1.3 第3课时 完全平方公式的认识-【学海风暴】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步备课（北师大版2024）

第3课时 完全 已课内基础闯关 -------------------------0 知识点①利用图形验证完全平方公式 1.如图，将图①中的阴影部分拼成图②，根据 两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证 的数学公式是 鬥 图① 图② 第1题图 A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.(a+b)2=(a-b)2+4ab 2.(2024萍乡校级月考)图①是一个长为2a、宽 为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称 轴)剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的 小长方形，然后按如图②所示的方式拼成一个 正方形，则中间空余的部分的面积是( 图① 图② 第2题图 A.ab B.(a+b)2 C.(a-b)2 D.a2-62 知识点②利用完全平方公式进行计算 3.下列计算中，正确的是 ( A.(-x-y)2=-x2-2xy-y B.(m+2n)2=m2+4n C.(-3.x+y)2=3x2-6xy+y2 n(x》广=r-号+品 4.若(x十m)2=x2+6x十9，则m的值为 A.6 B.9 C.3 D.±3 个16 七年级数学BS版 平方公式的认识 5.计算(2x+1)2-4x(x+1)的结果是() A.8x+1 B.1 C.4x-3 D.1-4x 6.(教材变式)利用完全平方公式计算： (+= (2)(-3.x-4y)2= (3)(ab-1)(-ab+1)= 7.若x2十4x十a2可以写成一个完全平方式，则 a= 8.计算： (1)(a+2)2-a2; (2)(2024吉安校级月考)(x-2)2十（x+ 1)(1-x); (3)(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2. 9.（2024陕西)先化简，再求值：(x+y)2+x(x -2y),其中x=1,y=-2. 已课外拓展提高 10.有下列计算：①(2x+y)2=4x2+y2;②(a 3b)2=a2-9b;③(-x-y)2=x2-2xy +:④(x2》=-x+子其中错误的 有 A.1个B.2个C.3个D.4个 11.若a2-2a-2=0,则(a-1)2的值为( A.1 B.2 C.3 D.4 12.小萌在利用完全平方公式计算一个二项整 式的平方时，得到正确结果4x2十20xy十 ■，不小心把最后一项染黑了.你认为这一 项是 () A.5y2B.10y2C.100y2D.25y2 l3.对于任意有理数a,b,现定义一种新运算：a ☆b=a2一b.根据这个定义，代数式(x+y) ☆y的运算结果为 () A.xy++y2 B.xy-y2 C.x2+2xy D.z2 14.若x=2是关于x的一元一次方程ax十b= 3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b 1的值是 15.(2024乐平期中)若a,b可以代表一个数或 一个代数式，定义新运算如下：aOb=(a十 b)2-(a-b)2. (1)化简：(2m)○(3n); (2)若(m+2)©(m-3)=4m2,求m的值. 色综合能力提升 -9 16.定义：对于依次排列的多项式x+a,x十b, x十c(a,b,c是常数)，当它们满足(x十b) 一(x十a)(x十c)=M,且M为常数时，称 a,b,c是一组“完美数”，M是该组“完美数” 的“完美因子”.例如：对于多项式x十1，x十 3,x+5,因为(x+3)2-(x十1)(x+5)=4, 所以1,3,5是一组“完美数”，4是该组“完 美数”的“完美因子” (1)已知2,4,6是一组“完美数”，求该组 “完美数”的“完美因子”M; (2)当a,b,c之间满足什么数量关系时，它 们是一组“完美数”？请说明理由. 知识要点归纳 1.完全平方公式：两数之和（或差）的平方，等于它 们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.公式： (a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b. 2.完全平方公式的验证：如图①，一个边长为a十b 的正方形，其面积等于(a十b)2,还等于一个边长 为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个 长为a、宽为b的长方形的面积之和，即S=S1十 S2+S3+S4,则(a+b)2=a2+ab+ab+b2=a2十 2ab+b2,所以(a+b)2=a2+2ab+b. 如图②，正方形ABCD的边长为a一b,其面积等 于(a一b)2.S正方形BCD=SE方形ABFG-S1一S2一S3= a2-b(a-b)-b(a-b)-b2=a2-ab+b2-ab+b2 -b2=a2-2ab+b2,所以(a-b)2=a2-2ab+b2. a-66 k ab D S S S2 S S3 图① 图② 下册第一章 17△3乘法公式 第1课时平方差公式的认识 1.D2.B3.D4.D5.C6D7.-}x+y 8.15变式题69.0，-1 10.1y-9r(2时8-元43)-6 11.解：(1)该同学的解答过程从第二步开始出错，错误的 原因是去括号时第二项没有变号. (2)原式=a2+2ab-(a2-b) =a2+2ab-a2+b2 =2ab+b2. 12.解：原式=2m-m2+2m+m2-9=4m-9. 当m=号时，原式=4×号-9=10-9=1. 13.D14.B15.18 16.解：3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1) =6a2+3a-(4a2-1) =6a2+3a-4a2+1 =2a2+3a+1. 因为2a2+3a-6=0,所以2a2+3a=6, 所以原式=2a2+3a+1=6+1=7. 17.解：原式=(3b+5a)(3b-5a)+(3a-b)(3a+b)+ (-3a+2b)(-3a-2b) =962-25a2+9a2-b+9a2-4b =-7a2+4b」 当a=76=-号时， 原式=-7×（宁）+4×(-2）=号+1=9 18.解：(1)92-7=81-49=32,32÷8=4. 故92一7的结果是8的4倍. (2)(2n+1)2-(21-1)2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n +1)-(2-1)]=(2n+1+21-1)(21+1-2n+1) =4n·2=8n. 故两个连续奇数的平方差是8的倍数， 19.解：原式=2×(3-1)3+1)(3+13+1)(3 +10 =2×(8-1D8+1D3+1D…(g*+1D-3 2 =×3-108+1(8+1-罗 31364 2-2-2 =-2 第2课时平方差公式的运用 1.C2.A3.B 4.解：(1)平方差公式 (2)原式=(10-1)×(10+1)×(100+1) =(102-1)×(100+1) =(100-1)×(100+1) =1002-1 =10000-1 =9999. 5.A变式题A6.(16a-81b)m 7.解：(1)a2-M (2)(a2-M0-(b2-M0=a2-b=(a+b)(a-b)=10 ×5=50. 故A比B多出的使用面积为50. 8.B9.2 10.解：(1)原式=(1000+1)(1000-1)-(1000+2)(1000 -2)+1=10002-1-10002+4+1=4. (2)原式=(100-1)(100+1)×10001=(100-1)× 10001=(10000-1)(10000+1)=100002-1= 99999999. 20242 20249 (3)原式-(2024-(2024+1D+12024-1+1=1. 1.解：菜地的面积是号(x十y)(y-x)·2= (y2-x2)m2.当x=20,y=30时，菜地的面积是302 -202=500(m). 12.解：(1)(a+b)(a-b)=a2-b (2)原式=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98 -97)+…+(4+3)×(4-3)+(2+1)×(2-1) =100+99+98+97+…+4+3+2+1 100×(100+1) 2 =5050. 第3课时完全平方公式的认识 1.B2.C3.D4.C5.B 6.(1)2+2xy+告y(2)92+24y+16y 、9 (3)-a2b+2ab-1 7.±2 8.解：(1)原式=a2+4a+4-a =4a+4. (2)原式=x2-4x+4+1-x2 =-4x+5. (3)原式=x2+2xy+y2-2x2+2y2+x2-2xy+y =4y2. 9.解：原式=x2+2xy+y+x2-2xy=2x2+y. 当x=1,y=-2时， 原式=2×12+(-2)2=6. 下册参考答案 163 10.C11.C12.D13.C14.14 15.解：(1)(2m)◎(3n)=(2m+3n)2-(2m-3n) =4m2+12mn十9n2-(4m2-12mn+9n2) =4m2+12mn+9n2-4m2+12mn-9n =24mn. (2)因为(m+2)○(m-3)=4m2, 所以(m+2+m-3)2-(m十2-m+3)2=4m2, 所以(2m-1)2-52=4m2, 整理，得-4m=24,所以m=一6. 16.解：(1)根据题意，得M=(x+4)2一(x十2)(x十6)= x2+8x+16-(x2+8x+12)=4. (2)当2b一a一c=0时，它们是一组“完美数”. 理由：假设a,b,c是一组“完美数”， 则(x+b)2一(x十a)(x十c)结果为常数. 因为(x+b)2-(x+a)(x+c)=x2+2bx+b-[x2+ (a+c)x+ac] =(2b-a-c)x+b2一ac,所以2b-a-c=0. 第4课时完全平方公式的运用 1.B2.3变式题-1.53.12xy 4.解：(1)原式=(500-1)2=5002-2×500×1+1= 249001. (2)原式=(30+)°=80+2×30×+(3)° 900+30+ 1 4=930 41 (3)原式=(a+3)2(a-3)2=(a2-9)2=a-18a +81. 5.A6.47.9 8.解：绿化面积=(3a+b)(2a+b)-(a+b)2=5a+3ab. 当a=3,b=2时，绿化面积=5×32+3×3×2=63. 9.D10.C 11.16 变式题解：如图所示，因为a十b=10, 所以(a十b)2=a2+b+2ab=100. 因为ab=12,所以a2+b+24=100, 即a2+b2=76, 则两个正方形的面积之和为76， 所以S阴影=S正方形ACD十SE方形CGEF一S三角形，AD一S三角形E =a+6-d-号(a+6)=(a2+6-ab)= ×(76-12)=32 12.(解：(1)因为(x+y)2=x2+2xy十y2, 所以2xy=(x+y)2-(x2+y2)=62-22=14, 所以ry=7. (2)(x-y)2-4=x2-2xy+y2-4 =22-2×7-4 =4. 164 七年级数学BS版 13.解：(1)2a十b=±9. (2)(20-x)2+(x-30)2=80. 应用技巧专题乘法公式的灵活运用 1.解：原式=(4y+3x)(4y-3x) =16y2-9x2. 2.解：原式=[(a+2b)(a-2b)]=(a2-4b2)2=a 8a2b+16b. 3.解：1原式-[-(2a+6)]°-(a+2b)-4+ 2a6+子. (2)原式=(3a-5b)[-(3a-5b)]=-(3a-5b)2= -(9a2-30ab+25b)=-9a2+30ab-25b2」 4.解：(1)原式=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)] =a2-(2b-3c)2 =a2-(4b-12bc+9c2) =a2-4b2+12bc-9c2. (2)原式=(2a-4b)2+10c(2a-4b)+25c =4a2-16ab+16b2+20ac-40bc+25c2. (3)原式=[(m2+n)十mm]-[(m2+n2)-mn] =4(m2+n2)mn =4m3n+4mn3. 5.解：因为x-y=9,xy=3, 所以x2+y2=(x-y)2+2xy=81+6=87. 6.解：(1)原式=5002-(500-1)×(500+1) =5002-(5002-1) =5002-5002+1 =1. (2)原式=(1000+5)×(1000-5)一(1000一2)2= 10002-52-10002+2×2×1000-22=-25+4000 -4=3971. 7.解：原式=(a2-b)(a2+b)(a+b)(a8+b)=(a b)(a+b)(a8+b)=(a8-b)(a8+b)=a6-b6. 4整式的除法 1.B2.B3.C4.1)-5xy2(2)号x5.4a6 6.解：(1)原式=8x5y2·(-7xy)÷14.xy =-56x2y÷14xy =-4x3y2. (2)原式=x2y·9xy2+(-x5y)÷x =9x'y-x'y =8x4y3. 7.A8.B9.(1)4a2-2a(2)2b-6a 10.2a-3b+111.① 12.解：1)原式=是÷了ab叶(-3a)÷子b =6-9.