据问题直接设或间接设； ③ 列不等式组：根据多个约束条件列出不等式； ④ 解不等式组：按步骤求出解集； ⑤ 检验：结合实际意义（如人数为正整数、长度为正数）取舍解集； ⑥ 作答：写出最终符合题意的答案。 【知识点03.易错点总结】 1.一元一次不等式与一次函数关联易错点 混淆函数值大小与不等式方向的对应关系，比如把 y1>y2错列成 k1x+b1<k2x+b2​； 利用图象思路时，忽略一次函数的增减性（k 的正负），导致解集方向判断错误。 2.一元一次不等式组解集易错点 套用口诀时混淆 “大小关系”，比如把 “同大取大” 用成 “同大取小”； 找公共部分时遗漏某个不等式的约束，比如解 时，忽略 x≤3 直接取 2<x<5。 3.解不等式的通用易错点 去分母或系数化为 1 时，乘除负数忘记改变不等号方向； 移项时漏变号，或去括号时括号前是负号，括号内各项未变号。 4.实际应用易错点 关键词与不等号对应错误，比如把 “至少” 对应成 <； 漏列隐藏约束条件，比如购买物品的数量为正整数，只列不等式未考虑整数要求； 解出解集后，直接套用代数结果，未结合实际意义取舍（如算出 “3.2 台” 直接作为答案）。 【题型1.用直线与坐标轴交点求不等式解集】 【典例】如图，一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据图象，可以得到当时，，y随x的增大而减小，即可得到不等式的解集． 【详解】解：由图象可得， 当时，，y随x的增大而减小， ∴不等式的解集为， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，直线经过点，则关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 根据一元一次方程的解即为直线与轴交点的横坐标求解；关于x的不等式的解集转化为直线在直线下方时的取值范围． 【详解】解：∵直线经过点， ∴方程的解是， ∵直线经过点， ∴不等式的解集是， 故答案为：，； 【跟踪专练2】如图，若一次函数与的图象交于点，根据图象回答，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是根据一次函数的图象特征，结合交点坐标和函数与ⅹ轴的交点，确定不等式的解集．根据一次函数图象交点的意义，交点是两函数值相等的点；结合、的性质，判断当或时两函数的大小关系；找到函数与x轴的交点，确定其函数值大于0时x的范围；综合两者得出不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点 ∴当时，． ∵观察图像增减性可知 ∴当时，当时，（根据一次函数增减性：时y随x增大而减小，时y随x增大而增大）． 由图象可知，函数与x轴的交点横坐标为4，即当时，． 要满足不等式需同时满足和即 与的交集，即． 故选：D． 【题型2.用两条直线交点求不等式解集】 【典例】如图，已知函数和的图象交点为P，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．此题可根据两直线的图象以及两直线的交点坐标来进行判断． 【详解】解：由图知：当直线的图象在直线的上方时，不等式成立； 由于两直线的交点横坐标为：， 观察图象可知，当时，； 故答案为：． 【跟踪专练1】数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． .B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，直接根据一次函数的图象即可得出的取值范围，然后在数轴上表示即可，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象下方， ∴不等式的解集是， 在数轴上表示的解集为 ， 故选：． 【跟踪专练2】如图，已知函数和（为常数，且）的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，根据函数与不等式的关系求解即可，运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵图象过点， ∴，解得：， ∴， 由图象得，当时，， ∴关于的不等式的解集是． 故答案为：． 【题型3.求不等式组解集】 【典例】下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：A、原不等式组的解集为，不符合题意； B、原不等式组无解，符合题意； C、原不等式组的解集为，不符合题意； D、原不等式组的解集为，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】关于的不等式组的解集在数轴上如图表示，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题关键．根据数轴解第二个方程，利用已知不等式组的解集得出关于a的等式，进而得出答案． 【详解】解：， 解②得， 由数轴可知， 解得． 故答案为：3． 【跟踪专练2】如图，是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序运行两次就停止，即可得出关于的一元一次不等式组，然后求出的取值范围即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：依题意，得：， 解得：， 故选：． 【题型4.找不等式组的整数解】 【典例】写出满足不等式组的一个整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出整数解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一）. 【跟踪专练1】若点在第三象限，则整数m的值为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，以及点的坐标，熟练掌握第三象限点的坐标特征是解本题的关键．根据第三象限的点的横坐标和纵坐标都为负，确定出m的范围，进而确定出整数m的值即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点在第三象限， ∴， 解得：， 则整数m的值为2． 故选：C． 【跟踪专练2】已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，先求出不等式组的解集，再根据只有四个整数解的条件确定a的取值范围． 【详解】解：∵， 由①得： ； 由②得： ，即 ． ∴不等式组的解集为 ． 由于只有四个整数解，且，因此整数解为 1， 0， ， ． 为确保解集包含 但不包含 ， ∴． 故答案为： 【题型5.由解集求不等式组参数】 【典例】若不等式组的解为，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和不等式组解集的确定方法，熟练掌握不等式组解集的确定方法是解本题的关键．根据“都小取小”的不等式解集确定方法进行解答即可． 【详解】解：∵不等式组的解为， ∴， 故选：B. 【跟踪专练1】若关于x的不等式组无解，则满足条件的正整数n有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集求参数，解题的关键是掌握解不等式组的步骤和解集的意义． 求出各个不等式的解集，然后根据不等式组的解集列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得，， ∵不等式组无解， ∴， 满足条件的正整数n有：1,2，共2个， 故答案为：2． 【跟踪专练2】已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解，能够通过不等式的解集得到参数的取值范围是解题关键． 先解不等式组，得到解集的范围，再根据给定的解集求出参数的值，最后计算幂． 【详解】解：解不等式组： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 不等式组的解集为 ． 给定解集为 ， ∴ ， 解得 ， 代入得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 【题型6.由解集情况求不等式组参数】 【典例】关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，根据 “同大取大” 原则即可得出答案． 【详解】解：根据 “同大取大” 原则得出， 故答案为：． 【跟踪专练1】若关于x的不等式组的整数解是4和5，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是4和5，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， ∵不等式组的整数解是4和5， ， 解得， 故选：D． 【跟踪专练2】若数k使关于x的不等式组无解，且使关于y的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次方程的解，解不等式组求得其解集，根据不等式组无解得出k的取值范围，解方程得出，由方程的解为整数得出k的取值，综合两者所求最终确定k的范围,据此可得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得：， ∵不等式组无解， ， ， 解方程，得， ∵关于y的方程的解为整数，且， 或4或2或1或或或， 或7或5或4或2或1或， 则符合条件的所有整数k的和为， 故答案为： 【题型7.不等式组和方程组结合的问题】 【典例】若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 【跟踪专练1】已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是求出．先解方程组得出，再根据为正数，为非负数判断①，把代入可判断②，将代入可判断③． 【详解】解：由得， 为正数，为非负数， ， ，故①错误； 当时，，， ，故②正确； 当时，，， 此时，故③正确， 正确的有②③， 故选：B． 【跟踪专练2】已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 【题型8.不等式组的行程问题】 【典例】某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【跟踪专练1】哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 【跟踪专练2】热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 【题型9.不等式组的经济问题】 【典例】某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 【详解】解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 【跟踪专练1】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 【跟踪专练2】某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 【答案】(1)A物资买了100份，B物资买了100份； (2)133 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，根据关系列出等式和不等式即可； （1）设A物资买了份，B物资买了份；列出方程，求解即可；             （2）设A物资买了份，B物资买了份；列出不等式，再根据B物资的数量不低于A物资数量的一半，列出不等式即可，求解即可. 【详解】（1）解：设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， B物资：， 答：A物资买了100份，B物资买了100份； （2）设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， ∵B物资的数量不低于A物资数量的一半， ∴，   解得：， ∴， ∴A物资最多可以买133份. 【题型10.不等式组的分配问题】 【典例.】把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有 本． 【答案】36 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分7本，那么最后一人就分不到3本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， ， 当时， 故答案为：36． 【跟踪专练1】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 【跟踪专练2】电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元 (2)该商家有3种进货方案，方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键： （1）设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，根据购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃，根据该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元， 依题意，得：， 解得：； 答：每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元． （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃， 依题意，得：解得： 是整数， ， 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商家有3种进货方案， 方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个； 方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个； 方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个． 