精品解析：辽宁省朝阳市建平县2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测 九年级数学试题 （考试时间120分钟，分120分） 第I卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分：每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 3. 下列四个物体的俯视图与右边给出视图一致的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：几何体 的俯视图为 ， 故选C 【点睛】本题考查由三视图判断几何体，难度不大． 4. 如图，已知直线，分别交直线于点，直线相交于点，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ，，， 选项A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意； 故选：D． 5. 如图，在矩形中，已知于，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、含的直角三角形特征、勾股定理，解题关键是熟练掌握含的直角三角形特征． 结合矩形性质得到和，再由含的直角三角形特征得到、的长，最后由勾股定理即可得解． 【详解】解：矩形中，，， ，， ， ， ， ，， 中，． 故选：． 6. 不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 7. 图1是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图2所示，此时液面（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出截面图，过点作、的垂线，由，相似比等于对应高之比，列出等量关系式，，即可求解， 本题考查了，相似三角形的实际应用，求相似比，解题的关键是：将实际问题转化为数学模型． 【详解】解：如图所示为沙漏横截面，过点作，交于点，交于点， 由题意可知：，，， ∵， ∴、分别是、边上的高， ∵， ∴， ∴，即：，解得：， 故选：A． 8. 若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数在同一坐标系数中的大致图象是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据ab＞0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可． 【详解】A、根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故符合题意，本选项正确； B、根据一次函数可判断a＜0，b＜0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误； C、根据一次函数可判断a＜0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故不符合题意，本选项错误； D、根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误． 故选A． 9. 如图，在正方形中，相交于点，平分交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，利用正方形的性质可得，，即得，得到，进而得到，即可判定和；过点作于，由角平分线的性质得，由等腰直角三角形的性质得，即得，即可判定；在中，由勾股定理得，即得，即可判定，综上即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确，错误； 过点作于，则， ∵，平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故正确； 在中，， ∵， ∴，故正确； 综上，结论错误的是， 故选：． 10. 已知，如图，在菱形ABCD中．（1）分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；（3）连接BM．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ） A. ∠ABC=60° B. 如果AB=2，那么BM=4 C. BC=2CM D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，根据线段重直平分线的性质及菱形的性质即可判断A选项正确；根据线段垂直平分线的性质及菱形的性质求出∠BAM=90°，利用三角函数求出AM，即可利用勾股定理求出BM，由此判断B选项；根据线段垂直平分的性质和菱形的性质可得BC=2CM，由此判断C选项；利用同底等高的性质证明△ABM的面积=△ABC的面积=△ACD的面积，再利用线段垂直平分线的性质即可判断D选项． 【详解】如图，连接AC， 由题意知：EF垂直平分CD， ∴AC=CD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC=CD， ∴AC=AD=CD=AB=BC， ∴△ABC和△ACD都是等边三角形， ∴∠BAC=∠CAD=∠ABC=60°，故A正确； ∵AM垂直平分CD， ∴∠CAM=∠DAM=30°， ∴∠BAM=90°， ∴S△ABM=S△ABC=S△ABD=2S△ADM，故D项正确； ∵AB=2， ∴AC=CD=2， ∴AM=AC·cos30°=2×=， ∴BM===，故B项错误； 由AM垂直平分CD可得CM=CD， 又∵BC=CD， ∴CM=BC，即BC=2CM，故C项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，菱形的性质，三角函数，勾股定理，是一道综合题，掌握知识点是解题关键． 第II卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、填错，一律得0分） 11. 甲、乙两人在太阳光下行走，若已知两人的身高相同，那么在同一地点、同一时刻太阳光下的影长________相等（填“一定”或“不一定”） 【答案】一定 【解析】 【分析】根据平行投影，在同一时刻，不同物体的物高和影长对应成比例，可知，身高相同，影长一定相同． 【详解】解：太阳光是平行光，根据平行投影，在同一时刻，不同物体的物高和影长对应成比例，可知：当两人的身高相同时，影长一定相等； 故答案为：一定． 【点睛】本题考查平行投影．熟练掌握在同一时刻，不同物体的物高和影长对应成比例，是解题的关键． 12. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查合比性质，熟记合比性质（若，则 ）的公式是解题关键． 根据合比性质即可求解． 【详解】解：∵, ∴， 故答案为：． 13. 如果是关于的一元二次方程的一个根，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程中推出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知点，，以点为位似中心画三角形，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查以点为位似中心图形坐标关系，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，于是把都乘以k或-即可得到点E的对应点坐标； 【详解】解：∵以点为位似中心画三角形，使它与位似，且相似比为，， ∴点的对应点的坐标为：，， 故答案为：或． 15. 如图，在中，，平分，连接并延长至点E，使得，连接，恰好有．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的应用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．延长交于点，连接，易得垂直平分，所以，进而可得，设，则，分别求出, 利用 ，求出，最后利用，得出，可得． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵，平分， ∴，，即垂直平分， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分，解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. （1）解方程： （2）先化简再求值：，其中 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，分式的化简求值． （1）先移项，再将方程左边提取公因式，用因式分解法即可解答； （2）将分子分母能因式分解的先因式分解，再进行化简，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解： 或， （2）原式 ， 当时，原式． 17. 初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整． （2）如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人． （3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【答案】（1），条形统计图补充完整如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（）用乘以“优秀”的百分比可求出所对应扇形的圆心角，用一般的学生人数除以其百分比求出抽取的学生人数，进而求出“良好”的学生人数，即可将条形统计图补充完整； （）用乘以成绩良好的百分比即可求解； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了扇形统计图和条形统计图，样本估计总体，用列表法或树状图求概率，解题的关键是从统计图表中获取相关信息． 【小问1详解】 解：“优秀”所对应扇形的圆心角为， 故答案为：， ∵， ∴抽取的学生人数为人， ∴“良好”的学生人数为人； 【小问2详解】 解：∵， ∴参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有人， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可得，共有种等结果，其中两名同学恰好是甲、丁的结果有种， ∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为． 18. 园林部门计划在某公园建一个长方形花圃，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图所示，建成后所用木栏总长米，在图总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为平方米． （1）求长方形花圃的长和宽； （2）求出网红打卡点的面积． 【答案】（1）长方形花圃的长为米，宽为米； （2）平方米． 【解析】 【分析】（1）设米，根据三边所用木栏总长米，列方程求解即可； （2）设网红打卡点的边长为米，根据空白的面积=长方形花圃的面积一花卉种植面积，列一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 设米，则米， 根据题意，得：， 解得：， ∴米，米， 答：长方形花圃的长为米，宽为米； 【小问2详解】 设网红打卡点的边长为米， 根据题意，得：， 解得：，(舍去)， ∴网红打卡点的面积为(平方米)， 答：网红打卡点的面积为平方米． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意并根据题意建立等量关系． 19. 已知，为平行四边形的边上的一个动点（不与重合），连接并延长交的延长线于点． （1）如图（1），当为的中点且于点时，连接．试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图（2），当且的面积为1时，求平行四边形的面积． 【答案】（1） 解：菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等． （1）先证，进而证明四边形是平行四边形，再根据得出，进而可证平行四边形是菱形； （2）先证，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2中， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同． （1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？ （2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160元，求m． 【答案】（1）雪容融的进价为元，冰墩墩的进价为元 （2） 【解析】 【分析】（1）设雪容融的进价为元，则冰墩墩的进价为元，由题意列出，求解即可； （2）根据题意列出，求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：设雪容融的进价为元，则冰墩墩的进价为元， 由题意得：， 解得：， 答：雪容融的进价为元，冰墩墩的进价为元； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ， ， 解得：或（舍去）， 答：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解． 21. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为5cm和2cm，直尺的宽度为2cm，=2cm，经过A，C两点的直线解析式为．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为1cm） （1）求双曲线的解析式和点C的坐标； （2）求的面积； （3）请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由题意可直接得，把A点坐标代入解析式中即可得k的值，进而求得B的坐标； （2）连接，根据反比例函数系数k的几何意义由= 求得即可； （3）观察图像即可得答案． 【小问1详解】 解：（1）由题意可知， 将A点坐标代入中，得：， ∴k=6， ∴双曲线的解析式为， 把x=4代入得，， ； 【小问2详解】 （2）连接， ，， 【小问3详解】 （3）由图像可知，点D横坐标为4， 则关于x的不等式的解集是或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，注意数形结合思想的运用是解题关键． 22. 我们知道一次函数y=mx+n与y=-mx+n（m≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y=mx+n与y=-mx+n（m≠0）互为“M”函数． （1）请直接写出函数y=2x+5的“M”函数； （2）如果一对“M”函数y=mx+n与y=-mx+n（m≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B，C两点，如图所示，若∠BAC=90°，且△ABC的面积是8，求这对“M”函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若点D是y轴上的一个动点，当△ABD为等腰三角形时，请求出点D的坐标． 【答案】（1）y=-2x+5；（2）和；（3）D点坐标为（0，2+4）或（0，2-4）或（0，-2）或（0，0）． 【解析】 【分析】（1）根据互为“M”函数的定义，直接写出函数y=2x+5的“M”函数； （2）现根据已知条件判断△ABC 为等腰直角三角形，再根据互为“M”函数的图象关于y轴对称，得出OA=OB=OC，再根据函数解析式求出点A、B、C的坐标，再根据△ABC的面积是8求出m、n的值，从而求出函数解析式； （3）△ABD为等腰三角形，分以 A 为顶点，以 B 为顶点，以 D 为顶点三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据互为“M”函数的定义， ∴函数y=2x+5的“M”函数为y=-2x+5； （2）解：根据题意，y=mx+n 和 y=-mx+n 为一对“M”函数”． ∴AB=AC， 又∵∠BAC=90°， ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵OB=OC， ∴∠BAO=∠CAO=45°， ∴OA=OB=OC， 又∵S△ABC=×BC×AO=8 且 BC=2AO， ∴AO=2， ∵A、B、C是一次函数y=mx+n与y=-mx+n（m≠0）的图象于坐标轴的交点， ∴A（0，n），B（-，0），C（，0）， ∵OA=OB=n， ∴n=2，，=2， ∴m=1， ∴y＝x+2 和 y＝−x+2； （3）解：根据等腰三角形的性质，分情况， ∵AO＝BO＝2， ∴AB=4， 由（2）知，A（0，2），B（-2，0），C（2，0）， ∴①以 A 为顶点，则 AB=AD， 当点D在点A上方时，AD=2+4， 当点D在点A下方时，AD=-2+4， ∴D1（0，2+4），D2（0，2-4）， ②以 B 为顶点，则 BA=BD， 此时点D在y轴负半轴， ∴D3（0，-2）， ③以 D 为顶点，则 DA=DB， 此时D为坐标原点， ∴D4（0，0）． ∴D点坐标为（0，2+4）或（0，2-4）或（0，-2）或（0，0）． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，以及新定义、等腰三角形的性质等知识，关键是理解新定义，用新定义解题． 23. 如图，在平行四边形中，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为． （1）如图1，若，且的延长线恰好经过点．求证： ； （2）如图2，若，延长、分别与边、相交于、，若，，求的值； （3）如图3，若，，，、所在直线分别与直线、直线相交于、．作于点，若，直接写出 的值． 【答案】（1） 证明：∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）折叠得到，矩形的性质，得到，，进而得到，进而得到，得到，等量代换即可得出结论； （2）折叠得到，，设，推出，在中，利用勾股定理求出的值，证明，列出比例式进行求解即可； （3）分点在点的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 同（1）可得：， ∵折叠， ∴，， ∴， 设， 则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在点的左侧时，过点作，如图：则：，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， 同（1）可得：， 设， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在点的右边时，过点作，如图 ∵ ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，折叠问题，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测 九年级数学试题 （考试时间120分钟，分120分） 第I卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分：每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 3. 下列四个物体的俯视图与右边给出视图一致的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，分别交直线于点，直线相交于点，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，已知于，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 7. 图1是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图2所示，此时液面（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 8. 若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数在同一坐标系数中的大致图象是 A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，相交于点，平分交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，如图，在菱形ABCD中．（1）分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；（3）连接BM．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ） A. ∠ABC=60° B. 如果AB=2，那么BM=4 C. BC=2CM D. 第II卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、填错，一律得0分） 11. 甲、乙两人在太阳光下行走，若已知两人的身高相同，那么在同一地点、同一时刻太阳光下的影长________相等（填“一定”或“不一定”） 12. 如果，那么________． 13. 如果是关于的一元二次方程的一个根，那么_______． 14. 如图，已知点，，以点为位似中心画三角形，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标为______． 15. 如图，在中，，平分，连接并延长至点E，使得，连接，恰好有．若，则______． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分，解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. （1）解方程： （2）先化简再求值：，其中 17. 初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整． （2）如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人． （3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 18. 园林部门计划在某公园建一个长方形花圃，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图所示，建成后所用木栏总长米，在图总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为平方米． （1）求长方形花圃的长和宽； （2）求出网红打卡点的面积． 19. 已知，为平行四边形的边上的一个动点（不与重合），连接并延长交的延长线于点． （1）如图（1），当为的中点且于点时，连接．试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图（2），当且的面积为1时，求平行四边形的面积． 20. 2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同． （1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？ （2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160元，求m． 21. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为5cm和2cm，直尺的宽度为2cm，=2cm，经过A，C两点的直线解析式为．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为1cm） （1）求双曲线的解析式和点C的坐标； （2）求的面积； （3）请直接写出关于x的不等式的解集． 22. 我们知道一次函数y=mx+n与y=-mx+n（m≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y=mx+n与y=-mx+n（m≠0）互为“M”函数． （1）请直接写出函数y=2x+5的“M”函数； （2）如果一对“M”函数y=mx+n与y=-mx+n（m≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B，C两点，如图所示，若∠BAC=90°，且△ABC的面积是8，求这对“M”函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若点D是y轴上的一个动点，当△ABD为等腰三角形时，请求出点D的坐标． 23. 如图，在平行四边形中，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为． （1）如图1，若，且的延长线恰好经过点．求证： ； （2）如图2，若，延长、分别与边、相交于、，若，，求的值； （3）如图3，若，，，、所在直线分别与直线、直线相交于、．作于点，若，直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $