专题02 平方差与完全平方公式（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材北师大版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02平方差与完全平方公式 题型归纳·内容导航 题型1判断是否乘法公式运算 题型6通过对完全平方公式变形求值 题型2求完全平方式中的字母系数 题型7平方差公式在几何图形中的应用（重点） 题型3平方差与完全平方综合进行运算（重点） 题型8完全平方公式在几何图形中的应用（重点） 题型4利用乘法公式进行简便运算 题型9利用完全平方式求代数式的最值问题（重点） 题型5与乘法公式有关的化简求值问题（常考点） 题型通关·靶向提分 题型一判断是香乘法公式运算（共5小题） 1.(24-25七年级下广东佛山期中)下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是() A.(2a+b)(2a-3b B.（(x+1)(1+x) C.(x-2y)(x+2y D. （-x-y(x+y) 2.(25-26七年级下·全国·期中)下列多项式的乘法可用平方差公式计算的是() A.（2a-b)-2a+b B.(1+x)(x+1) c.-2a+b)(-2a-b) D.(m-a(n+a) 3.(25-26八年级上湖北襄阳·期中)下列各式计算正确的是() A.(2x-3)-2x-3)=4x2-9 B.（-x+3=x2+9 C.x+3)x-3)=-x2+6x-9 D.（-x-3)2=x2-6x+9 4.(24-25七年级下山东菏泽期中)下列各式中，可以用乘法公式计算的是() A.（a+2b(2a+b B.(a-2b(-a+2b) C.(a-2b)(b+2a) D.（a+2b(2a-b 5.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中)下列计算结果正确的是() A.（3a-2b)(2b+3a=-9a2-4b2 B.（4x+3yj4x-3y=12x2-12y2 1/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.2x-3y)(2x+3y）=4x2-9y2 D.（-2x+3)(2x-3)=4x2-9 题型二求完全平方式中的字母系数（共5小题） 6.(25-26八年级上四川巴中期中)己知x2+8x+k是一个完全平方式，则k的值为. 7.(25-26八年级上辽宁盘锦·期中)若4y2-my+9可以配成一个完全平方式，则m的值为 8.(25-26八年级上福建福州期中)若x2-2(m-1)x+25是完全平方式，则m= 9.(25-26七年级上·上海金山期中)已知9x2+2(k+1)x+1是完全平方式，那么k的值为 10.(25-26八年级上全国期中)已知N是含字母x的单项式，要使多项式x2+N+16是某一个多项式的 平方，则N是 题型三平方差与完全平方综合进行运算（共5小题） 11.(25-26七年级上上海期中)计算：(2a-1+3b)(1+2a-3b). 12.(25-26八年级上北京期中)计算：(2a+b-c)2. 13.(25-26七年级上·上海期中)计算： (1)3x+2)3x-2)9x2+4. (2)x+2y-3zx-2y-3z. 14.(25-26八年级上·重庆璧山期中)计算： (10-2x2y）(xy (2)(a+2b-c(a-2b-c 15.(25-26八年级上江苏南通期中)计算： (1)a-2b+c2: (2)a+b-2c)(a-b-2c; (3(x-2y)'(x+2y) 题型四利用乘法公式进行简便运算（共5小题） 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.(25-26七年级上·上海金山期中)用简便方法计算：20252-2026×2024. 25-26七年级上上海期中)用简便方法计算：×4.164 18.(24-25八年级上吉林长春·期中)计算： (1)20132-2014×2012; (2)97. 19.(25-26八年级上·福建福州·期中)运用乘法公式进行简便计算. (1)1012 (2)664×668-6662 20.(25-26八年级上·湖南邵阳·期中)用简便方法计算. (1)17×0.15+37×0.15+46×0.15; (2)182-36×118+1182. 题型五与乘法公式有关的化简求值问题（共5小题） 21.(25-26八年级上重庆潼南·期中)先化简，再求值 [2xx-4列+(2x-2x-川-y]-3x刘，其中x=-2,y=2 2.(25-26八年级上湖北武汉期中)先化简，再求值：(eb-2ab-56)÷b-(口+8a-,其申a=月 ,b=1. 23.(25,26八年级上云南昆明期中)先化简，再求值：3a-4+(3a+3ab)片(b,其中a=2。 24.(25-26八年级上广西南宁期中)先化简，再求值：[3y(x-y)+(x+y(3x-y)+4y2]÷x,其中 x=-2,y=4. 25.(25-26八年级上重庆期中)先化简，再求值：「(2m-n)2+(m+n)(-3m+10n)-11n2÷3m,其中m, n满足m+3n=7(m≠0). 题型六通过对完全平方公式变形求值（共5小题） 26.(25-26八年级上·甘肃天水·期中)己知x+y=1,y=-12,求下列代数式的值： 3/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)x2+y2 (2)x-y 27.(25-26七年级上上海普陀期中)已知ab=2,a+b=5,求： (1)(a-b)2; (2a2-1(b2-1 28.(25-26八年级上四川巴中.期中)已知a+b=6,ab=7,求下列式子的值： (1)7a+7b-2ab (2)a2+b 29.(25-26七年级上·上海期中)已知m+n=5,mn=-3, (1)求(m-2)(n-2)的值 (2)求(m-n)2 30.(25-26七年级上上海崇明期中)已知a+b=5,b=,求下列式子的值： 2 1)a2+b2: (2a-b)2: (3)a+b4. 题型七平方差公式在几何图形中的应用（共5小题） 31.(24-25八年级上·全国期中)如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b), 把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形. b a ()通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (2)利用上述乘法公式计算：1002-98×102； 32.(24-25七年级下·内蒙古包头期中)从边长为Q的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1)，然 后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）· 4/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Kb 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是 (2)应用你(1)中得出的等式，完成下列各题： ①已知x2-4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值. ②计算：(2+1)×22+1×24+1×28+1×26+1 33.(24-25七年级下·广东河源·期中)从边长为Q的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后 将剩余部分拼成一个长方形（如图2）· a 1 b 图1 图2 (①)上述操作能验证的等式是 (填字母)· A.a2-2ab+b2=(a-b)2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.a2+ab=a(a+b) (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知x2-4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值； ②计算： 0---0〔02： ③计算： ++品 34. (24-25七年级下陕西汉中.期中)如图1，在边长为a的正方形中作一个边长为b(a>b)的正方形， 则余下的阴影部分面积等于一个以(a+b)为长、(a-b)为宽的长方形面积，如图2. [探究] 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)请列式表示：根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式- [应用] (2)根据(1)中的公式解决如下问题： ①4a2-b2=6,-b+2a=3,则b+2a=_ ②计算：(3+1(32+1(3+1(38+1(324+1. 6 a+b a-b a 图1 图2 35.(24-25七年级下·湖南株洲期中)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1 中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）· a a Cb 图1 图2 图3 (①)上述操作能验证的乘法公式是 :(用含a,b的式子来表示) (2)根据(1)中的乘法公式解决问题：己知a+b=7,a2-b2=28,求a-b+1的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中B,C,G三点在同一条直线上，若a+b=20,ab=80, 求阴影部分的面积， 题型八完全平方公式在几何图形中的应用（共5小题） 36.（25-26八年级上·广东东莞·期中)如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块 小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形. 图1 图2 6/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)图2的阴影部分的正方形的边长是 (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积.【方法1】S阴影=一；【方法2】S阴影=； (3)观察如图2，直接写出(a+b)2,(a-b)2,ab这三个代数式之间的等量关系。 (④根据(3)题中的等量关系，解决问题： 若x+y=10,y=16.求x-y的值. 37.(25-26八年级上广东东莞期中)若x满足(7-x)(x-2)=6,求(7-x)2+(x-2)的值. 解：设7-x=a,x-2=b,则(7-x)(x-2)=ab=6,a+b=(7-x)+(x-2)=5 .(7-x)2+(x-2)2=a2+b2=(a+b2-2ab=52-2×6=13. 请仿照上面的方法解答下列各题。 E ò (1)已知x-5)(8-x=3,求(x-5)+(8-x)的值； (2)若y满足y-2024)(y-2025)=49,求(y-2024)2+(y-2025)的值； (3)如图，在长方形ABCD中，AB=20,BC=12,点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x,分别以 FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN,若长方形CEPF的面积为16O,求图 中阴影部分的面积和. 38.(25-26八年级上海南海口·期中)数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，我国著名 的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使 代数问题与几何问题相互转化.例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个 数学恒等式 7/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -m- D n m m m m m S n B C 图-1 图-2 图-3 (1)如图-1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图-2的形状 拼成一个正方形.请根据图-2中阴影部分的面积，写出下列三个代数式(m+n2,(m-n2,m之间的等量 关系式： (2)已知x+y=6,y=4,求下列各式的值： ①x2+y2；②(x-y)2: (3)如图-3，边长为5的正方形ABCD中放置两个长为m、宽为的长方形（其中m<5,n<5),且每个长 方形的周长是12，面积是8，则图中阴影部分的面积S,+S2+S,= 39.(25-26八年级上山东东营期中)材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以 得到一个数学等式，如图1，可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2. 材料二：已知a+b=-4,ab=3,求a2+b2的值 解：：a+b=-4,ab=3,.a2+b2=(a+b)2-2ab=(-4)2-2×3=10. 请你根据上述信息解答下面问题： a b 6 b 图1 图2 图3 图4 (1)写出图2中所表示的数学等式 (2)根据图4，分解因式：a2+3ab+2b2= (3)已知(2025-a)(2024-a)=1026,求(2024-a)2+(2025-a)2的值. (4如图3，在长方形ABCD中，AB=10,BC=6,点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x,分别以FC 、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN,若长方形CEPF的面积为40，则图中阴影部分 的面积. 8/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 40.(25-26八年级上·重庆期中)综合与实践 【主题】借助图形直观，感受数与形之间的关系. b b A类 B类 C类 图1 图2 图3 【实践操作】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其 中纸片A是边长为的较小正方形纸片，纸片B是宽为Q、长为b的长方形纸片，纸片C是边长为b的较大 正方形纸片 (1)小育同学用图1中x张纸片A,y张纸片B,z张纸片C拼出一个面积为2a+b)(a+b)的长方形，则 x-y+2= (2)观察图2的面积关系，写出正确的等式 根据得到的代数恒等式，完成填空：若a+b+c=14,a2+b2+c2=56,则ab+bc+ac=; 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换来得到一些代数恒等式. 通过不同的方法表示同一个正方体的体积，如图3，棱长为a+b的正方体被分割成8块.则有(a+b)= 【拓展延伸】 (3)已知a+b=5,a2+b2=15,请运用探索得到的规律求出ab+ab4的值. 题型九利用完全平方式求代数式的最值问题（共5小题） 41.(25-26八年级上·四川广安期中)阅读下面的解答过程： 求y2+4y+8的最小值. 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)+4. 因为(y+2)≥0，即(y+2)的最小值是0， 所以y2+4y+8的最小值是4. 仿照上面的解答过程，求m2-2m+4的最小值和-x2+4x-6的最大值. 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 42.(25-26八年级上河南南阳·月考)上数学课时，王老师在讲了完全平方公式的多种运用后，要求同学 们运用所学知识求代数式x2+6x+5的最小值.同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+6x+5=x2+6x+9-4=(x+3)2-4 :(x+3)2≥0， (x+3)2-4≥-4， :当(x+3)=0时，(x+3)2-4的值最小，最小值是-4， ∴.x2+6x+5的最小值是-4. 请你根据上述方法，解答下列各题： 【知识再现】(1)求当x为何值时，代数式x2-6x+10有最小值，最小值是多少； 【知识运用】 (2)若y=-x2+2x-2,当x=时，y有最值（填“大”或“小”），这个值是 【知识拓展】(3)若-x2+3x+y+4=0,直接写出y+x的最小值. 43.(24-25八年级上·福建漳州期中)在学习乘法公式(a±b)=a2±2ab+b2的运用时，我们常利用完全 平方公式求最大值或最小值.例如：求代数式x2+4x+5的最小值？总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+22+1, :(x+22≥0， .当x=-2时，(x+2)的值最小，最小值是0， (x+22+1≥1， “当x=-2时，（x+2)2+1的值最小，最小值是1， .x2+4x+5的最小值是1. 根据阅读材料利用完全平方公式解决下列问题： (1)求代数式x2+2x+2的最小值： (2)求代数式-x2+6x-4的最大值： (3)当a,b为何值时，多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+27有最小值，并求出这个最小值. 44.(24-25八年级上·山东日照·期中)先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式 10/12专题02平方差与完全平方公式 题型1 判断是否乘法公式运算 题型6 通过对完全平方公式变形求值 题型2 求完全平方式中的字母系数 题型7 平方差公式在几何图形中的应用（重点） 题型3 平方差与完全平方综合进行运算（重点） 题型8 完全平方公式在几何图形中的应用（重点） 题型4 利用乘法公式进行简便运算 题型9 利用完全平方式求代数式的最值问题（重点） 题型5 与乘法公式有关的化简求值问题（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断是否乘法公式运算（共5小题） 1．（24-25七年级下·广东佛山·期中）下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的结构特征，只需判断两个二项式中是否存在一项完全相同，另一项互为相反数，符合特征即可用平方差公式计算． 【详解】解：A选项，中，与不互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算； B选项，，两项都完全相同，不符合要求，不能用平方差公式计算； C选项，中，完全相同，与互为相反数，符合平方差公式的要求，可以用平方差公式计算； D选项，，两项都完全相同，不符合要求，不能用平方差公式计算； 2．（25-26七年级下·全国·期中）下列多项式的乘法可用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C、能用平方差公式计算，故本选项符合题意； D、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：C 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的乘法运算，包括平方差公式和完全平方公式，通过直接计算每个选项，验证其正确性． 【详解】解：A：∵，∴ A错误； B：∵，∴B错误； C：∵，∴C正确； D：∵，∴D错误． 故选：C． 4．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括完全平方公式和平方差公式．通过观察各选项的形式，判断是否可以直接应用公式． 【详解】A. 不符合乘法公式的形式； B. ，可以用完全平方公式； C. 不符合乘法公式的形式； D. 不符合乘法公式的形式． 故选：B． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．主要利用平方差公式 和完全平方公式进行验证即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，与原式一致，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 题型二 求完全平方式中的字母系数（共5小题） 6．（25-26八年级上·四川巴中·期中）已知是一个完全平方式，则的值为____． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方式公式，掌握完全平方式是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特征，比较系数求解即可． 【详解】∵是一个完全平方式， 假设其完全平方式为， 则 则，解得，所以， 故答案为：16． 7．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）若可以配成一个完全平方式，则m的值为___________ 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 将表达式与完全平方式比较，确定a和b的值，再根据中间项系数相等求解m． 【详解】解：， 可以配成一个完全平方式， ， 解得． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·福建福州·期中）若是完全平方式，则________． 【答案】或6 【分析】本题考查完全平方式，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据完全平方式的结构，常数项是5的平方，因此一次项系数应为，从而建立关于m的方程求解． 【详解】解：由于是完全平方式， 即， ∴， 当时， ， ； 当时， ， ． 故答案为：或． 9．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知是完全平方式，那么k的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构，平方项系数为9和常数项为1，可得中间项系数应为，从而求出的值，熟练掌握完全平方式的结构是解此题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式，且，， ∴，即或， 解得：或， 故答案为：2或． 10．（25-26八年级上·全国·期中）已知N是含字母x的单项式，要使多项式是某一个多项式的平方，则N 是_________． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征．利用完全平方公式的结构特征可得多项式是某一多项式的平方，需考虑作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：①当为中间项时，多项式为 ，故； ②当为平方项时，设多项式为 ， 与比较，得， 所以； 又，所以， 代入，得， 即 ，解得 ， 于是 ， 所以N 是：或， 故答案为：或． 题型三 平方差与完全平方综合进行运算（共5小题） 11．（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，平方差公式． 通过观察表达式，将原式变形为平方差公式的形式，然后计算． 【详解】解： ． 12．（25-26八年级上·北京·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，能正确根据完全平方公式进行计算是解此题的关键． 【详解】解：原式 . 13．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）运用平方差公式运算即可； （2）运用平方差公式先化简，再利用完全平方公式运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（25-26八年级上·重庆璧山·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，单项式的乘法，多项式的乘法． （1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （2）先根据平方差公式进行计算，再计算完全平方公式和积的乘方即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（25-26八年级上·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式计算即可； （3）先逆用积的乘方计算，根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 题型四 利用乘法公式进行简便运算（共5小题） 16．（25-26七年级上·上海金山·期中）用简便方法计算：． 【答案】1 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征计算即可． 【详解】解： 17．（25-26七年级上·上海·期中）用简便方法计算： 【答案】 3.16 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是根据积的乘方逆用将原式变形为． 【详解】解： ． 18．（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变形为，再利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）将变形为，再利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（25-26八年级上·福建福州·期中）运用乘法公式进行简便计算． (1) (2) 【答案】(1)10201 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先将原式化为，再运用完全平方公式进行计算，即可作答． （2）先将原式化为，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 20．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）用简便方法计算． (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察式子，再运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． （2）结合完全平方公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型五 与乘法公式有关的化简求值问题（共5小题） 21．（25-26八年级上·重庆潼南·期中）先化简，再求值 ，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键，根据整式的混合运算将式子化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 22．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． 首先根据多项式除以单项式法则、平方差公式进行运算，然后去括号，合并同类项即可完成化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 23．（25-26八年级上·云南昆明·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的运算法则． 先对整式进行化简，然后代数求值即可． 【详解】解： ， 将，代入上式得， 原式． 24．（25-26八年级上·广西南宁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，14 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，需要先展开括号内的表达式，合并同类项，然后除以 x 进行化简，最后代入数值计算． 【详解】解： ， 代入 ， 原式． 25．（25-26八年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中m，n满足（）． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．先化简表达式，利用完全平方公式和多项式乘法展开，合并同类项后约分，得到简化形式 ，再代入已知条件 求值． 【详解】解：原式 ∵ ∴ 原式 题型六 通过对完全平方公式变形求值（共5小题） 26．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据进行计算的值即可； （2）根据结合（1），进行计算的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，即， 则； （2）解：由（1）知，， 则，即， 因此． 27．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算－化简求值，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用多项式乘多项式的法则，完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：，， ； （2）解∶ ，， ， 28．（25-26八年级上·四川巴中·期中）已知，求下列式子的值： (1) (2) 【答案】(1)28 (2)22 【分析】本题考查代数式求值，利用完全平方公式变形计算，熟练掌握整体代入法，完全平方公式是解题的关键： （1）整体代入法进行计算即可； （2）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴． 29．（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 30．（25-26七年级上·上海崇明·期中）已知，求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了用完全平方公式变形求代数式的值． 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值； 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值； 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当时， 原式 ； （3）解： ， 当时， 原式 ． 题型七 平方差公式在几何图形中的应用（共5小题） 31．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． ​ (1)通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______________； (2)利用上述乘法公式计算：； 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查乘法公式的探究，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）计算两个图形的面积，利用面积相等得到等式，从而得到公式． （2）利用乘法公式拆分平方差计算，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵两个图形的面积相等，右侧等腰梯形的高为大小正方形边长之差， ∴左侧图形面积为大小正方形面积之差，即； 右侧等腰梯形面积为， ∴． （2）解： ． 32．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）①利用平方差公式得，再代入计算即可； ②将原式化为，再连续利用平方差公式即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 33．（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 34．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图1，在边长为a的正方形中作一个边长为b（）的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图2． [探究] （1）请列式表示：根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式 [应用] （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①，则 ②计算：． 【答案】（1）；（2）①2；② 【分析】本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，解题的关键是数形结合思想的运用及熟练掌握平方差公式． （1）图①中阴影部分的面积是两个正方形面积的差，图②中阴影部分的面积是长为，宽为的长方形面积；易得两图的阴影部分面积相等，即可列出式子； （2）①根据（1）的公式，代入数值计算，即可作答；②各项都应用公式计算即可抵消，得到结果． 【详解】解：（1）依题意，在图①中， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 在图②中， ∵阴影部分为长方形，长为，宽为 ， ∴阴影部分的面积为； ∵两图的阴影部分面积相等， ∴可以得到乘法公式； （2）①∵，， 又， ∴， ∴； ② ． 35．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的乘法公式是________；（用含a，b的式子来表示） (2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)或 (2)5 (3)120 【分析】（1）用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）根据（1）的结论，代入数值进行计算，即可作答． （3）延长，交于一点E，则，再代入，，进行计算即可． 本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， 且， ∴ ． （3）解：如图3，延长，交于一点E， ∵四边形是正方形， ∴ ，， . 题型八 完全平方公式在几何图形中的应用（共5小题） 36．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是_____． (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．【方法1】_____；【方法2】_____； (3)观察如图2，直接写出这三个代数式之间的等量关系． (4)根据（3）题中的等量关系，解决问题： 若．求的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)； (4)x-y=±6 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景及应用，熟练掌握完全平方公式的变形、利用图形面积推导代数关系是解题的关键． （1）通过观察图2，结合图1中小长方形的长和宽，确定阴影正方形的边长． （2）方法1：直接根据阴影正方形的边长求面积；方法2：用大正方形面积减去四个小长方形的面积． （3）结合（2）中两种方法表示的阴影面积，推导三个代数式的等量关系． （4）利用（3）中的等量关系，代入已知条件计算的值． 【详解】（1）解：图2中阴影正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：方法1：， 方法2：大正方形边长为，面积为，四个小长方形面积和为， ∴， 故答案为：；； （3）解：∵ 方法1和方法2表示的是同一阴影面积，方法1：，方法2：， ∴ ； （4）解：∵，，， ∴， ， ， ∴ 37．（25-26八年级上·广东东莞·期中）若x满足，求的值． 解：设，则， ． 请仿照上面的方法解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)若y满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点E、F是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1)3 (2)99 (3)384 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方公式是解题的关键。 （1）设，，根据题意可得，再根据计算求解即可； （2）设，根据题意得，，再根据计算求解即可； （3）由题意得，，设，则，，图中阴影部分的面积和，据此求解即可。 【详解】（1）解：设，， ， ， ， ； （2）解：设， ， ， ， ∴ ； （3）解：由题意得：， 设， ， ∵长方形的面积为160， ， ， ∴图中阴影部分的面积和 。 38．（25-26八年级上·海南海口·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)如图-1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图-2的形状拼成一个正方形．请根据图-2中阴影部分的面积，写出下列三个代数式，，之间的等量关系式：___________； (2)已知，，求下列各式的值： ①；    ②； (3)如图-3，边长为5的正方形中放置两个长为、宽为的长方形（其中，），且每个长方形的周长是12，面积是8，则图中阴影部分的面积___________． 【答案】(1) (2)28，20 (3)11 【分析】本题考查完全平方公式和几何图形面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用正方形的面积公式和分割法求面积，两种方法表示出阴影部分的面积即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）由题意可知，，则，结合已知条件求解即可． 【详解】（1）阴影部分是边长为的正方形，面积为． 阴影部分的面积也可表示为大正方形面积四个小长方形面积， 即， ∴等量关系为； 故答案为：； （2）∵， ∴①， ②； （3）解：一个长方形的周长为，面积为8， ，， ， ． 故答案为：11． 39．（25-26八年级上·山东东营·期中）材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到． 材料二：已知，求的值． 解：． 请你根据上述信息解答下面问题： (1)写出图2中所表示的数学等式____________． (2)根据图4，分解因式：____________． (3)已知，求的值． (4)如图，在长方形中，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】解题思路是通过“几何面积的两种表示方法”推导代数公式，结合“换元法”和“完全平方公式变形”求解代数式或图形面积，核心是利用“几何与代数的对应关系”和“公式变形技巧”． 【详解】（1）图2是边长为的正方形，面积为；同时可拆分为个小图形的面积和（、、各个，、、各个），即．因此等式为： （2）图4是长为、宽为的长方形，面积为； 同时该长方形面积可拆分为（1个、3个、2个）． 因此：． （3）设，，则，． 根据完全平方公式变形：． （4）由题意：，， 设，，则，且长方形的面积． 阴影部分是两个正方形的面积和（）， 根据完全平方公式：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义与代数变形，涉及知识点包括完全平方公式、因式分解、代数式求值．解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形（如），并准确将几何图形的边长、面积与代数表达式对应． 40．（25-26八年级上·重庆·期中）综合与实践 【主题】借助图形直观，感受数与形之间的关系． 【实践操作】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片是边长为的较小正方形纸片，纸片是宽为、长为的长方形纸片，纸片是边长为的较大正方形纸片． （1）小育同学用图1中张纸片，张纸片，张纸片拼出一个面积为的长方形，则______； （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式________________________； 根据得到的代数恒等式，完成填空：若，，则______； 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换来得到一些代数恒等式． 通过不同的方法表示同一个正方体的体积，如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________________________________________． 【拓展延伸】 （3）已知，，请运用探索得到的规律求出的值． 【答案】（1）0；（2），70，；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式、立方和公式的几何背景及因式分解的应用，熟练掌握代数恒等式的几何意义和公式变形是解题的关键． （1）先将展开，再根据三种纸片的面积确定、、的值，最后计算． （2）先根据图2的面积关系得出代数恒等式，再利用恒等式结合已知条件计算．知识迁移：根据图3正方体的分割，用不同部分的体积和表示正方体体积，得出代数恒等式． （3）先根据已知条件求出的值，再将因式分解，结合前面的结果计算． 【详解】（1） ∵纸片面积为，纸片面积为，纸片面积为， ∴，，． ∴， 故答案为：． （2）图2大正方形面积为，也可表示为， ∴等式为． ∵，， ∴ ， ， ， 故答案依次为：；． 知识迁移：， 故答案为：． （3）解：，， ， ， 原式． 题型九 利用完全平方式求代数式的最值问题（共5小题） 41．（25-26八年级上·四川广安·期中）阅读下面的解答过程： 求的最小值． 解：． 因为，即的最小值是0， 所以的最小值是4． 仿照上面的解答过程，求的最小值和的最大值． 【答案】最小值是3，最大值是 【分析】本题考查了完全平方公式与非负数的性质，多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出答案． 【详解】解：． 因为，即的最小值是0， 所以的最小值是3． ． 因为，即的最大值是0， 所以的最大值是． 42．（25-26八年级上·河南南阳·月考）上数学课时，王老师在讲了完全平方公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ∵， ， 当时，的值最小，最小值是−4， 的最小值是−4． 请你根据上述方法，解答下列各题： 【知识再现】（1）求当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少； 【知识运用】 （2）若，当_____时，有最_____值（填“大”或“小”），这个值是_____； 【知识拓展】（3）若，直接写出的最小值． 【答案】（1）当时，代数式的最小值是1； （2）1；大；； （3） 【分析】本题考查了利用配方法（完全平方公式）求解代数式的最值，解题的关键是将代数式通过配方转化为“平方项常数”的形式，再根据平方项的非负性（）判断代数式的最大值或最小值． （1）对代数式进行配方，补全完全平方项，转化为；利用平方项，确定当平方项为0时，代数式取得最小值，同时求出对应的值． （2）对配方，注意二次项系数为负，转化为；由平方项非负可知，即是代数式有最大值，再代入计算具体值． （3）从方程中整理出的表达式，代入得到新代数式；对新代数式配方，根据平方项非负性求最小值． 【详解】（1）解： ∵， ∴当，即时，代数式取得最小值； 最小值为． 答：当时，代数式的最小值是1； （2）解： ∵， ∴，； ∴当，即时，有最大值，最大值 故答案为：1，大；； （3）解：由，得； 则 ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 43．（24-25八年级上·福建漳州·期中）在学习乘法公式的运用时，我们常利用完全平方公式求最大值或最小值．例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料利用完全平方公式解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)1 (2)5 (3)当时，最小值是17 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，正确掌握公式的结构特点是解题的关键． （1）先整理，因为，则，即可作答． （2）先整理，因为，所以，即可作答． （3）先整理，因为，所以，即可作答． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时的最小值是1； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的最大值是5； （3）解： ∵， ∴， ∴当时，的最小值是17． 44．（24-25八年级上·山东日照·期中）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式及的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，当时，的值最小，最小值是0，   当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）当_____时，代数式有最小值；最小值是________________； 又如探求多项式的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式，因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是-22． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求： （2）多项式的最小值是多少，并写出对应的的取值． （3）多项式的最大值是多少，并写出对应的的取值． 【答案】（1）3，1；（2）当时，原多项式的最小值是15（3）时，原多项式的最大值是4 【分析】本题考查配方法、非负数的性质，能够类比题中的例子运用配方法将多项式变形，同时利用平方的非负性确定最大值或最小值，是解题的关键． （1）用配方法把多项式变形成，然后利用是非负数，从而得出原多项式的最小值及对应的取值． （2）先把变形为，然后利用是非负数，从而得出原多项式的最小值及对应的取值． （3）先把变形为，然后利用是非负数，从而得出原多项式的最大值及对应的取值． 【详解】解：（1）， ，当时，的值最小，最小值是0， ，当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1， 故答案为：3，1； （2）原式， 因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是15； （3）原式， 因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最大值是，所以当时，原多项式的最大值是4． 45．（25-26九年级上·四川达州·期中）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． 原式：． 可知当时有最小值是． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)当______时代数式有最小值是______； (2)当m、n满足什么条件时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)在长方形中，，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接、、．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)3；5； (2)当时，多项式有最小值是21； (3)，当时，S有最小值，最小值是4． 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方式的特征是解题关键． （1）仿照例题，运用“配方法”求解即可； （2）仿照例题，运用“配方法”求解即可； （3）由题意可知，，，，进而得出，，再根据列式，然后利用“配方法”求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即当时代数式有最小值是， 故答案为：3；5； （2）解： ， ， ， 当时，多项式有最小值是21； （3）解：由题意可知，，，， 在长方形中，，， ，，， ，， ， ， ， ， 当时，S有最小值，最小值是4． $