【题型11.不等式组的方案选择问题】 【典例】怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有 种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 【跟踪专练1】重阳节是国家级非物质文化遗产，我国诗人自古就有“待到重阳日，还来就菊花”的真挚情谊．某社区在重阳节前夕准备购买甲、乙两种菊花，经调查：购买10盆甲种菊花和5盆乙种菊花共需280元，购买7盆甲种菊花和8盆乙种菊花共需268元． (1)求甲、乙两种菊花的单价分别为多少元； (2)该社区决定购买甲、乙两种菊花共30盆，且总花费不少于550元又不多于560元，求所有购买方案． 【答案】(1)甲种菊花的单价为20元，乙种菊花的单价为16元 (2)所有购买方案为：购买甲种菊花18盆、乙种菊花12盆；购买甲种菊花19盆、乙种菊花11盆；购买甲种菊花20盆、乙种菊花10盆 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设甲种菊花的单价为x元，乙种菊花的单价为y元，由题意易得，进而求解即可； （2）设购买甲种菊花m盆，则乙种菊花盆，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设甲种菊花的单价为x元，乙种菊花的单价为y元，由题意得： ， 解得：； 答：甲种菊花的单价为20元，乙种菊花的单价为16元． （2）解：设购买甲种菊花m盆，则乙种菊花盆，由题意得： ， 解得：， ∵m为正整数， ∴所有购买方案为：购买甲种菊花18盆、乙种菊花12盆；购买甲种菊花19盆、乙种菊花11盆；购买甲种菊花20盆、乙种菊花10盆． 【跟踪专练2】某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【答案】(1)每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； (2)60套； (3)三种生产方案：①生产40套A款服装，60套B款服装；②生产39套A款服装，61套B款服装；③生产38套A款服装，62套B款服装． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键． （1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装．根据该厂这100套服装能否实现盈利不低于元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米． 根据题意，得， 解得 答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； （2）解：设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装． 根据题意，得 解得． 答：该服装厂最少需要生产60套B款装； （3）解：该厂生产这100套服装能实现盈利不低于2190元的目标， 根据题意，得， 解得， 又因为，且为正整数， 所以或61或62． 故共有如下三种生产方案： ①生产40套A款服装，60套B款服装； ②生产39套A款服装，61套B款服装； ③生产38套A款服装，62套B款服装． 【题型12.不等式组的其他应用】 【典例】某影院的8号厅正在放映电影，甲，乙两名工作人员对于厅内观影的人数说法如下，甲：“观影人数不超过25人．”乙：“观影人数不足30人．”已知甲的说法错误，乙的说法正确，则8号厅的观影人数可能为（   ） A．25 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】本题考查了不等关系，设观影人数是人，根据甲的说法错误可得：，根据乙的说法正确可得：，可得在8号厅的观影人数的取值范围是，根据取值范围确定人数即可． 【详解】解：设观影人数是人， 甲的说法错误， 观影人数超过了人 ， 乙的说法正确， 观影人数不足人， ， ∴， 只有在取值范围内， 在8号厅的观影人数可能为人， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，容量为的烧杯中倒入的水后，将5个同样的玻璃球逐个放入水中，发现水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．则一个玻璃球的体积的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是根据水是否溢出的情况列出不等式组． 根据5个玻璃球放入水未满，列出；根据6个玻璃球放入水满溢出，列出；解不等式组，得出V的取值范围． 【详解】放入5个时水未满，即，解得； 放入6个时水满溢出，即，解得． ∴V的取值范围为， 故答案为：． 【跟踪专练2】某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的解集，由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求得a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因为关于x的不等式组的解集是， 所以，即， 故选：D． 3．直线与坐标轴的两交点分别为和，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式的性质，从而完成求解． 结合题意，根据一次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到k和b的值；将k和b代入到一元一次不等式并求解，即可得到答案． 【详解】解：∵直线与坐标轴的两交点分别为和 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 4．如图，已知函数的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用一次函数图象解不等式，数形结合，不等式的解集为函数的图象在函数的图象的上方时x的范围，据此即可求解． 【详解】解：不等式表示函数的函数值大于函数的函数值， 即函数的图象在函数的图象的上方， 由图可知，当时，函数的图象在函数的图象的上方， 故不等式的解集是， 故选：C． 5．关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解集问题． 求出，根据计算即可． 【详解】解： 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 7．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 8．已知，且，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如表示另一个量如，然后根据题中已知量的取值范围，构建另一量的不等式，从而确定的取值范围，同法再确定另一未知量的取值范围． 利用不等式的性质解答即可． 【详解】解：， ， 又， ， ． 又， ① 同理得：② 由①②得： 的取值范围是： 故答案为：． 9．已知关于的方程的解是非正数，且关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．27 B．28 C．35 D．36 【答案】A 【分析】本题考查了方程、不等式及不等式组的解法，解题的关键是先根据方程的解、不等式组的解集确定a的取值范围，再根据a的取值范围找出所有符合条件的a的值，最后计算和，计算时注意一定要细心． 【详解】解：解关于的方程，得： ， ， 关于的方程的解是非正数， ， ， 解关于的不等式组得： 关于的不等式组至多有3个整数解， ， ， ， 为整数， 符合条件的整数a有： 符合条件的整数a的和． 故选：A． 10．定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，解一元一次不等式组的应用．理解题意，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式组是解题的关键．当时，，可判断①的正误；设，则，，，可得，可判断②的正误；由题意知，的整数部分为，则小数部分为， 由，可求，可判断③的正误；由，可得，的整数部分为，则小数部分为，且，可求，然后分情况求解，进而可判断④的正误． 【详解】解：当时，，①正确，故符合要求； 设，则， ∴， ∴， ∴，②正确，故符合要求； 由题意知，的整数部分为，则小数部分为， ∴， 解得，，③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴的整数部分为，则小数部分为，且， 解得，， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，或或是的解，④错误，故不符合要求； 故答案为：①②③． 解答题 11．解不等式组：，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，作图见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式解集在数轴上的表示，先分别解不等式组里的两个不等式，再取公共部分的解集，最后将所求解集表示在数轴上即可． 【详解】解：由不等式①，得， 由不等式②，得． ∴原不等式组的解集为：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下， 12．画出函数的图像，并结合图像求： (1)方程的解； (2)不等式的解集； (3)不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查描点法画函数图像，一次函数与方程、一元一次不等式的关系，运用描点法画出函数图像，运用数形结合思想是解题的关键． （1）运用描点法画出函数图像，根据图像与x轴的交点的横坐标即为方程的解； （2）不等式的解集为函数图像在x轴下方对应的自变量x的取值范围，根据图像即可解答； （3）根据函数图像找出函数值在与7之间的自变量的值即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 3 0 描点并连线： 由图像可得，一次函数的图像与x轴的交点为， ∴方程的解为． （2）解：由图像可得，不等式的解集为． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 由图像可得，不等式的解集为． 13．应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 14．已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先把代入，求出，再将点坐标代入求得即可； （2）根据，也就是，结合图象可得结论； （3）根据图象，可以得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得：， 把代入， 得， 解得：， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； （2）∵直线：，， ∴当时，x的取值范围是； （3）， 即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 15．已知甲、乙两果园预计今年水蜜桃的产量分别为和，打算成熟后运到，两个仓库存放．仓库可储存，仓库可储存．甲、乙两果园运往两仓库的运费价格如下表： 甲 乙 仓库 150元/ 140元/ 仓库 200元/ 180元/ 设从甲果园运往仓库的水蜜桃为，甲、乙两果园运往两仓库的水蜜桃的运输费用分别为（单位：元）和（单位：元）． (1)求，关于的函数解析式． (2)甲果园预计今年拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园预计今年拿出不超过50000元的费用作为运费．在这种情况下，甲果园运往仓库的水蜜桃为多少吨时，能使两果园的运费之和最小？最小是多少？ 【答案】(1)； (2)甲果园运往仓库的水蜜桃为时，能使两果园的运费之和最小，最小是83000元 【分析】（1）由运费=数量×单价就可以得出、与之间的函数关系式； （2）根据甲果园今年预计拿出不超过元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过元的费用作为运费，求出的范围，设两地运费之和为元，表示出与的关系式，由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：由从甲果园运往仓库的水蜜桃为可得， 从甲果园运往仓库的水蜜桃为， 从乙果园运往仓库的水蜜桃为， 从乙果园运往仓库的水蜜桃为． 根据题意，得， ． （2）解：由题意，得解得． 设两果园的运费之和为元． 由题意，得． ，随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为83000， 甲果园运往仓库的水蜜桃为时，能使两果园的运费之和最小，最小是83000元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 16．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 17．对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， 解得：， ②由题意得：， 则可以化为， 解得：， 恰有2个整数解， 故 解得 （2）∵对任意实数x，y都成立 即对任意实数都成立 即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $