重难点05 双曲线及其标准方程8考点（期末真题汇编，广东专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

重难点05 双曲线及其标准方程 8大高频考点概览 考点01 双曲线的标准方程 考点02 双曲线的几何特征 考点03求双曲线的渐近线方程 考点04求双曲线的离心率 考点05直线与双曲线的位置关系及公共点个数 考点06双曲线的弦长问题 考点07直线与双曲线的综合 考点08双曲线的定点及定值问题 地 城 考点01 双曲线的标准方程 1．（多选）（2024秋•东莞市期末）已知方程：（m﹣1）x2+（5﹣m）y2＝（m﹣1）（5﹣m）（其中m为参数），下列正确的有（　　） A．若m＝1，则方程表示y轴 B．若m＝3，则方程表示圆 C．若m＜1，则方程表示椭圆 D．若m＞5，则方程表示双曲线 2．（2024秋•深圳期末）与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（　　） A． B． C．1 D． 3．（2024秋•揭阳期末）已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•深圳校级期末）已知抛物线y2＝4x的焦点F是双曲线1的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点．若△ABF是等边三角形，则双曲线的方程为（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 地 城 考点02 双曲线的几何特征 5．（2024秋•龙岗区校级期末）已知双曲线C，则下列选项中不正确的是（　　） A．C的焦点坐标为（±4，0） B．C的顶点坐标为（0，±3） C．C的离心率为 D．C的虚轴长为 6．（2025春•汕头期末）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　　） A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，﹣4） 7．（2025春•龙岗区校级期末）已知F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|＝48．则△F1PF2的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D．8 8．（2024秋•新会区校级期末）如果双曲线1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是　　 ． 9．（2024秋•天河区期末）已知双曲线的两个焦点分别为F1与F2，M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，则|MF2|＝　　 ． 10．（2024秋•宝安区期末）已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点F1，F2，点P为它们在第一象限的交点，动点Q在曲线C1上，若记曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，满足e1•e2＝1，且直线PF1与y轴的交点的坐标为，则∠F1QF2的最大值为（　　） A． B． C． D． 地 城 考点03 求双曲线的渐近线方程 11．（2024秋•潮阳区期末）在平面直角坐标系中，双曲线的两条渐近线的夹角大小为（　　） A． B． C． D． 12．（2024秋•罗湖区校级期末）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线的倾斜角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 13．（2024秋•广州期末）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0），给定的四点P1（4，﹣3），P2（3，4），P3（﹣4，3），P4（﹣2，0）中恰有三个点在双曲线C上，则该双曲线C的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 14．（2024秋•天河区期末）过双曲线1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线l，垂足为点A，直线l与另一条渐近线相交于点B，若A是线段FB的中点，则双曲线的渐近线为（　　） A．y＝±2x B． C． D． 15．（2024秋•广州期末）双曲线具有如下的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点P，Q，且，，则C的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 16．（2024秋•汕头期末）已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切于点M，若|MF1|＝3|OM|，则双曲线的渐近线方程为 　　 ． 地 城 考点04 求双曲线的离心率 17．（2024秋•深圳校级期末）已知双曲线C：的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 18．（2024秋•龙岗区校级期末）已知直线y＝2x是双曲线的一条渐近线，则C的离心率等于（　　） A． B． C． D．或 19．（2024秋•揭阳期末）已知F1，F2分别为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线分别交两条渐近线于A，B两点．若△AF1B为等腰直角三角形，则C的离心率为（　　） A．2 B． C．3 D． 20．（2025春•深圳校级期末）已知F是双曲线C：的右焦点，直线4x﹣3y＝0与C交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆经过点F，则C的离心率为（　　） A．2 B． C．3 D． 21．（2024秋•广州期末）斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于A，B两点，F2为双曲线的右焦点且|AF2|＝|BF2|，则双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 22．（2024秋•广东校级期末）设F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，点A是C右支上一点，若△AF1F2的内切圆的圆心为M，半径为a，且∃λ∈R，使得，则C的离心率为 　　 ． 23．（2024秋•深圳期末）已知A，B是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右顶点，|AB|＝2，P是双曲线C上第二象限内的点，设直线AP的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，且k1k2＝3，则双曲线C的离心率为 　　 ；当k1+2k2取得最大值时，则点P的纵坐标为 　　 ． 地 城 考点05 直线与双曲线的位置关系及公共点个数 24．（2024秋•广州期末）“”是“直线y＝kx+1与双曲线只有一个公共点”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（2024秋•深圳期末）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为C2． （1）求双曲线C2的标准方程； （2）已知点A（﹣2，0），直线l（不过点A）与C2相交于M，N两点，且AM⊥AN，求点A到直线l的距离的最大值． 地 城 考点06 双曲线的弦长问题 26．（2025春•福田区校级期末）双曲线与抛物线y2＝12x有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于（　　） A． B． C． D． 27．（2024秋•潮州期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线C的右焦点F作x轴的垂线，交双曲线C于A、B两点，则弦AB的长度为（　　） A． B． C．2 D．1 地 城 考点07 直线与双曲线的综合 28．（多选）（2025春•深圳期末）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）经过点，且右焦点为，C的虚轴为线段B1B2，P为C上任意一点，平面内一动点M满足|MB1||，则（　　） A．C的渐近线方程为x±2y＝0 B．动点M的轨迹与C无公共点 C．|FM|的最大值为6 D．|PM|的最小值为 29．（多选）（2025春•揭阳期末）已知双曲线E：，其左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线l与E交于A，B两点，则（　　） A．E的离心率为 B．当l的倾斜角为时， C．直线l的斜率可以为 D．E上存在点M，使∠MF2F1＝3∠MF1F2≠0 30．（2024秋•广州期末）双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，已知F1，F2分别为双曲线C：的左，右焦点，O为坐标原点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点M，过点F1作F1H⊥AM，垂足为H，则|OH|＝ 　　 ． 31．（2025春•罗湖区期末）已知双曲线经过（4，0），（0，3），三个点中的两个，若O为原点，点A在C上，点B在直线上，且OA⊥OB． （1）求C的渐近线方程； （2）求△AOB面积S的最小值； （3）证明：直线AB与定圆相切，并求出该定圆的方程． 32．（2024秋•梅州期末）在平面直角坐标系xOy中，圆A的方程为（x+2）2+y2＝4，点B的坐标为（2，0），点P为圆A上的动点，线段BP的中垂线与直线AP相交于点Q． （1）求交点Q的轨迹C的方程． （2）若过点E（0，1）的直线与轨迹C相交于M、N两点，求的取值范围． （3）若D（﹣1，0），点Q为轨迹C在第一象限内的任意一点，则是否存在常数λ（λ＞0），使得∠QBD＝λ∠QDB恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 33．（2024秋•罗湖区校级期末）已知双曲线的左右顶点分别为A，B，右焦点F2（c，0）到渐近线距离为1，且其中一条渐近线倾斜角为． （1）求双曲线E的方程； （2）斜率存在且非0的直线l与双曲线交于C，D，CA与BD交于Q． （i）是否存在直线l，使得CD中点为T（3，﹣1）？若存在，求出l直线方程，若不存在，说明理由； （ii）若l过P（3，0），设△QAB面积为S1，△QCD面积为S2，证明：S2＞S1． 34．（2024秋•龙岗区校级期末）现有一双曲线和F2（2，0）分别为Γ的左焦点和右焦点，P是双曲线Γ上一动点，的最大值为3． （1）求双曲线Γ的标准方程； （2）M是Γ的右顶点，过F1的直线交双曲线左支于A，B两点， （i）求直线MA与直线MB的斜率之积； （ii）判断是否是定值，并给出理由． 35．（2024秋•深圳期末）已知双曲线C：的渐近线方程为y＝±x，且经过点． （1）求C的方程； （2）直线l1：y＝kx﹣1与C有且只有一个公共点，求k的值； （3）直线与C交于A、B两点，O是坐标原点．若△AOB的面积为，求m的值． 36．（2024秋•广东期末）已知双曲线C：y2﹣x2＝1，上顶点为D．直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点（B在第一象限），与x轴交于点T．设直线DA，DB的倾斜角分别为α，β． （1）若， （i）若A（0，﹣1），求β； （ii）求证：α+β为定值； （2）若，直线DB与x轴交于点E，求△BET与△ADT的外接圆半径之比的最大值． 地 城 考点08 双曲线的定点及定值问题 37．（2025春•清远期末）已知双曲线C与椭圆的焦点相同，且离心率之比为3：1． （1）求双曲线C1的方程； （2）若直线l：x﹣ny+3＝0与双曲线C1的左、右两支分别交于P，Q两点，记点P关于x轴的对称点为P′，证明：直线P′Q过定点，并求出该定点的坐标． 38．（2024秋•广东校级期末）已知双曲线过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P为直线l：x+y＝1上且不在x轴上的一点，直线PF1和PF2与双曲线的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2． （i）证明：为定值； （ii）直线l上是否存在点P，使得OA，OB，OC，OD满足kOA+kOB+kOC+kOD＝0？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 39．（2024秋•澄海区期末）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）过点（2，3），一条渐近线方程为x﹣y＝0． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若点P为双曲线左支上一点，A（t，0）（t＞0），求|PA|的最小值； （3）过点F（2，0）的直线与双曲线C的右支交于M，N两点，求证：为定值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点05 双曲线及其标准方程 8大高频考点概览 考点01 双曲线的标准方程 考点02 双曲线的几何特征 考点03求双曲线的渐近线方程 考点04求双曲线的离心率 考点05直线与双曲线的位置关系及公共点个数 考点06双曲线的弦长问题 考点07直线与双曲线的综合 考点08双曲线的定点及定值问题 地 城 考点01 双曲线的标准方程 1．（多选）（2024秋•东莞市期末）已知方程：（m﹣1）x2+（5﹣m）y2＝（m﹣1）（5﹣m）（其中m为参数），下列正确的有（　　） A．若m＝1，则方程表示y轴 B．若m＝3，则方程表示圆 C．若m＜1，则方程表示椭圆 D．若m＞5，则方程表示双曲线 【解答】解：已知方程：（m﹣1）x2+（5﹣m）y2＝（m﹣1）（5﹣m）（其中m为参数）， 当m＝1时，方程为4y2＝0，即y＝0，表示x轴，故A错误； 当m＝3时，方程为2x2+2y2＝4，即x2+y2＝2，表示圆，故B正确； 当m≠1且m≠5时，方程为 ， 若m﹣1＞0，5﹣m＞0且5﹣m≠m﹣1时，即1＜m＜5且m≠3时，方程表示椭圆，故C错误； 若（m﹣1）（5﹣m）＜0，即m＜1或m＞5时，方程表示双曲线，故D正确． 故选：BD． 2．（2024秋•深圳期末）与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：因为曲线为椭圆，焦点在y轴上，且c2＝36﹣16＝20， 又因为所求双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线为，即， 则c2＝﹣6λ﹣4λ＝20，解得λ＝﹣2， 所以所求双曲线为． 故选：A． 3．（2024秋•揭阳期末）已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，双曲线C：的焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x， 又双曲线的一条渐近线的斜率为，则该渐近线的方程为yx， 则有，即ba， 椭圆y2＝1中，c2＝5﹣1＝4， 若双曲线与椭圆有相等的焦距，则有a2+b2＝4， 解可得a2＝1，b2＝3， 则双曲线的方程为x21； 故选：B． 4．（2024秋•深圳校级期末）已知抛物线y2＝4x的焦点F是双曲线1的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点．若△ABF是等边三角形，则双曲线的方程为（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【解答】解：已知抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1， 双曲线的渐近线方程为， 又抛物线y2＝4x的焦点F是双曲线1的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点， 则，， 又△ABF是等边三角形， 则， 又a2+b2＝1， 则，， 则双曲线的方程为． 故选：C． 地 城 考点02 双曲线的几何特征 5．（2024秋•龙岗区校级期末）已知双曲线C，则下列选项中不正确的是（　　） A．C的焦点坐标为（±4，0） B．C的顶点坐标为（0，±3） C．C的离心率为 D．C的虚轴长为 【解答】解：双曲线C， 则a2＝9，b2＝7， 故c2＝a2+b2＝16，解得a＝3，b，c＝4， 故C的焦点坐标为（0，±4），故A错误； C的顶点坐标为（0，±3），故B正确； C的离心率为，故C正确； C的虚轴长为2b，故D正确． 故选：A． 6．（2025春•汕头期末）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　　） A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，﹣4） 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为（x0，y0）， 则，， 两式作差得：， 整理得：， 由题意可得﹣33，则或． 结合选项可得，可为线段AB中点的是（﹣1，﹣4）． 故选：D． 7．（2025春•龙岗区校级期末）已知F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|＝48．则△F1PF2的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D．8 【解答】解：∵P是双曲线左支上的点，∴|PF2|﹣|PF1|＝2，|F1F2|＝10， 在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF20， ∴∠F1PF2＝90°，即PF1⊥PF2， ∴△F1PF2的面积为|PF1|•|PF2|48＝24， 故选：C． 8．（2024秋•新会区校级期末）如果双曲线1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是　　 ． 【解答】解：由双曲线1，长轴长2a＝4，短轴长2b＝4，双曲线的左焦点F1，右焦点F2， 当P在双曲线的左支上时，P到它的右焦点的距离丨PF2丨＝8，则丨PF2丨﹣丨PF1丨＝2a＝4， 则丨PF1丨＝4， 当P在双曲线的右支上时，P到它的右焦点的距离丨PF2丨＝8，则丨PF1丨﹣丨PF2丨＝2a＝4， ∴丨PF1丨＝12， 则点P到它的左焦点的距离4或12， 故答案为：4或12， 9．（2024秋•天河区期末）已知双曲线的两个焦点分别为F1与F2，M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，则|MF2|＝　　 ． 【解答】解：根据题意可得a＝2，b，c＝4， ∵M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，设|MF2|＝x， ∴|x﹣5|＝2a＝4，又|MF2|＝x≥c﹣a＝2， ∴解得x＝9． 故答案为：9． 10．（2024秋•宝安区期末）已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点F1，F2，点P为它们在第一象限的交点，动点Q在曲线C1上，若记曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，满足e1•e2＝1，且直线PF1与y轴的交点的坐标为，则∠F1QF2的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知：，解得， 又∵，∴， 由直线PF1与y轴的交点的坐标为，可得， 在△PF1F2中，由余弦定理可得： cos∠PF1F2 ． 可得，整理得，解得或（舍去）， 且e1＞0，∴， 由椭圆性质可知：当Q为椭圆短轴顶点时，∠F1QF2取到最大值， 此时， 且∠F1QF2∈（0，π），则，∴，即． 故选：A． 地 城 考点03 求双曲线的渐近线方程 11．（2024秋•潮阳区期末）在平面直角坐标系中，双曲线的两条渐近线的夹角大小为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x， 显然直线y＝x与y＝﹣x的斜率之积为（﹣1）×1＝﹣1， 所以所求夹角大小为． 故选：B． 12．（2024秋•罗湖区校级期末）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线的倾斜角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：椭圆焦点坐标为（±1，0），顶点坐标为， 故双曲线中，由b2＝c2﹣a2＝2， 所以双曲线的方程为，渐近线的方程为， 设倾斜角为θ，θ∈[0，π），得，由同角三角函数的基本关系，可得． 故选：D． 13．（2024秋•广州期末）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0），给定的四点P1（4，﹣3），P2（3，4），P3（﹣4，3），P4（﹣2，0）中恰有三个点在双曲线C上，则该双曲线C的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）， 给定的四点P1（4，﹣3），P2（3，4），P3（﹣4，3），P4（﹣2，0）中恰有三个点在双曲线C上， 根据双曲线的对称性可得P1（4，﹣3），P3（﹣4，3）两点一定在双曲线上， 若P2（3，4）在双曲线上， 则，方程组无解，故P2（3，4）不在双曲线上， 则P4（﹣2，0）在双曲线上， 则，解得， ∴双曲线C的渐近线为． 故选：A． 14．（2024秋•天河区期末）过双曲线1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线l，垂足为点A，直线l与另一条渐近线相交于点B，若A是线段FB的中点，则双曲线的渐近线为（　　） A．y＝±2x B． C． D． 【解答】解：过双曲线1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线l，垂足为点A，直线l与另一条渐近线相交于点B， 设F为上焦点，双曲线其中一条渐近线的倾斜角为θ，且， 则， 又A是线段FB的中点， 则另条渐近线的倾斜角为， 又，， 由可得：， 则双曲线的渐近线为． 故选：C． 15．（2024秋•广州期末）双曲线具有如下的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点P，Q，且，，则C的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接AF1，BF1， 由，知AB⊥BQ， 在Rt△ABF1中，由，知sin∠F1AB， 不妨设|AF1|＝13t，则|BF1|＝12t，|AB|＝5t， 由双曲线的定义知，|AF1|﹣|AF2|＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a， 所以|AF2|＝13t﹣2a，|BF2|＝12t﹣2a， 所以|AB|＝|AF2|+|BF2|＝25t﹣4a＝5t，解得t， 所以|AF1|a，|BF1|，|AF2|a，|BF2|a， 因为∠AF2F1+∠BF2F1＝π， 所以cos∠AF2F1+cos∠BF2F1＝0， 由余弦定理知，0， 整理得， 所以1，即， 所以C的渐近线方程为y＝±． 故选：D． 16．（2024秋•汕头期末）已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切于点M，若|MF1|＝3|OM|，则双曲线的渐近线方程为 　　 ． 【解答】解：过F2的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切于点M， 则∠OMF2＝90°，|OM|＝a，|OF2|＝c， 所以，则，且|MF1|＝3a， 由余弦定理得， 解得6a2＝c2，又c2＝a2+b2，所以5a2＝b2， 所以双曲线的渐近线方程为． 故答案为：． 地 城 考点04 求双曲线的离心率 17．（2024秋•深圳校级期末）已知双曲线C：的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，双曲线的焦点在x轴上， 而双曲线的一条渐近线方程为y＝2x， 所以， 所以． 故选：B． 18．（2024秋•龙岗区校级期末）已知直线y＝2x是双曲线的一条渐近线，则C的离心率等于（　　） A． B． C． D．或 【解答】解：双曲线的渐近线方程为， 直线y＝2x是双曲线的一条渐近线， 因此，故b＝1， 故离心率为． 故选：A． 19．（2024秋•揭阳期末）已知F1，F2分别为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线分别交两条渐近线于A，B两点．若△AF1B为等腰直角三角形，则C的离心率为（　　） A．2 B． C．3 D． 【解答】解：不妨设点A位于第一象限，且在渐近线方程y上，F1（﹣c，0），F2（c，0）， 过点F2且平行于渐近线y的直线为y， 联立，得，即A（，）， 因为△AF1B为等腰直角三角形， 所以，即， 所以双曲线的离心率为． 故选：D． 20．（2025春•深圳校级期末）已知F是双曲线C：的右焦点，直线4x﹣3y＝0与C交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆经过点F，则C的离心率为（　　） A．2 B． C．3 D． 【解答】解：设P（x1，y1），由双曲线与直线的对称性，Q（﹣x1，﹣y1）， 因为以PQ为直径的圆过F（c，0），则， 即， 又P在双曲线和直线上，将代入，得， 再代入双曲线方程：， 由b2＝c2﹣a2，设，化简得：9e4﹣50e2+25＝0， 令u＝e2，解得舍去，因e＞1），故． 故选：B． 21．（2024秋•广州期末）斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于A，B两点，F2为双曲线的右焦点且|AF2|＝|BF2|，则双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：设AB的中点为M，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）， 双曲线的渐近线方程为0， 由点A，B在渐近线上可得，0，0， 两式相减得，， 所以， 又∵kAB，kOM， ∴kAB•kOM， 又∵kAB，∴kOM， 设直线AB的倾斜角为θ， ∵|AF2|＝|BF2|，∴AB⊥MF2， 又∵点O为|F1F2|的中点，∴|OM|＝|OF1|＝|OF2|， 则直线OM的倾斜角为2θ， ∴kOM＝tan2θ2， ∴2， ∴2， ∴双曲线的离心率e． 故选：A． 22．（2024秋•广东校级期末）设F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，点A是C右支上一点，若△AF1F2的内切圆的圆心为M，半径为a，且∃λ∈R，使得，则C的离心率为 　　 ． 【解答】解：不妨设点A在第一象限， 此时点M也在第一象限， 设A（x1，y1），M（xM，a），F2（c，0）， 因为， 所以（xM﹣x1，a﹣y1）+2（xM，a）＝λ（c，0）， 解得3a＝y1， 此时， 因为， 所以， 解得|AF1|+|AF2|＝4c， 易知|AF1|﹣|AF2|＝2a， 所以|AF1|＝a+2c，|AF2|＝2c﹣a， 因为 ， 又x1＞a， 所以， 则， 因为|AF2|＝2c﹣a， 所以，x1＝2a， 即A（2a，3a）， 因为点A在双曲线上， 所以， 解得， 则双曲线C的离心率为． 故答案为：2． 23．（2024秋•深圳期末）已知A，B是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右顶点，|AB|＝2，P是双曲线C上第二象限内的点，设直线AP的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，且k1k2＝3，则双曲线C的离心率为 　　 ；当k1+2k2取得最大值时，则点P的纵坐标为 　　 ． 【解答】解：A，B是双曲线的左、右顶点，|AB|＝2， 则a＝1，A（﹣1，0），B（1，0），双曲线C：， 设P（x0，y0），x0＜﹣1，y0＞0，则， 根据斜率公式可得，则有：， 所以双曲线C的离心率； 显然k1＜0，k2＜0，则， 当且仅当k1＝2k2时取等号， 由，解得，而y0＞0，则， 所以点P的纵坐标为． 故答案为：2；． 地 城 考点05 直线与双曲线的位置关系及公共点个数 24．（2024秋•广州期末）“”是“直线y＝kx+1与双曲线只有一个公共点”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：由方程组，消去y得：（1﹣4k2）x2﹣8kx﹣8＝0， 当1﹣4k2＝0，即时，方程组仅有一解，满足题意； 当1﹣4k2≠0时，要使直线与双曲线有且仅有一个公共点，则方程组仅有一解， 即Δ＝64k2+32（1﹣4k2）＝0，解得k， 综上，k或k， 故是直线y＝kx+1与双曲线只有一个公共点的充分不必要条件． 故选：A． 25．（2024秋•深圳期末）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为C2． （1）求双曲线C2的标准方程； （2）已知点A（﹣2，0），直线l（不过点A）与C2相交于M，N两点，且AM⊥AN，求点A到直线l的距离的最大值． 【解答】解：（1）设双曲线C2的标准方程为， 因为椭圆的共轭双曲线为C2， 所以a＝2，， 所以双曲线C2的标准方程为； （2）当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（3﹣4k2）x2﹣8kmx﹣4m2﹣12＝0， 此时3﹣4k2≠0且Δ＝（﹣8km）2+4（3﹣4k2）（4m2+12）＞0， 解得且m2+3﹣4k2＞0， 由韦达定理得，， ， 易知，， 因为AM⊥AN， 所以 ， 解得m＝2k或m＝14k， 当m＝2k时，直线l的方程为y＝k（x+2）， 此时直线l恒过点（﹣2，0），不符合题意； 当m＝14k时，直线l的方程为y＝k（x+14）， 此时直线l恒过点（﹣14，0）， 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x＝n， 此时，， 因为AM⊥AN， 所以， 解得n＝﹣14或n＝﹣2， 直线l不经过点A， 所以n＝﹣14， 则直线l恒过点（﹣14，0）． 故当AD⊥直线l时，点A到直线l的距离最大，距离的最大值为|AD|＝12． 地 城 考点06 双曲线的弦长问题 26．（2025春•福田区校级期末）双曲线与抛物线y2＝12x有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：双曲线与抛物线y2＝12x有一个公共焦点F（3，0）， 可得c＝3，即a2+b2＝9，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，可得3， 解得a＝b，所以e． 故选：C． 27．（2024秋•潮州期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线C的右焦点F作x轴的垂线，交双曲线C于A、B两点，则弦AB的长度为（　　） A． B． C．2 D．1 【解答】解：由双曲线的一条渐近线为， 化简得，即， 同时平方得， 又双曲线中a2＝m，b2＝1，故，解得m＝3，或m＝0（舍去）， 所以双曲线， 所以双曲线C的右焦点为F（2，0）， 右焦点F作x轴的垂线，交双曲线C于A、B两点， 则， 故弦AB的长度为． 故选：A． 地 城 考点07 直线与双曲线的综合 28．（多选）（2025春•深圳期末）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）经过点，且右焦点为，C的虚轴为线段B1B2，P为C上任意一点，平面内一动点M满足|MB1||，则（　　） A．C的渐近线方程为x±2y＝0 B．动点M的轨迹与C无公共点 C．|FM|的最大值为6 D．|PM|的最小值为 【解答】解：设双曲线半焦距为c，则由已知可得，因为双曲线C经过点，所以， 则联立，解得，所以双曲线C的方程为． 对于A，因为a＝2，b＝1，所以C的渐近线方程为，即x±2y＝0，故A正确； 依题意不妨设B1（0，1），则B2（0，﹣1），设M（x，y），动点M满足|MB1||， 所以，化简得， 则点M的轨迹是以N（0，﹣2）为圆心，半径为的圆， 联立，消去x得5y2+4y+5＝0，Δ＝16﹣4×5×5＝﹣84＜0， 所以动点M的轨迹与C无公共点，故B正确； 对于C，点F到圆心N的距离，所以|FM|的最大值为，故C错； 对于D，设P（x0，y0）为双曲线上任一点，则， P到圆心N的距离为， 当时，|PN|最小，最小值为，故|PM|的最小值为，故D正确． 故选：ABD． 29．（多选）（2025春•揭阳期末）已知双曲线E：，其左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线l与E交于A，B两点，则（　　） A．E的离心率为 B．当l的倾斜角为时， C．直线l的斜率可以为 D．E上存在点M，使∠MF2F1＝3∠MF1F2≠0 【解答】解：已知，，则，则离心率，所以A正确； 如图所示，已知F2（3，0），， 得直线l解析式为， 联立方程组得， 消去y得， 可知． 设交点A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，， 根据弦长公式可得，所以B正确； 双曲线渐近线方程为， 当时，直线与双曲线仅有一个交点，不符合题意，所以C错误； 设∠MF2F1＝3θ，∠MF1F2＝θ，可知∠F1MF2＝π﹣4θ，， 根据正弦定理可知， 可知|F1F2|＝6，则，， 因为， 所以， 化简得6sin3θ﹣6sinθ＝6×2cossin12cos2θsinθsin4θ， 化简得， 化简， 解得，此时， 所以E上存在点M，使∠MF2F1＝3∠MF1F2≠0，所以D正确． 故选：ABD． 30．（2024秋•广州期末）双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，已知F1，F2分别为双曲线C：的左，右焦点，O为坐标原点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点M，过点F1作F1H⊥AM，垂足为H，则|OH|＝ 　　 ． 【解答】解：由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F1AF2， 延长F1H与AF2的延长线交于点E， 此时AH垂直平分F1E， 即|AF1|＝|AE|，H为F1E的中点， 因为O为F1F2中点， 所以a． 故答案为：． 31．（2025春•罗湖区期末）已知双曲线经过（4，0），（0，3），三个点中的两个，若O为原点，点A在C上，点B在直线上，且OA⊥OB． （1）求C的渐近线方程； （2）求△AOB面积S的最小值； （3）证明：直线AB与定圆相切，并求出该定圆的方程． 【解答】解：（1）由题意，双曲线C的焦点在x轴上，∴不可能经过点（0，3）， 将（4，0），代入C：， 得：，解得， ∴C：，∴C的渐近线方程为； （2）设A（x0，y0），，则， 由于OA⊥OB，则， 显然y0≠0，可得，且，， ∴ ， 当且仅当，时，等号成立， ∴S的最小值为16； （3）证明：显然，直线， 即， 其中2＝1，即，， 故点O到直线AB的距离为： ， ∴存在定圆x2+y2＝16与直线AB相切． 32．（2024秋•梅州期末）在平面直角坐标系xOy中，圆A的方程为（x+2）2+y2＝4，点B的坐标为（2，0），点P为圆A上的动点，线段BP的中垂线与直线AP相交于点Q． （1）求交点Q的轨迹C的方程． （2）若过点E（0，1）的直线与轨迹C相交于M、N两点，求的取值范围． （3）若D（﹣1，0），点Q为轨迹C在第一象限内的任意一点，则是否存在常数λ（λ＞0），使得∠QBD＝λ∠QDB恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）易知||QA|﹣|QB||＝||QA|﹣|QP||＝2， 因为|AB|＝4＞2， 所以动点Q的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线， 所以c＝2，a＝1， 则b2＝3， 故轨迹C的方程为； （2）设直线MN的方程为y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣4＝0， 此时3﹣k2≠0且Δ＞0， 解得k2＜4且k2≠3， 由韦达定理得，， 此时， 令t＝3﹣k2，t∈（﹣1，0）∪（0，3]， 可得， 所以， 则； （3）设Q（x0，y0）， 因为点Q在轨迹C上， 所以， 当x0＝2时， 可得Q（2，2）， 此时QB⊥BD且|QB|＝|BD|， 易知△QBD为等腰直角三角形，∠QBD＝90°，∠QDB＝45°， 所以∠QBD＝2∠QDB， 假设λ＝2， 当x0≠2时， 可得，， 则 tan∠QBD． 故∠QBD＝2∠QDB． 33．（2024秋•罗湖区校级期末）已知双曲线的左右顶点分别为A，B，右焦点F2（c，0）到渐近线距离为1，且其中一条渐近线倾斜角为． （1）求双曲线E的方程； （2）斜率存在且非0的直线l与双曲线交于C，D，CA与BD交于Q． （i）是否存在直线l，使得CD中点为T（3，﹣1）？若存在，求出l直线方程，若不存在，说明理由； （ii）若l过P（3，0），设△QAB面积为S1，△QCD面积为S2，证明：S2＞S1． 【解答】解：（1）双曲线的渐近线方程为y，即bx±ay＝0， 则由题意可得，又因为a2+b2＝c2， 则，b＝1，双曲线的方程为：； （2）（i）若存在，设直线l与双曲线交点坐标分别为C（x1，y1），D（x2，y2）， 则，两式相减可得：， 即， 所以直线l的方程为y+1＝﹣（x﹣3），即x+y﹣2＝0． 将x+y﹣2＝0与双曲线联立，得﹣2y2﹣4y+1＝0，Δ＝24＞0，符合题意， 所以存在直线l，方程为x+y﹣2＝0； （ii）证明：，设l：x＝ty+3，C（x1，x2），D（x2，y2），Q（x0，y0）， 联立， ， 因为C，A，Q三点共线，B，D，Q三点共线，所以∠AQB与∠CQD相等或互补， 且， 两式相除可得， 故x0＝1， 则， 因为t2﹣3∈（﹣3，0）∪（0，+∞），|1|＞1，所以S2＞S1． 34．（2024秋•龙岗区校级期末）现有一双曲线和F2（2，0）分别为Γ的左焦点和右焦点，P是双曲线Γ上一动点，的最大值为3． （1）求双曲线Γ的标准方程； （2）M是Γ的右顶点，过F1的直线交双曲线左支于A，B两点， （i）求直线MA与直线MB的斜率之积； （ii）判断是否是定值，并给出理由． 【解答】解：（1）设|PF2|＝x， 所以|PF1|＝x+2a＞0，|F1F2|＝4， 因为|PF1|+|PF2|≥|F1F2|， 所以x≥2﹣a， 因为在[2﹣a，+∞）上单调递减， 所以x＝2﹣a时，取得最大值，最大值为3， 所以， 解得a＝1， 则b2＝22﹣1＝3， 故双曲线Γ的标准方程为； （2）（i）设直线AB的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去x并整理得（3m2﹣1）y2﹣12my+9＝0， 此时Δ＝144m2﹣36（3m2﹣1）＝36（m2+1）＞0， 由韦达定理得， 因为， 所以 1； （ii）是定值，理由如下： 设直线AB的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去x并整理得（3m2﹣1）y2﹣12my+9＝0， 此时Δ＝144m2﹣36（3m2﹣1）＝36（m2+1）＞0， 由韦达定理得， 所以， 则 ． 故为定值． 35．（2024秋•深圳期末）已知双曲线C：的渐近线方程为y＝±x，且经过点． （1）求C的方程； （2）直线l1：y＝kx﹣1与C有且只有一个公共点，求k的值； （3）直线与C交于A、B两点，O是坐标原点．若△AOB的面积为，求m的值． 【解答】解：（1）因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，且经过点， 所以， 解得a＝b＝1， 则双曲线C的方程为x2﹣y2＝1； （2）联立，消去y并整理得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0， 若直线l1与双曲线C有且只有一个公共点， 此时（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0只有一个解， 当1﹣k2＝0， 即k＝±1时，满足条件； 当1﹣k2≠0时，Δ＝4k2+8（1﹣k2）＝0， 解得， 则； （3）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得， 此时Δ＝16m2﹣8＞0， 解得， 由韦达定理得，， 所以， 又原点O到直线AB的距离， 则． 解得m＝±1． 36．（2024秋•广东期末）已知双曲线C：y2﹣x2＝1，上顶点为D．直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点（B在第一象限），与x轴交于点T．设直线DA，DB的倾斜角分别为α，β． （1）若， （i）若A（0，﹣1），求β； （ii）求证：α+β为定值； （2）若，直线DB与x轴交于点E，求△BET与△ADT的外接圆半径之比的最大值． 【解答】解：（1）（i），所以， TA与C联立可得，解得x＝0或，所以． 所以，所以； （ii）证明：（1）直线AB斜率存在时，可设直线AB的方程为， 设A（x1，y1），B（x2，y2） 由，得， 所以． 当x1＝0时，由（i）可得； 当x1≠0时，设DA，DB的斜率分别为k1，k2． ． 所以，． 所以． 因为B在第一象限，所以， 所以， 所以． ②直线AB斜率不存在时，可得， 可得， 所以，同理可得． 综上可得，α+β为定值，得证． （2）由（1）可得时，． ①k1不存在，则A（0，﹣1），由①（i）可得，所以，所以． ②kDT不存在，则T（0，0），则，此时，由图可得． ③若k1和kDT均存在，设，则 与双曲线联立可得． 所以． 所以， 所以． 设△BET与△ADT的外接圆半径分别为r1，r2， 从而．等号当且仅当yA＝﹣1时取到． 所以△BET与△ADT的外接圆半径之比的最大值为2． 地 城 考点08 双曲线的定点及定值问题 37．（2025春•清远期末）已知双曲线C与椭圆的焦点相同，且离心率之比为3：1． （1）求双曲线C1的方程； （2）若直线l：x﹣ny+3＝0与双曲线C1的左、右两支分别交于P，Q两点，记点P关于x轴的对称点为P′，证明：直线P′Q过定点，并求出该定点的坐标． 【解答】解：（1）因为双曲线C与椭圆的焦点相同，且离心率之比为3：1 所以，化简得． 解得， 所以双曲线C1的方程为． （2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则P′（x1，﹣y1）， 联立 消去x整理得（4n2﹣1）y2﹣24ny+20＝0， 所以， 所以， 又直线P′Q的斜率， 所以直线P′Q的方程为， 由对称性易知，若直线P′Q过定点，则该定点在x轴上， 令y＝0，得， 所以直线P′Q过定点，且该定点的坐标为． 38．（2024秋•广东校级期末）已知双曲线过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P为直线l：x+y＝1上且不在x轴上的一点，直线PF1和PF2与双曲线的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2． （i）证明：为定值； （ii）直线l上是否存在点P，使得OA，OB，OC，OD满足kOA+kOB+kOC+kOD＝0？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）因为双曲线过点，离心率为， 所以，所以， 因此． （2）（i）证明：因为F1（﹣2，0），F2（2，0），PF1，PF2的斜率分别是k1，k2，且点P不在x轴上． 因此k1≠k2，k1≠0，k2≠0． 又因为PF1、PF2的方程分别为y＝k1（x+2），y＝k2（x﹣2）， 联立方程解得，因此， 因为P在x+y＝1上，因此， 所以4k1k2+3k1+k2＝0，因此为定值． （ii）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）， 联立PF1和双曲线得， 可得，根据根的判别式， 所以根据韦达定理可得，， 因此 ，同理可得：， 所以由kOA+kOB+kOC+kOD＝0得k1+k2＝0或， ①当时，由（i）的结论可得或（舍去）， 此时直线CD的方程为与x+y＝1联立得，， 所以； ②当k1+k2＝0时，由（i）的结论可得，解得P点的坐标为（0，1）． 经检验，两种情况均符合要求． 综上所述，满足条件的点P的坐标分别为，P（0，1）． 39．（2024秋•澄海区期末）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）过点（2，3），一条渐近线方程为x﹣y＝0． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若点P为双曲线左支上一点，A（t，0）（t＞0），求|PA|的最小值； （3）过点F（2，0）的直线与双曲线C的右支交于M，N两点，求证：为定值． 【解答】解：（1）因为双曲线C过点（2，3），一条渐近线方程为x﹣y＝0， 所以， 解得， 则双曲线C的标准方程为； （2）因为点P为双曲线左支上一点， 设P（x0，y0），x0≤﹣1， 因为A（t，0）（t＞0）， 所以 ， 因为x0≤﹣1，， 则|PA|最小值为t+1； （3）证明：当过点F（2，0）的直线斜率不存在时， 直线方程为x＝2， 取M（2，3），N（﹣2，3）， 此时； 当过点F（2，0）的直线斜率存在时， 设直线方程为y＝k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），x1＞2，1＜x2＜2， 联立，消去y并整理得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0， 因为直线过双曲线的右焦点， 所以Δ＞0， 解得或， 由韦达定理得， 所以 ． 综上所述，为定值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $