专题04 导数与不等式综合运用7大考向（重难专练）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题04导数与不等式综合运用 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：近几年的高考中，命题形式多样，以选择题、填空题和解答题中，难度较大．经常与函数的单调性、极值、最值等结合考查. 预测2026年：预计 2026年在题型上不会有大的变动。内容上重点考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，进而解决不等式的恒成立、能成立问题；双变量问题、极值点偏移问题、不等式综合证明问题等. 考向01 不等式恒成立问题 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 1．（25-26高三上·北京·月考）已知函数 . (1)若在取极小值，且，求的值; (2)当 时，恒成立，求最大值； (3)是否可以与轴相切? 若可以，求间关系式； 若不可以，说明理由. 【答案】(1)， (2)1 (3)（） 【分析】（1）求出导函数，由题意且，列式求解，最后再验证即可； （2）求导函数，利用导数研究的单调性，结合，利用函数的最值思想求解即可； （3）设切点为，利用导数的几何意义及切点在x轴上，得，然后利用函数法求得方程的根为，进而求得. 【详解】（1）由得， 因为在 取极小值，所以， ① 又，代入得，解得 ， 把代入①，得，所以； 验证：当，时，，当时，，当时，，所以为的极小值点，符合题意，故，； （2）当 时，恒成立，即恒成立， 令，则，符合，， 令，则， 因为，，所以，即在上单调递增， 所以， 若，（即），则，在上单调递增， 故，符合条件； 若，（即），则存在，使得， 当时，，单调递减，此时，不符合条件； 所以，即，当时，等号成立，故最大值为1； （3）若与轴相切，设切点为，则需满足，且， 即，由第二个方程得， 代入第一个方程得， 整理得，即， 令，则， 因为，，令，得或， 所以当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的极大值（也是最大值）， 当x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，无限趋向于正无穷大， 所以无限趋向于负无穷大，当x无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0， 所以无限趋向于0且，所以时，， 即方程的解为，所以， 所以可以与轴相切，此时满足（）. 2．（25-26高三上·北京·月考）已知函数（） (1)讨论函数的单调性； (2)若直线为曲线的切线，求实数a的值； (3)当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)答案见详解 (2)2 (3)42 【分析】（1）由解析式得到函数定义域.取或，得到函数解析式，直接判断函数在定义域上单调性.求函数导数，讨论的不同取值范围，由导数得到函数单调区间. （2）求导数，令解得切点横坐标，即可求得切点坐标，代入切线方程即可求得的值； （3）代入得到函数解析式，然后得到并化简，由元均值不等式得到的范围，即可求得的最大值，然后得到的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，函数，函数在上单调递减； 当时，函数，函数在上单调递减； 当且时，， 令，即，则，则， 当，时，则， ∵， ∴函数在上单调递减，在上单调递增； 当，时，则， ∵， ∴函数在上单调递增，在上单调递减； 当，时，则恒成立， ∴函数在上单调递减； 综上所述， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2），令， 即，则，则， 则，∴. （3）当时，， 则 ∵，当且仅当时，取等号. ∴，即，∴， ∴，即， ∴实数的最小值为42. 3．（25-26高三上·北京顺义·月考）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)设，证明：当时，； (3)若恒成立，求实数的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求得切线方程； （2）根据题意，求得，当时，得到，得出在上单调递增，结合，即可得证； （3）由时，，时，，设，转化为当时，，当时，，根据，求得，分和，两种情况讨论，结合函数的单调性和最值，作出证明，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得， 则，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以在处的切线方程为. （2）证明：由函数，可得， 当时，可得，所以，在上单调递增， 所以， 所以当时，. （3）解：由函数，可得其定义域为，且， 当时，，所以在上单调递增， 当时，；当时，， 设，要使得恒成立，即恒成立， 当时，；当时，， 所以，即，解得， 下面证明：当时，恒成立， 由，可得， 当时，，在上单调递增，； 当时，设，可得， 因为，可得，所以在单调递增， 又由， 所以存在唯一，使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为且， 所以当时，恒成立， 综上可得，当时，，即实数的值为. 4．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，， (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)证明：在区间恒成立； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求导，利用几何意义得出斜率即可求出； （2）构造函数，研究其单调性，判断其正负性即可； （3）令，进而求证，再分类讨论，若，可求证当时，，若，则通过以及的单调性推出矛盾，若，则通过放缩得出即可求证. 【详解】（1）当时，， 则，，则， 故函数在处的切线方程为； （2）令，则， 则在上单调递减，则，即， 则在区间恒成立； （3）令，则， 则在上单调递增，则，即， 则， 又当时，在上恒成立， 则在上单调递减，则， 则当，时，， 又，则存在使得， 故存在使得，不符合题意； 令， 则， 当时， ， 若在上恒成立，则在上单调递减， 则，不符合题意； 若存在使得， 则由零点存在性定理可知，存在使得， 且使得在恒成立， 则在上单调递减，则，不符合题意； 当时， ， 则在上单调递增，则，符合题意， 综上可知，的取值范围为 考向02 不等式能成立问题 1、形如 f(x)≥g(x)有解问题的求解策略 (1)构造函数法:令F(x)=f(x)-g(x)，利用导数求得函数F(x)的单调性与最小值，只需F(x)max ≥0恒成立即可 (2)参数分离法:转化为a≥φ(x)或a≤φ(x)恒成立，即a≥φ(x) min或a≤φ(x)max 恒成立，只需利用导数求的函数φ(x)的单调性与最值即可 2、单变量不等式能成立问题转化 (1) x∈D, m≤f(x) m≤f(x)max (1) x∈D, m≥f(x) m≥f(x)min 1．（24-25高三下·北京·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：有最大值； (3)若对任意，都存在正整数，使得，写出的取值范围（结论不要求证明）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数解析式求导，代入，求出斜率与切点，利用切线方程，可得答案； （2）由函数的导数，构造函数，并对新函数进行求导，可得新函数单调性，根据零点存在性定理，可得导数的零点以及与零的大小关系，可得函数的单调性与最值； （3）对函数求导，并分情况研究导数与零的大小关系，进而可得函数的单调性，通过直观想象，结合题意，分别检验，可得答案. 【详解】（1）由题意求导可得 ， ，，所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，其中， 令，， 所以在上单调递减， 又因为，， 所以存在，满足，即， 当变化时，，变化情况如下表： 0 ↗ 极大值 ↘ 所以当时，有最大值. （3）， 理由：易知在上恒成立， 当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增，显然不符合题意； 当时，由，令， 求导可得在上单调递减， 由，， 则存在，使得，即， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，，则函数在上单调递减， 则函数的图象在趋近于时，无限趋近于轴， 即轴为函数图象的渐近线，显然符合题意. 综上，. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 2．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，求函数的单调区间； (3)若在区间上存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增 (3)或 【分析】（1），第一步求函数的导数，第二步求极值点，分析零点两侧的单调性，求得最小值； （2），求导，根据函数的定义域是，所以讨论和0的大小关系，分和两种情况讨论函数的单调性； （3）根据（2）将问题转化为在上存在，使得，讨论极值点与定义域的关系，分，，三种情况讨论函数的最小值，令 ，求实数. 【详解】（1）的定义域为， 当时，， 1 0 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值1，函数没有极大值， 所以的最小值为． （2）， ， ①时，即时， 在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，在上， 所以函数在上单调递增． 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增． （3）由题意可知在上存在，使得成立， 即在上存在，使得， 即函数在上的最小值，由第（2）问可知： ①当，即时，在上单调递减， ∴，∴，又∵，∴， ②当，即时，在上单调递增， ∴， ③当，即时，∴， ∵，此时不存在使成立， 综上可得所求的范围是：或． 3．（23-24高三上·北京·月考）已知函数，． (1)若在点处的切线为，求实数的值； (2)设函数，求函数的单调区间与极值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见详解 (3) 【分析】（1）求出的导数，根据在点处的切线为，得得解； （2）求出，判断的正负，得解； （3）令，把题干中的问题转化为在上有，再利用导数研究的单调性，对进行分类讨论，求出不同范围下的，得解. 【详解】（1）， ，又在点处的切线为，得， 即，解得. （2）， ，， 令，解得，令，解得， ，单调递增，，单调递减， 在处取得极大值，极大值为，无极小值. （3）令，，使得， 等价于在上，， ，， ，， 令，，令，， 即在上单调递减，在上单调递增， 当即时，在上单调递减， ，则，解得， ，， 当即时，在上单调递减，在上单调递增， ，因为，所以， 则，即，不合题意， 综上，的取值范围为. 4．（22-23高三上·北京海淀·月考）已知函数 (1)判断函数零点的个数，并说明理由； (2)对任意的，存在，使求实数a的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：，有． 【答案】(1)1个 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求定义域，转变为求的零点个数，求导，根据单调性与零点的存在性定理即可求； （2）任意的，存在，使，可转化为，则求出，即可求出实数a的取值范围； （3）指对缩放不等式可知，(需证明)，则可得，则不等式可证. 【详解】（1）由，定义域为， 的零点等价于的零点， ，所以在上单调递增，又， 所以在上只有一个零点，所以的零点个数为1个，则的零点个数也为1个. （2）因为， 所以， 所以在区间上单调递增， 故． 因为， 所以． 令，则， 又，所以， 故在区间上单调递增， 所以． 又对任意的，存在，使， 所以， 即，解得， 故实数a的取值范围为． （3）令，，则． 令，解得，则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即（当且仅当时，等号成立）． 令，则． 令，解得，则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即（当且仅当时，等号成立）， 故（当且仅当时，等号成立）． 又，所以． 因为，所以， 故，即． 考向03 单变量不等式的证明 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 1．（25-26高三上·北京西城·月考）已知函数． (1)求的最小值； (2)求证：； (3)设，已知，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对函数求导，利用导数研究的单调性，从而得到最小值； （2）由，构造函数，利用导数判断出单调性得到，即，所以得证； （3）先利用导数判断函数在上单调递增且 ，所以当时，成立；再证明时，，进而得出结果. 【详解】（1）由题得， 令得到， 在上，，所以在上单调递减； 在上，，所以在上单调递增； 所以的最小值为. （2）由得到， 令，， 令，则， 令得到， 在上，，所以在上单调递减； 在上，，所以在上单调递增， 由 ，且当时，,故： 当 时，，即，所以在上单调递减； 当 时，，即，所以在上单调递增， 所以 ， 即，所以得证. （3）由题得，， 则， 令，则， 在单调递增，， 所以在上，，在上，, 所以 时，函数取得极小值即最小值，， 所以 ，所以函数 在 上单调递增，， 所以当时，成立，当时，成立， 当时，，此时函数单调递减， 因此，而 ，可得 ， 综上得到：. 2．（25-26高三上·北京顺义·月考）已知. (1)令，求的最小值； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件得，利用导数直接求出的单调区间，即可求解； （2）利用（1）中结果得在区间上单调递增，从而当时，，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 所以，易知，， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. （2）因为，则， 由（1）可知在恒成立， 所以在恒成立， 即在区间上单调递增， 所以当时，， 即，命题得证. 3．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，. (1)当时，若斜率为1的直线与曲线相切于点，求的坐标； (2)若直线分别交曲线和于不同的两点，，且存在最小值， （i）求证：； （ii）设为坐标原点，当取得最小值时，记的面积为.若，试比较与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）求导根据切线斜率求出横坐标，代入求出纵坐标即可求出点的坐标； （2）（i）由，不同，根据对数函数与二次函数性质可得恒在图像上方，得恒成立关系分参来解，利用隐零点代换求得最值的范围，从而得证； （ii）利用隐零点代换表示出面积的函数关系，结合单调性进行分析即可. 【详解】（1）当时，，, 令得，， 故. （2）（i）由于直线分别交曲线和于不同的两点，， 结合对数函数与二次函数图像性质可得恒在图像上方， 即，即恒成立， 设，则， 由于单调递减，且， 则存在使得，即，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故， 代入得， 由于在时单调递减，且代入得， 故， 则成立. （ii）， 设，则单调递增且值域为， 则存在使得，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则当时，最小，最小， ， 设，， 由于单调递减，，则， 设， 则单调递减，且， 则当时，，单调递减， 则，即. 4．（25-26高三上·北京密云·月考）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时， （ⅰ）求的极值点； （ⅱ）设函数，证明：． 【答案】(1) (2)（i）极大值点为. （ii）证明见解析 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义求出切线方程即可. （2）（i）先对求导，然后令，进一步求导判断单调性，进而得出极值点. （ii）先化简，分两种情况讨论，只需证明在且上恒成立即可. 【详解】（1）因为，所以， 求导得. 所以，又， 所以切线方程为，即. （2）（i）因为，所以， 所以， 令，则，解得. 令，求导得. 因为，所以，所以在上单调递减，且. 所以在上大于0，在上小于0， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上取极大值，所以极大值点为. （ii），那么且， 当时，，此时，即证. 当时，，此时，即证. 综上，只需证明在且上恒成立， 令，则. 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，故得证. 考向04 双变量不等式的证明 双变量问题，可尝试转化为一个变量构造函数，转化为恒成立或存在性问题.也可考虑利用函数的单调性直接分析求解等. 1．（25-26高三上·北京·月考）已知． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）先表示，结合导数与极值关系，利用韦达定理建立的关系，再把多变量化成单变量函数，即可证明. 【详解】（1）当时，，， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）， 令，得，令，则， 原方程可化为①，则是方程①的两个不同的根， 所以，解得， 由韦达定理得，则， 所以 ， 令，则， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以. 2．（2023·北京·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：对任意，都存在，使得． 【答案】(1) (2)． (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义进行求解即可； （2）利用导数分情况讨论函数的单调性，判断极值即可求解 （3）利用（2）中的函数的单调性，将进行赋值即可证明. 【详解】（1）当时，，， ，又， 曲线在点处的切线方程为：； （2），， 当时，，在上单调递减，无极值； 当时，令，即， 解得， 当时，， 0 0 极大值 极小值 的单调递增区间为，单调递减区间为，为函数的两个极值点， 故符合题意； 当时，， 在上单调递增，无极值. 综上，实数的取值范围为； （3）①当时，由（2）知，在上单调递减， 令，则，； ②当时，为极大值，为极小值， ， 令，则； ③当时，在上单调递增，令， ，； 综上，对任意，都存在，使． 3．（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由函数求导，根据导数的几何意义建立方程，可得答案； （2）先由图象分析零点的存在性，再分段研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案； （3）由函数求导并构造函数，利用导数要求新函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】（1），定义域为． ．由题可得，，解得． （2）由（1）可得，． 当时，，，故，在时无零点； 当时，，，故，在时无零点． 当时，，所以在上单调递增． 而，． 故由零点存在性定理知，在上存在唯一零点． 当时，，，故，在时无零点； 综上：在上的零点个数为1． （3）．令，． 令，则． 当时，，，，所以．所以在上单调递增． ，，所以由零点存在性定理，存在唯一，使得． 当变化时，，的变化如下表： 0 极小值 又，，． 所以由零点存在性定理，分别在，上各恰有一个零点，即在上存在两个零点． 不妨设．则当时，；当时，． 而，． 所以．故． 4．（2025·北京东城·一模）设函数，曲线在处的切线方程为. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)已知，其中，直线的方程为.若，且，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，结合已知求参数值； （2）导数研究函数的单调性，结合函数的零点求不等式的解集； （3）问题化为且上恒成立，即判定证明、在上单调递增即可证. 【详解】（1）由题设，则，而， 所以曲线在处的切线方程为， 所以，即为，则 ； （2）由（1）得，则， 令，则， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以，故在R上单调递增，且， 所以的解集为； （3）由（2）知在R上单调递增，要证，即证， 由且，即证， 由，，则且， 所以且上，证明，即恒成立， 所以，只需证在上单调递增，且增长速度逐渐变快， 由（2），、在上均单调递增， 所以且上，恒成立，故，得证. 考向05 和型不等式的证明 1.构造函数确定不等关系 2.放缩:观察和式各项特点，构造合适的函数，利用函数的单调性、最值等性质得到关于和式中每一项的不等式，通过放缩将和式转化为更易处理的形式。 1．（2024·北京·三模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：．（且） 【答案】(1)答案见解析． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导,再根据的正负分类讨论单调性即可; （2）若恒成立，即，根据（1）中的单调性求出其最大值即可列式求解. （3）由（2）知当时,有在恒成立，令,即可推出，再对不等式两边累加求和,即可推出结论. 【详解】（1）函数的定义域为． ． ①时，，的递增区间为，无递减区间； ③时，令得；令得， 所以的递增区间为，递减区间为． （2）由（1）知，时，在上递增，，不合题意， 故只考虑的情况，由（1）知 即 综上，的取值范围为． （3）由（2）知：当时，恒成立，所以， 所以当恒成立，令， 进而， 即，． 所以．（且） 即．（且） 2．（25-26高三上·北京·月考）已知. (1)曲线在点处的切线为直线，记的斜率为，比较与的大小； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求得，得到，结合对数函数的性质，即可得到与的大小关系； （2）若，得到恒成立；若，由（1）得，令，求得在递增，结合，分和，两种情况讨论，即可求得实数的取值范围； （3）令，利用导数求得的单调性和极小值，得到， 取，由（2）得到，令，求得，结合对数的运算性质和累加法，即可得证. 【详解】（1）由函数 可得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 因为，所以，即. （2）由函数， 当时，可得， 若，可得恒成立； 若，由（1）知：， 令，可得， 因为，可得，所以，在递增， 又由， 当时，即，此时，即， 所以在递增，所以，满足恒成立； 当时，即，存在，使得， 当时，，即，单调递减，则， 不满足恒成立，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. （3）令，可得，其中， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即，即， 由（2）知，当，，即， 即， 令，则，即， 可得， 所以， 又由对数的运算性质，可得， 所以对于任意正整数，总有. 3．（22-23高三·北京·月考）设函数，. (1)若在处切线的倾斜角为，求； (2)若在单调递增，求的取值范围； (3)证明：对任意，. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义即得； （2）由题可得恒成立，然后根据三角恒等变换及二次函数的性质即得； （3）由题可得，然后利用累加法及三角函数的性质即得. 【详解】（1）由题可得， 依题意，， 所以； （2）因为 ， 所以恒成立，， 即恒成立，又， 所以，即的取值范围为； （3）由上可知，，， 所以， 即， 以，，，替换上式中的，可得， ， ， 累加以上各式可得， ， 又因为，， 所以 即. 考向06 极值点偏移之对称化构造 处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 1．（24-25高三上·北京·期中）已知，，e是自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 【答案】(1)单调区间见解析；当时，取得极小值0，无极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）通过求导判断函数的单调性，即得函数的极值； （2）依题意将方程有两个不等实根问题转化成函数与有两个交点问题，通过求导判断函数的单调性和极值趋势，作出图象，数形结合即可求得参数范围； （3）先利用求导判断函数的单调性，结合，且，可得，，经等价转化，将待证命题转化成证明，构造函数，求导判断在上单调递增，由得，从而推得，利用的单调性得到即得证. 【详解】（1）当时，，函数的定义域为，求导得， 由可得，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得极小值. 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，取得极小值0，无极大值. （2）由方程有两个不等实根可知，， 依题意，方程有两个不等实根等价于函数与有两个交点. 由，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得极大值， 且当；当，，故可作出函数的图象如下.    由图知，当且仅当时，函数与有两个交点.，故a的取值范围为. （3）因，由，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 因，且，则可得，， 要证，需证， 因，且函数在上单调递减， 则只需证，又， 即需证，即证. 设， 则， 于是， 因，当且仅当 ，即当时，等号成立， 故，即函数在上单调递增，因， 则， 则，即得， 又函数在上单调递减，则，故得证. 2．（2023·北京丰台·一模）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若函数有两个不相等的零点，． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)函数无极大值，有极小值. (2)（i）.（ii）见详解. 【分析】(1)利用导数研究函数的单调性和极值. (2)（i）利用导数研究函数的单调性与极值，再结合图象与零点进行求解. （ii）利用构造对称函数以及导数进行证明. 【详解】（1）因为，所以，因为， 由有：，由有：， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以函数无极大值，有极小值. （2）（i）由(1)有：函数在单调递减，在单调递增， 若函数有两个不相等的零点，，则，解得， 所以，因为当时，，所以， 所以在上有1个零点， 当时，，又“指数爆炸”，所以， 所以在上有1个零点， 综上，当时，函数有两个不相等的零点，. （ii）由（i）有：当时，函数有两个不相等的零点，， 不妨设，构造函数， 因为，所以， 因为，所以，当前仅当时取到等号， 所以，所以在R上单调递减， 又，所以， 即，即，又， 所以，又，所以， 由(1)有：函数在单调递减，所以， 即，结论得证. 3．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)若，证明：． 【答案】(1) 时单调递增， 时，单调递减； (2) ； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导，根据导数的符号确定单调区间； （2）运用参数分离的方法，构造函数求导，计算函数最大值即可； （3）作图，根据函数图像确定 的范围，再构造函数，利用函数的单调性证明. 【详解】（1） ，显然有 ，当 时， ，单调递增， 当 时， ，单调递减； （2）由 得： ， ， 令 ，则有 ，令 ， 显然 是减函数， ， 当 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减； ，a的取值范围是 ； （3）当 时， ，由（1）的结论作函数图像如下： ， 对于 ，得 ，不妨设 ，则有 ， 由图可知当 时，对应的自变量有2个值 ，其中 ， 要证明 ，只需 取 中较小的数 即可， ， ， ， ， 要证明 ，只需证明 ，在 时， 单调递增， 只需证明 ， ， 只需证明 ， 即 ，构造函数 ， ， ， ， 是增函数，又 当 时， ， 即，命题得证； 综上，（1）当 时，单调递增，当 时，单调递减；（2） . 【点睛】本题的难点是第三问，根据函数的图像确定和 的范围，再将原问题转化为函数的单调性问题. 4．（22-23高三上·北京房山·期中）已知函数 (1)求函数单调区间； (2)设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求导后，根据正负即可得到的单调区间； （2）①将问题转化为与在上有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果； ②由①可得，设，利用导数可求得，进而得到，即，根据的范围和单调性可得结论. 【详解】（1）定义域为，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为；单调递减区间为. （2）①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点； 由（1）知：，又， 在的图象如下图所示， 由图象可知：，，即的取值范围为. ②不妨设，由①知：， ，， 在上单调递增，在上单调递减； 设，则， 在上单调递减，，， 又，，又，； ，，在上单调递增， ，则. 考向07 极值点偏移之比值代换 极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 1．（2023·北京大兴·三模）设，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若函数有两个相异零点，，求证：. 【答案】(1) (2)见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）代入的值，计算，，求出切线方程即可. （2）通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可. （3）问题转化为，令，则，得到，令，根据函数的单调性证明即可. 【详解】（1）当时，， ，，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由函数定义域是， ， 当时，，单调递增， 所以函数单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，可得， 令，可得， 由，可得，由，可得， 所以，函数单调递增区间为，单调递减区间为. 综上，时，单调递增区间为，单调递减区间为， 时，单调递增区间为，无单调递减区间. （3）因为有两个相异的零点， 由（2）可得，当时，由连续单调递增，至多一个零点； 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为， 所以， 当时，即时，方程无解，此时a的范围是， 当的范围是时，结合函数图象可知，方程有两个不等解， 由于，不妨令，则有，， 所以，，所以， 要证，只需，即，， 即证，即， 即，只需， 令，则，所以只要证明在上成立， 令，可得， 由，所以恒成立，所以在递增， 又由，所以时，恒成立，即恒成立， 即恒成立，从而可得. 2．（2023·北京通州·三模）已知函数 (1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值； (2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. (3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明. 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）切线方程的斜率为1，所以有，解方程即得实数a的值； （2）依题意在（0，+∞）上恒成立.，分参求解即可； （3）求出函数的单调性，结合零点存在性定理即可求实数a的取值范围；通过分析法要证明，只需证，构造函数即可证得 【详解】（1）因为，所以. 所以，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为， 所以，解得.. （2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数， 所以在（0，+∞）上恒成立. 即恒成立.，即， 令，所以， 时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. （3） 定义域为 当时，，所以在（0，+∞）上单调递减，不合题意. 当时， 在（0，）上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 函数存在两个零点的必要条件是， 即，又， 所以在（1，）上存在一个零点（）. 当时，，所以在（，+∞）上存在一个零点， 综上函数有两个零点，实数a的取值范围是. 不妨设两个零点 由，所以， 所以，所以， 要证， 只需证， 只需证， 由， 只需证， 只需证， 只需证， 令，只需证， 令， ， ∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴， 即成立， 所以成立. 【点睛】极值点偏移问题，应熟练掌握对称构造的基本方法，同时结合处理双变量问题的常用方法比值代换的技巧. 3．（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数 (1)当时，求函数的单调性和极值. (2)若函数有两个正零点且， （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，不等式恒成立，求证：. 【答案】(1)在 上单调递减，在上单调递增，极小值为1，无极大值. (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）直接求导，即可判断单调性，据此求极值； （2）（i）函数有零点可转化为 ，从而求出 ，利用作差法得，分析法将问题转化为证明 ，利用换元法以及构造新函数，根据导数研究新函数的单调性即可得证； （ii）由（i）可讨论当时，的符号情况 ，分析可知要满足题意，则关于 的方程 的两根也是 ，等价代换得，通过对比系数可得证. 【详解】（1）代入，得函数的定义域为 ， 求导得 ，令 ，解得 ， 当 时， ，当 时， ， 则函数在 上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）（i）由题意知方程有两个不同的正实根 ， 由（1）知且 ，解得 ， 则 ，， 两边同时取自然对数，得 ， 两式相减得 ，即 ， 要证 ，只需证明 ， 令 ，只需证明 构造函数 ，求导得 ， 所以函数在上单调递增，于是 ，所以不等式 成立， 于是原不等式成立. （ii）结合以上分析可知当时，； 当时， ；当时， ． 所以要满足题意，则关于的方程的两根是 ， 于是 ， 对比系数得 ， 所以 ． 4．（24-25高三上·北京石景山·期末）设函数 . (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若存在两个极值点，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可得解； （2）导函数，由联想到可依据和的大小关系分类讨论，以便确定导函数的符号，从而确定函数的单调性； （3）将函数存在两个极值点转化为方程在上有两个不等实根，由韦达定理得，即可将要证的不等式转化为，不妨设，即证，令，则可构造函数，证明的最小值大于即可. 【详解】（1）当时，，则. 又，则所求切线的斜率. 所以曲线在点处的切线方程为 ，即. （2）的定义域为. ，因为，当且仅当时，等号成立； ①若，则，当且仅当时，， 此时的单调递增区间为，无减区间； ②若，由，即， 解得，，因为，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述，当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为和， 单调递减区间为. （3）因为存在两个极值点， 所以方程，即在上有两个不等实根. 则，解得. 则 要证不等式，即证， 即证， 不妨设，即证， 令，，则， 所以在上单调递增，则，所以成立， 所以成立. （建议用时：60分钟） 1．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)判断1是否为函数的极值点，并说明理由． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 【分析】（1）分离参数，即可利用导数求解函数的最值，从而得解； （2）先假设1是极值点，解得，代入函数中，通过导数判断出函数的单调性，得矛盾求解. 【详解】（1）由可得，进而可得恒成立， 令，则， 故当在单调递增， 当在单调递减， 故， 故， （2） 假设1是函数的极值点，则，则， 当时，， 令，则， 故当在单调递增， 当在单调递减， 故， 故在恒成立，故在单调递减，此时无极值， 故1不是函数的极值点. 2．（25-26高三上·北京西城·月考）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)设实数使得恒成立，求的取值范围； (3)设，求函数在区间上的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）先求出，在求出及，即可求解； （2）由得恒成立，等价于恒成立，设并求出其最大值，从而可求解； （3）求令，即求，由（2）即等价于函数的图象与函数的图象的交点个数，再结合在区间上的取值情况，再对分情况讨论，即可求解. 【详解】（1）由题可得函数的定义域为，且， 则，因， 所以在点处的切线方程为，化简为. 故函数在点处的切线方程为. （2）由题意知得恒成立，即恒成立，等价于恒成立， 设，则，令，解得， 当时，；当时，， 所以当时，取到极大值也是最大值，所以， 所以的取值范围为. （3）由题知令，即，则得，从而得， 由（2）得函数在区间上的零点个数即等价于求函数的图象与函数的图象的交点个数， 又因在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且当时，取到极大值也是最大值， 又因为，， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当时，函数的图象与函数的图象的交点个数为. 综上所述：当或时，函数在区间上有个零点； 当或时，函数在区间上有个零点； 当时，函数在区间上有个零点. 3．（25-26高三上·北京·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的导数就是该点处切线的斜率，再结合该点的函数值，用点斜式即可得到切线方程． （2）方法一：要使恒成立，需保证函数的最小值大于等于0，通过求导得到函数的单调性，确定极值点，进而得到最小值，再根据最小值的条件即可求解的值； 方法二：利用且恒成立，可得处函数取到最小值，亦是极小值，再利用极值点处导数为0求得的值，最后进行验证即可． 【详解】（1）由已知，函数，则， 又，， 所以点处的切线方程为，即． （2）方法一：由（1）可得，． 当时，恒成立，因此在定义域内单调递减， 而当时，与题意不符； 当时，令，解得， 则变化如下表． － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 要使恒成立，只需， 令， 则，令，解得， 则变化如下表． ＋ 0 － ↗ 极大值 ↘ 因此且可得，又由上表是唯一的最大值，因此． 方法二：由（1）可得，因此恒成立，即恒成立， 又在处有导数，因此在处取到最小值，亦是极小值， 从而，解得， 当时，，， 令，解得，则变化如下表． 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 因此，即当时，恒成立． 4．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，（，且，，且）. (1)当时，曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合两直线垂直的斜率关系，即可求解； （2）首先求函数的导数，，讨论得到取值范围，根据导数和函数单调性的关系，即可求解； （3）根据（2）的结果，结合函数的最小值，即可求解. 【详解】（1）当时，，， ，由条件可知，，得； （2），， 当时，恒成立，所以在单调递增， 当时，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上可知，时，的增区间是，无减区间，当时，的减区间是，增区间是； （3）当，当时，，，所以，即，不满足条件， 当时，由（2）可知，在处取得最小值，最小值为， 若对任意的，恒成立，即 即，得，即， 所以的取值范围是. 5．（25-26高三上·北京房山·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出导数后，对分类讨论，结合一元二次不等式求出函数的单调区间； （2）根据（1）分别得出函数的最小值，原不等式恒成立转化为最小值不小于0恒成立，解不等式即可得出参数取值范围. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 且， ①当时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； ②当，可得， 令，即，解得； 令，即，解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； ③当，可得， 令，即，解得； 令，即，解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，当时，，符合题意； 当时，由（1）知，，故等价于， 即，即，解得； 当时，，故等价于， 即，即，可得，解得； 综上，a的取值范围. 6．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，在和处取得极值． (1)若，且，求的最大值； (2)设，若，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合题意得到是的两个根，再结合韦达定理和得到，构造，利用导数得到其最大值，最后得到的最大值即可. （2）先将证明转化为证明，进而结合题意证明即可，再将证明转化为证明，进而结合题意证明即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为在和处取得极值，所以是的两个根， 由韦达定理得，， 因为，所以， 而，则， 化简得， 令， 则，且， 令，，令，， 可得在上单调递增，在上单调递减， 则， 此时取得最大值，故的最大值为. （2）因为，， 所以， 先证明，欲证，则证， 即证，由题意得， 因为，，所以，， 则，得到，即得证， 再证明，欲证，则证， 则证即可， 由已知，可得， 即证即可， 因为，所以，而， 则，可得得证，即得证， 综上可得得证. 7．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，其中． (1)求函数的单调区间； (2)设函数在区间上的最大值和最小值分别为，求使得不等式成立的的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)2 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论求解即可； （2）结合（1）易得函数在上单调递增，再结合题设将问题转化为，令，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，则， 当时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，得， 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由（1）知，当时，函数在区间单调递增， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在区间单调递增. 综上所述，函数在区间单调递增， 所以． 由，得， 令，则， 由，得或． 当变化时，与的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在和上单调递增，在上单调递减． 又因为，，且， 所以当时，；当时，． 即当且仅当时，恒成立， 所以使得成立的的最小值为2． 8．（25-26高三上·北京西城·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极小值，求的值； (3)若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由极值点的定义可得出，可求出的值，可得出函数的解析式，然后利用导数分析函数的单调性，结合极值点的定义可得出实数的值； （3）根据导函数的初始值，结合导函数的图象的连续性，进行分类讨论研究，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则，， 故，所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，所以， 此时，， 当时，， 所以在区间上单调递增， 设，则， 设，则， 所以，当，，所以在区间上单调递增， 又，，故存在使得， 所以当时，，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数在时取得极小值，所以. （3）因为，则，， 当，即，由函数图象的连续性可知， 必存在正实数，使得对任意的，， 此时单调递增，从而，不符合题意； 当，即，由函数图象的连续性可知， 必存在正实数，使得对任意的，， 故在上单调递减，从而，符合题意； 当时，，， 设，在上恒为正， 所以在上单调递增， 所以在上，在上单调递增， 从而，不合题意； 综上，的范围是. 9．（25-26高三上·北京西城·期中）已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； (3)当时，若对任意，恒成立，记此时实数a的最大值为，求的解析式. 【答案】(1) (2)当时，的极小值点为；当时，无极小值点. (3) 【分析】（1）先求出函数在该点的导数，再结合该点的坐标，利用点斜式方程求出切线方程； （2）先求出函数的定义域，再对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出极小值点; （3）先将不等式进行变形，然后构造函数，通过求函数的最小值来确定实数a的取值范围，进而得到的解析式. 【详解】（1）由题意得，，则，，即切线的斜率为， 又，切线方程为，即 （2）令，即，解得或， 当时，，无极小值； 当时，在区间和上， 单调递增； 在区间和上， 单调递减， 的极小值点为, 当时，在区间和上， 单调递减； 在区间和上， 单调递增， 的极小值点为. 综上，当时，的极小值点为；当时，无极小值点. （3）当时， 恒成立，即在上恒成立， ，，不等式两边同乘，得， 整理得，即， ，， 又，在上恒成立， 令，则，那么， ， ，，则，， 又恒成立，且趋于时，趋于， ，即. 10．（25-26高三上·北京·月考）设函数． (1)求的单调区间与极值点； (2)若有两个零点，求的取值范围； (3)当时，设的两个零点分别为，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分与进行讨论即可； （2）根据（1）的讨论，初步得出的范围，再结合零点存在定理说明即可； （3）根据（2）得出的的范围，进行证明即可. 【详解】（1）在上单调递增， 当时，恒成立，在上单调递增，无极值点； 当时，令，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故此时极小值点为，无极大值点； 综上：当时，单调增区间为，无单调减区间，无极值点； 当时，单调增区间为，单调减区间为，极小值点为，无极大值点. （2）由（1）得，时，在上单调递增，不会有两个零点； 当时， 若有两个零点，则极小值， 解得. 当时，，则在单调递减， ，， 故在存在1个零点， 由指数函数与一次函数增长速度可知，当趋于正无穷时，趋于正无穷， 故在存在1个零点， 所以符合题意. （3）由（2）得， ，， 则成立. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04导数与不等式综合运用 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：近几年的高考中，命题形式多样，以选择题、填空题和解答题中，难度较大．经常与函数的单调性、极值、最值等结合考查. 预测2026年：预计 2026年在题型上不会有大的变动。内容上重点考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，进而解决不等式的恒成立、能成立问题；双变量问题、极值点偏移问题、不等式综合证明问题等. 考向01 不等式恒成立问题 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 1．（25-26高三上·北京·月考）已知函数 . (1)若在取极小值，且，求的值; (2)当 时，恒成立，求最大值； (3)是否可以与轴相切? 若可以，求间关系式； 若不可以，说明理由. 2．（25-26高三上·北京·月考）已知函数（） (1)讨论函数的单调性； (2)若直线为曲线的切线，求实数a的值； (3)当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值． 3．（25-26高三上·北京顺义·月考）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)设，证明：当时，； (3)若恒成立，求实数的值． 4．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，， (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)证明：在区间恒成立； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 考向02 不等式能成立问题 1、形如 f(x)≥g(x)有解问题的求解策略 (1)构造函数法:令F(x)=f(x)-g(x)，利用导数求得函数F(x)的单调性与最小值，只需F(x)max ≥0恒成立即可 (2)参数分离法:转化为a≥φ(x)或a≤φ(x)恒成立，即a≥φ(x) min或a≤φ(x)max 恒成立，只需利用导数求的函数φ(x)的单调性与最值即可 2、单变量不等式能成立问题转化 (1) x∈D, m≤f(x) m≤f(x)max (1) x∈D, m≥f(x) m≥f(x)min 1．（24-25高三下·北京·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：有最大值； (3)若对任意，都存在正整数，使得，写出的取值范围（结论不要求证明）． 2．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，求函数的单调区间； (3)若在区间上存在，使得成立，求的取值范围． 3．（23-24高三上·北京·月考）已知函数，． (1)若在点处的切线为，求实数的值； (2)设函数，求函数的单调区间与极值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围． 4．（22-23高三上·北京海淀·月考）已知函数 (1)判断函数零点的个数，并说明理由； (2)对任意的，存在，使求实数a的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：，有． 考向03 单变量不等式的证明 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 1．（25-26高三上·北京西城·月考）已知函数． (1)求的最小值； (2)求证：； (3)设，已知，求x的取值范围． 2．（25-26高三上·北京顺义·月考）已知. (1)令，求的最小值； (2)求证：当时，. 3．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，. (1)当时，若斜率为1的直线与曲线相切于点，求的坐标； (2)若直线分别交曲线和于不同的两点，，且存在最小值， （i）求证：； （ii）设为坐标原点，当取得最小值时，记的面积为.若，试比较与的大小.（结论不要求证明） 4．（25-26高三上·北京密云·月考）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时， （ⅰ）求的极值点； （ⅱ）设函数，证明：． 考向04 双变量不等式的证明 双变量问题，可尝试转化为一个变量构造函数，转化为恒成立或存在性问题.也可考虑利用函数的单调性直接分析求解等. 1．（25-26高三上·北京·月考）已知． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：． 2．（2023·北京·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：对任意，都存在，使得． 3．（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 4．（2025·北京东城·一模）设函数，曲线在处的切线方程为. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)已知，其中，直线的方程为.若，且，求证：. 考向05 和型不等式的证明 1.构造函数确定不等关系 2.放缩:观察和式各项特点，构造合适的函数，利用函数的单调性、最值等性质得到关于和式中每一项的不等式，通过放缩将和式转化为更易处理的形式。 1．（2024·北京·三模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：．（且） 2．（25-26高三上·北京·月考）已知. (1)曲线在点处的切线为直线，记的斜率为，比较与的大小； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 3．（22-23高三·北京·月考）设函数，. (1)若在处切线的倾斜角为，求； (2)若在单调递增，求的取值范围； (3)证明：对任意，. 考向06 极值点偏移之对称化构造 处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 1．（24-25高三上·北京·期中）已知，，e是自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 2．（2023·北京丰台·一模）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若函数有两个不相等的零点，． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 3．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)若，证明：． 4．（22-23高三上·北京房山·期中）已知函数 (1)求函数单调区间； (2)设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 考向07 极值点偏移之比值代换 极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 1．（2023·北京大兴·三模）设，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若函数有两个相异零点，，求证：. 2．（2023·北京通州·三模）已知函数 (1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值； (2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. (3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明. 3．（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数 (1)当时，求函数的单调性和极值. (2)若函数有两个正零点且， （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，不等式恒成立，求证：. 4．（24-25高三上·北京石景山·期末）设函数 . (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若存在两个极值点，证明：. （建议用时：60分钟） 1．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)判断1是否为函数的极值点，并说明理由． 2．（25-26高三上·北京西城·月考）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)设实数使得恒成立，求的取值范围； (3)设，求函数在区间上的零点个数. 3．（25-26高三上·北京·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的值． 4．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，（，且，，且）. (1)当时，曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 5．（25-26高三上·北京房山·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 6．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，在和处取得极值． (1)若，且，求的最大值； (2)设，若，且，证明：． 7．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，其中． (1)求函数的单调区间； (2)设函数在区间上的最大值和最小值分别为，求使得不等式成立的的最小值． 8．（25-26高三上·北京西城·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极小值，求的值； (3)若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围. 9．（25-26高三上·北京西城·期中）已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； (3)当时，若对任意，恒成立，记此时实数a的最大值为，求的解析式. 10．（25-26高三上·北京·月考）设函数． (1)求的单调区间与极值点； (2)若有两个零点，求的取值范围； (3)当时，设的两个零点分别为，证明：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $